2024年中考数学第一次模拟试卷（甘肃卷）（全解全析）

年中考第一次模拟考试（甘肃卷）数学·全解全析一．选择题1．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a3÷a＝a3 C．a﹣（b﹣a）＝2a﹣b D．（﹣a）3＝﹣a3【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A错误；B、a3÷a＝a2，故B错误；C、a﹣（b﹣a）＝2a﹣b，故C正确；D、（﹣a）3＝﹣a3，故D错误．故选：C．2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：C．3．没有稳固的国防，就没有人民的安宁，2023年，中国国防预算约为15537亿元，将15537亿元用科学记数法表示为（）A．1.5537×1012 B．15.537×1011 C．1.5537×1013 D．0.15537×1013【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：因为15537亿＝1553700000000，所以15537亿＝1.5537×1012．故选：A．4．用配方法解方程x2﹣4x﹣22＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝24 B．（x+2）2＝25 C．（x﹣2）2＝26 D．（x﹣2）2＝27【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：x2﹣4x﹣22＝0，移项得：x2﹣4x＝22，配方得：x2﹣4x+4＝22+4，整理得：（x﹣2）2＝26，故选：C．5．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|b|＞|a| B．a+c＞0 C．ac＞0 D．b﹣c＞0【解答】解：观察数轴可知：c＜b＜0＜a，且|b|＜|a|＜|c|；所以|b|＞|a|，a+c＞0，ac＞0错误；b﹣c＞0正确；故选：D．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27° B．108° C．116° D．128°【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．7．如图，△OAB与△OA′B′位似，其中A、B的对应点分别为A′，B′，A′，B′均在图中正方形网格格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）A．（） B．（m，n） C．（2m，2n） D．（2n，2m）【解答】解：∵△ABO扩大后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，即A点坐标为：（1，2），A′点坐标为：（2，4），∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（2m，2n）．故选：C．8．已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：因为反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，所以k＜0，A．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；C．3×0＝0，故本选项不符合题意；D．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；故选：B．9．下面的三个问题中都有两个变量：①正方形的周长y与边长x；②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】（1）根据正方形的周长公式判断即可；（2）根据“路程＝速度×时间”判断即可；（3）根据“水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x”判断即可．【解答】解：正方形的周长y与边长x的关系式为y＝4x，故①符合题意；汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x的关系式为y＝30x，故②符合题意；水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间d关系式为：水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x，故③不符合题意；所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．故选：A．10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意得：AP＝t，AQ＝2t，①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，S△APQ＝AP•AQ＝＝t2，故选项C、D不正确；②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，S△APQ＝AP•AB＝＝4t，故选项B不正确；故选：A．二．填空题11．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，则k的取值范围为．【解答】解：∵，∴，∵x＞y，∴2k+3＞﹣k﹣2，解得k＞﹣，故答案为：k＞﹣．12．因式分解：4a2b﹣b＝．【解答】解：4a2b﹣b＝b（4a2﹣1）＝b（2a+1）（2a﹣1），故答案为：b（2a+1）（2a﹣1）．13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＝﹣2b．【分析】首先根据数轴确定a和b的符号以及a+b的符号，然后利用绝对值的性质化简．【解答】解：根据数轴可得：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b＜0．则原式＝﹣b﹣（a+b）+a＝﹣b﹣a﹣b+a＝﹣2b．故答案是：﹣2b．14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是．【分析】连接AO并延长交⊙O于D，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根据勾股定理求出AD，根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案为：．15．如图，将长方形纸片按如图所示折叠，若∠1＝55°，则∠2的度数为70°．【解答】解：由折叠的性质可知，∠1＝∠3＝55°，∵长方形的上下对应的边平行，∴∠2+（∠1+∠3）＝180°，∴∠2＝70°，故答案为：70．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【解答】解：连接CE，∵∠A＝30°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，∵CE＝CB，∴△CBE为等边三角形，∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，∴S扇形CBE＝＝π，∵S△BCE＝BC2＝，∴阴影部分的面积为π﹣．故答案为：π﹣．∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形CDE﹣S△BCE＝×2×2﹣﹣××2＝﹣，故答案为：﹣．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴AF＝＝＝8，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3，故答案为：3．18．观察下列关于x的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，按照上述规律，第2021个单项式是4041x2021．【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2021个单项式．【解答】解：∵关于x的单项式为：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，∴第n个单项式为（2n﹣1）xn，∴当n＝2021时，这个单项式是（2×2021﹣1）x2021＝4041x2021，故答案为：4041x2021．解答题19.计算：【解答】解：（1）＝﹣3+1﹣4×+2＝﹣3+1﹣2+2＝﹣2；20．先化简：，再给x在﹣2，0，2，4中取一个合适的值代入求值．【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝，∵x（x﹣2）≠0且x﹣4≠0且x≠0，∴x≠0且x≠2且x≠4，则x＝﹣2，∴原式＝＝．21．【本小题满分8分】如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图：猜想：DF＝3BF，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AC＝2AB，∴AO＝AB．∵∠BAC的角平分线与BO交于点F，∴点F是BO的中点，即BF＝FO，∴OB＝OD＝2BF，∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．22．【本小题满分8分】为测量图中的铁塔EF的高度，小明利用自制的测角仪在C点测得塔顶E的仰角为45°，从点A向正前方行进20米到B处，再用测角仪在D点测得塔顶E的仰角为60°．已知测角仪AC的高度为1.5米，求铁塔EF的高度（结果精确到1米，≈1.73）．【解答】解：如图，作CG⊥EF于点G，则D在CG上，四边形ACGF为矩形，GF＝AC＝1.5米．设EG＝x米，则CG＝x米，DG＝（x﹣20）米，在Rt△EDG中，＝tan60°，∴＝，解得x＝30+10，∴EF＝EG+GF＝30+10+1.5≈49（米）．答：铁塔EF的高度约为49米．23．依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘．闯关游戏规则：如图所示的面板上，有左右两组开关按钮，每组中的两个按钮均分别控制一个灯泡和一个发音装置，同时按下两组中各一个按钮，当两个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音．（1）请写出所有可能闯关情况；（2）求出闯关成功的可能性．【分析】用列举法列举出可能闯关的所有情况，再进行比较即可．【解答】解：（1）所有可能闯关的情况列表如下：121（1，1）（1，2）2（2，1）（2，2）因此，共有4种等可能情况．（2）闯关成功的可能性为．因此，共有4种等可能情况．（2）闯关成功的可能性为．因此，共有4种等可能情况．（2）闯关成功的可能性为．因此，共有4种等可能情况．（2）闯关成功的可能性为．24．某校为了解七、八年级学生对“防新冠疫情”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a七年级成绩频数分布直方图年级平均数中位数七76.9m八79.279.5b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：7072747576767777777879c．七、八年级成绩平均数、中位数如表：根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有多少？（2）表中m的值为多少？（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．【分析】（1）根据频数分布直方图可得七年级在80分以上（含80分）的人数；（2）根据中位数的概念求解即可；（3）根据中位数的意义求解即可．【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有15+8＝23（人）；（2）七年级学生成绩的中位数m＝＝77.5（分）；（3）七年级学生甲的成绩更靠前，因为七年级学生甲的成绩大于其中位数．25．一次函数y＝﹣x﹣2的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣3，m），B（n，﹣3）两点．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围．（3）若动点E在y轴上，且S△EBA＝6，求动点E的坐标．【分析】（1）将点A坐标代入直线表达式，求出m，得到具体坐标，再将点A坐标代入反比例函数表达式，求出k值可；（2）求出点B坐标，结合图像可得结果；（3）设点E坐标为（0，a），求出直线AB与y轴交点F的坐标，再根据S△EBA＝6，列出方程，解之可得．【解答】解：（1）将A（﹣3，m）代入y＝﹣x﹣2得：m＝﹣（﹣3）﹣2＝1，∴A（﹣3，1），代入中，得：k＝（﹣3）×1＝﹣3，∴；（2）将B（n，﹣3）代入y＝﹣x﹣2中，得﹣3＝﹣n﹣2，解得：n＝1，∴B（1，﹣3），由图像可知：当一次函数图像在反比例函数图像下方时，对应的x为﹣3≤x＜0或x＞1，∴使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围是﹣3≤x＜0或x≥1．（3）设点E坐标为（0，a），直线AB与y轴交于点F，在y＝﹣x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，∴F（0，﹣2），∵S△EBA＝6，∴，即，解得：a＝﹣5或a＝1，∴点E的坐标为（0，﹣5）或（0，1）．26．【本小题满分10分】如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL），∴∠DOP＝∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠OCB＝∠CBA＝70°，∠ODA＝∠OAD＝50°，∴∠BOC＝40°，∠AOD＝80°，∴∠COD＝180°﹣∠BOC﹣∠AOD＝60°，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．27．【本小题满分10分】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝3，BD＝6，求OE的长．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠CAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∴CD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝BD＝3，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝OA＝OC，在Rt△AOB中，AB＝3，OB＝3，∴OA＝＝＝6，∴OE＝OA＝6．28．(12分)如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求出A（4，0），可得抛物线的对称轴为x＝＝，证明∠ACB＝∠ABC，△MCO∽△EBM，可得MC•BM＝BE•CO，求出MC，即可求解；（3）当∠BAQ为直角时，求出直线BQ的表达式为y＝x+3，得到n＝5；当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出n＝；当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得，