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（北师大版）选修2-2：定积分编写教师：焦旭利PAGEPAGE54.2定积分的简单应用(二)复习：求曲边梯形面积的方法是什么？定积分的几何意义是什么？微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线和直线，及轴围成的平面图形（如图甲）绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，如何求？分析：在区间内插入个分点，使，把曲线（）分割成个垂直于轴的“小长条”，如图甲所示。设第个“小长条”的宽是，。这个“小长条”绕轴旋转一周就得到一个厚度是的小圆片，如图乙所示。当很小时，第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱。因此，第个小圆台的体积近似为该几何体的体积等于所有小圆柱的体积和：这个问题就是积分问题，则有：归纳：设旋转体是由连续曲线和直线，及轴围成的曲边梯形绕轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为利用定积分求旋转体的体积找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数分清端点确定几何体的构造利用定积分进行体积计算一个以轴为中心轴的旋转体的体积若求绕轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为，其公式为类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图。则该旋转体即为圆柱的体积为：规律方法：求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为。确定积分上、下限，则体积练习1：如图所示，给定直角边为的等腰直角三角形，绕轴旋转一周，求形

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