2020年度河南专升本高数真题模拟及答案

最新河南专升本高数真题及答案

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河南省普通高等学校

选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

《高等数学》试卷

题号一二三四五六总分核分人

分数

单项选择题(每题2分，共计50分)

在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后

面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.

1.集合{3,4,5}的所有子集共有

()

A.5B.6C.7D.8

解：子集个数2"=23=8=0。

2.函数/(x)=arcsin(r-1)+-J3-X的定义域为

()

A.[0,3]B.[0,2]C.[2,3]D.[1,3]

在17—1X—IM1

解：5=>0<x<2=>Bo

3-x20

3.当x-0时，与x不等价的无穷小量是

()

A.2xB.sinA:C.ex-1D.lnQ+%)

解：根据常见等价关系知，只有2x与工比较不是等价的。应选A。

4.当x=0是函数，(冗)=arctan’的()

x

A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点

hjj,.17Tl.1兀-

解：limarctan—=—；limarctan—=——=>Co

x~>o+x2io-x2

5.设/(x)在x=l处可导，且/'⑴=1,则lim/。二2〃),一/(1士“)的值为

hfOh

()

A.-1B.-2C.-3D.-4

/(l-2A)-/(l+/z)

解：lim2h)-/'(I+h)=一3r⑴=一3nC。

hA->0

6.若函数/(x)在区间(a,b)内有尸(x)>0""(x)<0,则在区间(a,b)内,/(x)图

形

()

A.单调递减且为凸的B.单调递增且为凸的

C.单调递减且为凹的D.单调递增且为凹的

解：/(x)>0n单调增加;f"(x)<0n凸的。应选B。

7.曲线y=l+/的拐点是()

A.(0,1)C.(0,0)D.(1,1)

解：y"=6x=0=x=0=(0,1),应选A。

x2-2

8.曲线/(%)的水平渐近线是()

3x2

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A.1B.y=-|1

C.y=—D.y=一一

-333

x2-2

解：limy=—C

3x厂一『3

[tantdt

9.lim^---()

9。X4

A.0B.一C.2D.1

2

[tanxdx

解：+L2xtanx2

lim—=>Bo

.r->02

10.若函数/(x)是g(x)的原函数，则下列等式正确的是()

A.f(x)dx=g(x)+CB.Jg(x)4Zr=/(x)+C

C.g'(x)dx=f(x)+CD.=g(x)+C

解：根据不定积分与原函数的关系知，Jg(x)cZr=/(x)+C。应选B。

11.JCOS(1-3X)6&=()

B.；sin(l-3x)+C

A.—sin(l-3x)+C

C.—sin(1—3x)+CD.3sin(l-3x)+C

解：Jcos(1-3x)dx=—^jcos(1-3x)d(1-3x)=-；sin(l-3x)+C=>A。

12.设丁=「«-1)。一3)分，贝!|y'(0)=()

JO

A.-3B.-1C.1D.3

解：yr-(x—l)(x-3)=>yz(0)=3=>£)。

13.下列广义积分收敛的是(

2募广dx

lx

•idx

C.D.

0x4x

「半收敛，应选c。

解：由P积分和，/积分的收敛性知,

14.对不定积分f.y1—■

dx,下列计算结果错误是

Jsinxcosx

()

A.tanx-cotx+CB.tanx---—FC

tanx

C.cotx-tanx+CD.-cot2x+C

解：分析结果，就能知道选择c。

15.函数y=/在区间［1,3］的平均值为()

A.生B,”

C.8D.4

33

3J

解：一--ff(x)dx=—[x2dx--=—=>2?o

ia

b-a216]3

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16.过Oz轴及点(3-2,4)的平面方程为()

A.3x+2y=0B.2y+z=0

C,2尤+3y=0D,2x+z=0

解:经过Oz轴的平面可设为Ax+8），=0,把点（3-2,4）代入得2x+3y=0应选C。

也能够把点（3,-2,4）代入所给的方程验证，且不含z。

X~,Z2

17.双曲线号一了一1绕z轴旋转所成的曲面方程为()

y=0

A.工x*2y2+z-2

B.1

3434

C.区工二=1

D.

3434

22x2+y

解：把二-二=1中/换成/+y2得应选A。

3434

3-Jxy+9

18.lim()

XTOxy

y->0

A-?B-4C.0D.极限不存在

3-，移+91

解：limlim=-lim——=>Bo

A->0x-t0移(3+Jxy+9)x->03+Jxy+96

y->0_y->0>->0

19.若z=xy，()

（f.i）

A.1B.1C.D.0

解卷=xInx=e\ne=e=>C。

(e,l)

20.方程z2y-xz31所确定的隐函数为z=/（x,y）,则当()

OX

z

A.---B.—D.

2y-3xz3xz-2y

dzz2

解：令尸=z2y-xz3-InF；=-z3;F；=2zy-3xz2=>^-,应

OX

选Ao

21.设C为抛物线y=，上从（o,o）到（1,1）的一段弧，贝!）「2孙必:+/力=

（)

A.-1B.OC.1D.2

X=X一一i23

解：C：<2,1从o变至ULL2xydx+xdy=j4xdx-\=>C。

y二厂

22.下列正项级数收敛的是()

8\_0°_1

A.V—!—B.y——

金3〃+1〃=2〃ln〃

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81D.H

C.V——

£〃(lnn)2占n'4n

解:对级数z；、Z」^需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数

六〃In及六n(\nn)

001

y—有结论：当〃>1时收敛，当时发散。级数与级

£〃(ln〃)「y3〃+1金网^

R1

数利用比较判别法的极限形式来确定--发散的，应选Co

产1

23.嘉级数£士(犬+1)”的收敛区间为()

/i=o3

A.(-1,1)B.(-3,3)C.(-2,4)D.(-4,2)

解：令x+l=/,级数化为£占〃收敛区间为(—3,3),即

n=033〃=o\3/

%+1w(—3,3)x£(-4,2)=>Do

24.微分y”+3y+2y="入cosx特解形式应设为y*=()

xx

A.CecosxB.e~(C,cosx+C2sinx)

x2x

C.xe~(C1cosx+C2sinx)D,xe~(C1cosx+C2sinx)

解：-1+z不是特征方程的特征根，特解应设为""(Ccosx+Gsinx)。应选B。

25.设函数y=/(x)是微分方程y"+V=e2r的解，且/'(x0)=0，则/(%)在后处

(

)

A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.取最大

值

解：有/"(%)+/(x(,)=e2与=>/"(Xo)=e2号>0nA。

得评卷人

分二、填空题(每题2分，共30分)

26.设/(x)=2x+5,贝!J/"(x)-1]=.

解：/[/(x)-1]=2(/(x)-1)+5=2/(x)+3=2(2x+5)+3=4x+13。

2〃

・

27〃.->l8im"——！=__________

解：构造级数£二，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条

„=0〃！

2〃

件

—lim—〃！=0o

3/x,x<0

28.若函数/(x)=0在x=0处连续，则a=.

2x+—,x>0

2

解：limf(x)--;limf(x)=3=>Q=6。

XT(T2x->o+

29.已知曲线y=Y+x—2上点M处的切线平行于直线y=5x-l9则点M的

坐标为________

解：y'=2x+l=5=>x=2ny=4nM(2,4)。

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30.设/(x)=e2*T,则/'。瓯⑼二_________

解：/5)(x)=2721ny(2007)(0)=22007e-lo

%=3f+1.dy

31.设,，则？

y—2t—1+1dx

解：@dy

lo

dx3dx

32.若函数/(x)=ax2+Z?x在x=1处取得极值2,贝!Ia=,b=

解:fr(x)=2ax+b=0=>2a+〃=0；a+b=2=>a=—2;h=4。

33.

JfM

f/'(x),fdf(x)I/•/Mr

解:J、dx=\=In|/(x)|+Co

J/(X)J/(x)

2

34.£7i-xjx=

解:[定网=：。

35.向量5=37+4/-1的模|方|=

解：137+4.7-祚,9+16+1=岳。

36.已知平面兀]：x+2y-5z+7=0与平面兀2：4x+3y+mz+13=0垂直，贝!|

m=______

解：%={1,2,—5};n2={4,3,m}=>4+6—5m=0=机=2。

37.设/(X+y,孙)="2+y2,贝

解：f(x+y,xy)=x2+V=(x+y)2-2xy=>f(x,y)=x2-2y。

41r-y

38.已知/=『dy^'f(x,y)dx,交换积分次序后，贝!|/=

%fV2

解：£>=<(x,y)10<y<—,y<x<

=<(x,j)10<x<,0<^<x|+|(x,^)|<x<1,0<<

v2Jg~~2

因此次序交换后为「叱(：/(%,y"+b〃@：'/(x,y)dy。

V

81x(11A

39.若级数皂-L收敛，则级数£—的和为

w=l"〃n=l\"〃+l>

cfl1W11)(11)11而「1n

解：S〃=----------+------------+・•・+--------------=--------------fmJlim------=0,

[％u2)[u2w3Jun+l}u]un+}〃T8〃〃+i

因此S=limS“=—o

40.微分方程y"-2y'+y=Q的通解为

解：有二重特征根1,故通解为了=。0,+。2%"（G（2为任意常数）。

得评卷人

分

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三、判断题(每小题2分，共10分)

你认为正确的在题后括号内划“J”，反之划“X”.

41.若数列{%„}单调，则{xn}必收敛.

()

解：如数列㈤单调，但发散，应为X。

42.若函数/(x)在区间[a,“上连续，在(a,b)内可导，且/(a)#/(%),则一定

/也)=0.

()

解：如y=/在[_],可满足上述条件，但存在己=0e[—1,3],使得/''(&)=0,应

为X。

“cX—sinX由洛比达法则，.1-cosxsinx,

43.lim-------二一。：，lim-------=lim------=-1.()

XTOO%+sinxA*l+cosx-sinx

1smx

解：第二步不满足?或巴，是错误的，事实上lim上皿=lim—4=1。

0ooxt8%+sinxA01sinx

应为X。

44.0<f"，2Vl-^2'^<—ln2.

Jo2

()

解：S0<Vl-e-2A<1,由定积分保序性知：04「心庐萍dx〈ln24走ln2,

Jo2

应为VO

45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条

件.()

解：/(x,y)在点P(x,y)处可微可得f(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立，

应为应为VO

得评卷人

分四、计算题(每小题5分，共40分)

46.求lim/11,.

limsin^In.r^11x~xlimxlnx

解:lim/nx=lime«nxm*

A-^0+X^0+

解：两边取自然对数得In|y|=21n|x|+^[ln|l-x|-In|l+x|],----（1分）

两边对x求导得：+———L--------（3分）

yx3|_l-xl+x_

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即y'=y--1----------------（4分）

x3(x-l)3(x+l)

故色2+」-----（5分）

1+xx3(x-l)3(x+l)

48.求不定积分J[e2x+ln(l+xy\dx.

解：j[e2x+ln(l+x^dx=^e2xd(lx)+jln(l+x)dx——(1分)

=—e2v+xln(l+x)_J]xdx

——(3分)

=+xln(l+x)-J1-Jdx

--(4分)

=^e2x+xln(l+x)-x+ln(l+x)+C

o----(5分)

49.计算定积分1:j2+2cos2xdx.

2

解：132+2cos2x=2(1+cos2x)=4cosx9因此

[j2+2cos2xdx=/v4cos2xdx=f21cosx|dx-----(2分)

JoJoJo

兀

=2pco^xdx-cosxJx------(4分)

■2

=2sinx|2-2sin%P=2+2=4。-----(5

2

分)

50.设z=/(e*siny,3x2y),且/(〃,》)为可微函数,求dz.

解：令e*siny=〃，3》2y=v,有z=/(〃,n),利用微分的不变性得

x2

dz=v)du+f'r(u,v)dv=f',d{esiny)+f'd(3xy)----(3分)

xx2

=f't(esinydx+ecosydy)+f'(fixydx+3xdy)------(4分)

2

=(e'sinyft'+6xyf')dx+(e*cosyf't+3xf',)dy一(5分)

51.计算JJx2dxdy,其中。为圆环区域：14%2+/<4.

D

解：积分区域。如图07-1所示：。的边界Y+y2=l、炉+产=4用极坐标

表示分别为「=1，「=2；故积分区域。在极坐标系系下为

{(r,0)10<0<2TI,1<r<2},----(2分)

故0/办办=r~cos2B-rdr----(3分)

D

=fcos2GJ0(2r3Jr=fcos2QdQ

JoJiJo4

1S「2nc151*2兀c,、

二一[cosQdB=一\2cos20^/0---(4分)

4JogJo

2n

=—J2n(1+cos20)i/e=—(0+-sin20)=—o—(5分)

8。8204

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52.将―展开为x的幕级数，并写出收敛区间.

4-x~

解：因二^=」.....-=―1---------；—（2分）

4一片2-x2+x2（1--）2（1+*）

22

—-=y\xnXG（-i,i）o

1一%叫0

因此「7二/i1E6

xG(-2,2)；---7=Z一不xG(-2,2)o―(3分)

z

I__"=0\71+±〃=o'乙)

22

XG(-2,2)—(4分)

F_1

=2不『"'"xe（-2,2）。一（5分）

n=02

53.求微分方程x2dy+（y_2xy_x2）dx=0的通解.

解：方程可化为y'+L#y=l,这是一阶线性非齐次微分方程，-一（1分）

x-

它对应的齐次方程y'+—[-2xy=O的通解为〉=以2^L,-—（2分）

x

设原方程有通解y=C（x），e；，代入方程得C\x）x2e^=1,

1-1

即C'（x）-—ex,一（3分）

x

因此C（x）=e+C,（4分）

故所求方程的通解为y=Cx、'+/。—（5分）

得评卷人

分五、应用题（每题7分，共计14分）

54.某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池

容积为V立方米，底面造价每平方米。元，侧面造价每平方米〃元,

问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？

解：设长方体的长、宽分别为x,y,则高为上，又设造价为z,-—（1分）

孙

由题意可得

c,/xv2bV2bV,、八、/c八、

z=axy+2Z?（x+y）—=。孙+---+----（zx>0,y>0）；---（3分）

&孙yx

而

&一夕一丝匕；丝=如一竺二;在定义域内都有意义.

0光oyy

2bV八

&ay2-=°I~~—

令得唯一驻点x=y=/竺，----（5分）

a

I0-&"―4=0.'

y

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由题可知造价一定在内部存在最小值，故x=y=栏I就是使造价最小的取

值，此时高为;叵。

V2b

因此，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为:陛、：陛、：因时，工

VaVaV2b

程造价最低。—（7分）

55.设平面图形D由曲线y="，直线y=e及y轴所围成.求：

（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.

解：平面图形D如图07-2所示：—（1分）

取x为积分变量，且xw[O,l]

（1）平面图形D的面积为

S=j（e—e'）dx---（3分）

(ex-e*)1=l。---(4分)

（2）平面图形D绕），轴旋转一周所生成

旋转体的体积为

xdx-2K£xexdx

1

c%2

2兀《—-2K|xdd=Tie-2nxex+2兀fexdx

2JoioJo

o

-Tie-2Tte+2ite"()=7c(e—2)o（7分）

或匕=7iJ(Inyfdyu7i(lny)2yL—兀12\nydy

=ne-2TIJlnydy=7ie-27iyln+2兀/dy

=7te-2jte+2兀(e—1)=兀(e-2)o

得评卷人

分六、证明题（6分）

56.若/（%）在[凡加上连续，则存在两个常数相与M,对于

满足"＜玉V/＜〃的任意两点不，工2，证明恒有

m（x2-x1）＜f（x2）-/（f）WM（々一%）.

证明：因（（犬）在国,々1有意义，从而/（x）在凶,々]上连续且可导，即/（x）

在g,/]上满足拉格朗日中值定理的条件，——（2分）

故存在己£（为,与），使得-~~久土^=/隹），---（3分）

x2-x]

又因r（x）在&勿上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，尸（幻在脚,切

上既有最大值又有最小值，不妨设分别是最小值和最大值，从而工£（〃/）时,

有根〈V。-----（5分）

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故m(x2-Xj)</(x2)-/(x1)<M{X2-XJO----(6分)

河南省普通高等学校

选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

高等数学试卷

核

总

题分

-*—*四五分

号人

分

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数

一.单项选择题(每题2分，共计60分)

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写

在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.

1,函数/(x)=ln(l-x)+Jx+2的定义域为

()

A.[-2,-1]B.[-2,1]C.

[-2,1)D.(-2,1)

解：

[x+2>0

l-2cosx

2.lim

()

A.1B.0c.V2

D.Vs

02x3

一l-2cosx0

解:lim——y—===lim2

3sinx

3.点…是函数”组的

3：v+1

)

A.连续点B.跳跃间断点C.可

去间断点D.第二类间断点

1101

解：lim号匚=」=-1,lim=^Mim军吧=1=>3.

71*f(r11.io+1-o'1

3，+13*+13/3

4.下列极限存在的为

()

A.limexB.limS'nC.limcos-

Xf+cox->0XXfo+X

D.

XTEx-3

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解：显然只有痴2=2,其它三个都不存在，应

I。X

选B.

5.当0时，ln(l+，)是比1—cosx的()

A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等

阶无穷小D.同阶但不等价无穷小

：ln(l+x2)-x2,1-cosx=2sin2—--=>Z).

22

1+(x+1)sin---,x<-\

X+1

6.设函数/(x)=.l,-l<x<0,则f(x)

arctanx,x>0

()

A.在户-1处连续，在.。处不连续B.在户0

处连续，在.37处不连续

C.在x=T,0,处均连续D.在

X=-1,0,处均不连续

解：limj(x)=l,lim/*)=1,/(-1)=1=f(x)在"T处连续；

x->-r'x+r

*J(X)=Mimf(x)=o,/(())=1=/(X)在X=o处不连续;

应选A.

7.过曲线y=arctanr+e*上的点(0,1)处的法线方程

为()

A.2x-y4-1=0B・

x—2y+2=0

C.2x-y-1=0D.

x+2y—2=0

x

:V=[+[2+e=>尸(0)=2=>%法=-g=>。♦

8.设函数/(%)在x=o处可导，/(X)=/(o)-3x+a(x)且

lim蛔=0贝!|尸(0)=

X9

()

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A.-1B.1C.-3

D.3

/(%)/(0)3x+a(%)

解：/X0)=lim~=lim-=-3+lim^=-3,应选

XTOx-0A->0xXTO尤

c.

9.若函数/(x)=(lnx)v(x>l)，贝!Jf\x)=

()

A.(lnx)zB.

(lnx)v-1+(lnx)vIn(lnx)

C.(Inx)'In(lnx)D・x(lnx)x

:./(x)=(Inx)'=exWnx)=>=(lnx)A[xln(lnx)]z=(Inx)^1+(lnx)xIn(lnx),

应选B.

1O.设函数y=y(x)由参数方程+3”确定，则

y=sint

A.-2B.-l

C.-&立D,3企

33

解：*一的=今=2答后，应选

axcostax~cost3costsmtaxx=—n3

4

D.

11.下列函数中，在区间［T,l］上满足罗尔中值

定理条件的是()

A.y=exB.y=ln|x|C.y=l-x2

D.y=3

x

解：验证罗尔中值定理的条件，只有k1一满足,

应选C.

12.曲线-3+5X.2的拐点是

()

A.x=0B.(0,-2)C.无拐点

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D.x=0,y=-2

:y"=6%=0=%=0=>(0,-2)yB.

13.曲线y=1

()

A.只有水平渐进线B.既

有水平渐进线又有垂直渐进线

C.只有垂直渐进线D.既

无水平渐进线又无垂直渐进线

lim——!——=0,lim————=oozz>B.

18|1一1|f|X-1|

14.如果/(x)的一个原函数是xlnx,那么卜/(9=

()

A.Inx+CB.x2+C

C.x3lnx+CD.C-x

2ff

/(x)=(xlnx)'=l+lnxn/"(x)3=>^xf(x)clx=-JtZx=+C,

应选D.

15.rdx

Jx2-4x+3

)

Ax-3

ln+c

Ix-1

x-1

B.颉+C

x-3

C.ln(x—3)—ln(x—1)+CD.

ln(x-1)-ln(x-3)+C

解：f―=f^应

J厂-4x+3(x-3)(x—1)x-lj2x—\

选A.

16.设,则/的取值范围为

Jo1+X

()

A.o</<iB-I-7-1C-°-z-7