2012年上半年期末考试复习题

填空题（每题3分,共15分)1．设区域确定，则。2．设，则。3．幂级数的收敛半径.4．微分方程的通解是。5．函数的驻点是。二、选择题(每小题3分,共15分）1．三元函数在点处的全微分是(）A．B．C．D．2．二元函数的定义域为（)A．；B．；C．；D．3．对于级数，若，则(）A．必收敛；B．必发散；C．不能判断的敛散性；D．4．微分方程的一个特解应具有的形式为（）A．;B．;C．；D．5．函数在点处连续是它在该点偏导数存在的（）A．必要而非充分条件； B．充分而非必要条件；C．充分必要条件；D．既非充分又非必要条件。三、解答题（每题7分，共56分）1．计算二重积分，其中是所围成的区域。2．计算曲线积分，式中由极坐标方程所表示的曲线上从到的一段。3．求微分方程的通解.4．求微分方程的通解.5．求曲线在t=1处的切线及法平面方程。6．求函数在(1，1）点沿方向的方向导数。7．判断下列级数的敛散性(1）(2）8．设求四、证明题(满分7分）已知光滑曲面∑围成的Ω的体积为V，求证:曲面积分为定值。五、应用题(满分7分）求旋转抛物面与平面之间的最短距离。一、填空题（每题3分,共15分)1、设区域确定,则０。2、设，则.3、幂级数的收敛半径1。4、微分方程的通解是。5、函数的驻点是（1,—2）。二、选择题（每小题3分，共15分）1、C，2、C，3、C,4、B，5、D三、解答题（共56分）1．计算二重积分，其中是所围成的区域。解：(3分）（5分)（7分）2．计算曲线积分,式中由极坐标方程所表示的曲线上从到的一段。解：，积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2，0)到(0，1)（4分） 原积分＝（7分）3．求微分方程的通解。解:(4分）(6分）（7分）4．求微分方程的通解。解：特征方程：（2分）原方程有形如的特解，代入原方程可得，（4分）(6分)原方程的通解为：(7分)5．求曲线在t=1处的切线及法平面方程.解：切线方程：(4分）法平面方程。（7分）6．求函数在（1，1）点沿方向的方向导数。(7分）7．判断下列级数的敛散性（1）（2）解：（1）因为当n趋于∞时,一般项un的极限为1，其极限不为0，故级数发散。（3分）（2）原级数=所以原级数绝对收敛。(4分）8、设求解：（4分）=1（7分）四、证明（满分7分）证：，（3分)由高斯公式求得=3V（7分）五、应用题（满分7分)求旋转抛物面与平面之间的最短距离。解：设为上任意一点，则其倒的距离，（1分)为求导方便,问题等价转化为求函数在条件下的最大值，作，（2分）则由，（2分)为惟一可能极值点，由问题的实际定义知所求最短距离为.(2分)

理工类《高等数学A（2）》课程考试模拟试卷B2011－2012学年第二学期物理、计算机、通信、信工、电信、光电、电子、机电、电实、自动化专业2011级各班时量：120分钟 总分:100分，考试形式：闭卷一、填空题(每题3分,共15分）1、微分方程的通解是;2、同时垂直于向量和的单位向量是；3、设，则=;4、设I=交换积分次序后I=；5、级数的敛散性是。（填收敛、条件收敛、绝对收敛、发散）二、选择题（每小题3分，共15分）1、方程是（）A)可分离变量方程B)一阶线性方程C)一阶齐次方程D)全微分方程2、设，则=（）A）1B)-1C)2D3、曲面在点（1,1，3）处的法线方程是(）A)B)C)D）4、积分区域D：，则=()A)B)C）D）5、若级数收敛，为其前项的和，则有(）A)B）C）=D)三、解答题(共63分)1、求微分方程的通解（8分）2、设，其中,求(8分）3、计算:其中D由直线和抛物线所围闭区域（9分）4、计算其中为三个坐标面及平面所围的闭区域（9分）5、计算：其中L为上半圆周沿逆时针方向(9分）6、将函数展开成的幂级数(写出通项和收敛域）(10分）7、求幂级数的收敛域，并求其和函数（10分）四、证明题（满分7分)证明不等式，其中是圆周，取逆时针方向。理工类《高等数学A（2）》课程考试模拟试卷B参考答案2011－2012学年第二学期物理、计算机、通信、信工、电信、光电、电子、机电、电实、自动化专业2011级各班时量：120分钟 总分:100分，考试形式：闭卷一、填空题（每题3分,共15分）1、微分方程的通解是;2、同时垂直于向量和的单位向量是;3、设，则=；4、设I=交换积分次序后I=；5、级数的敛散性是绝对收敛。二、选择题(每小题3分，共15分）1。C2.A3。B4。C5。C三、解答题（共70分)1、求微分方程的通解（8分）解：对应的齐次方程的特征方程为：（1分）对应的齐次方程的的通解为（2分）设的特解为(1分）代入方程得：（1分）（1分）微分方程的通解为（2分）2、设，其中，求（8分）解：由函数的对称性得：3、计算：其中D由直线和抛物线所围闭区域（9分）解：得交点（-1,-2）,（5，4）(1分)（1分）（3分）（2分）=36（1分)4、计算其中为三个坐标面及平面所围的闭区域(9分）解：（1分）（3分）（2分）（2分）（1分）5、计算：其中L为上半圆周沿逆时针方向(9分）解：补线：(1分)（2分）(2分)6、将函数展开成的幂级数（写出通项和收敛域）（10分）解：收敛域:7、求幂级数的收敛域,并求其和函数