安徽省宿州市泗县第一中学2023-2024学年高一下学期开学适应性训练数学试题

泗县一中20232024学年度高下学期开学适应性训练数学试题分值：150分考试时间：120分钟命题人：周海艳审题人：鲍金凤一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意解一元二次不等式、求复合对数函数定义域化简集合，结合交集的概念即可求解.【详解】，，所以.故选：D.2.已知，则“”是“点在第一象限内”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.【详解】若，则在第一或三象限，则或，则点在第一或三象限，若点在第一象限，则，则.故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件.故选：B3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的单调性，结合零点存在性定理判断选项即可.【详解】因为在上为增函数，且，，因为，所以，所以的零点所在区间为.故选：C.4.已知角满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由两角差正切公式求得，直接二倍角公式及同角关系将转化为含的形式，由此可得结果．【详解】因为，化简得，所以，又，所以，故选：A．5.“扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合扇形的面积公式运算求解.【详解】由题意可知：扇形的圆心角为，大扇形的半径为，小扇形的半径为，所以该窗的面积为.故选：C.6.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要使函数是减函数，须满足求不等式组的解即可.【详解】若函数在上单调递减，则得，故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.7.已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由排除D，为偶函数排除A，在有零点排除C，检验可知B符合题意.【详解】设题设函数为，由图可知，若，但此时，矛盾，故可排除D；由为偶函数，若，则，矛盾，故排除A；在有零点，若，则时，，矛盾，故排除C，经检验，B选项在函数的零点奇偶性等方面均符合题意.故选：B.8.已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为，所以或，只需的图象与直线有3个交点，据此即可求解.【详解】因为，所以或，因为关于x的方程有6个不同的实数根，所以的图象与直线和直线有6个不同的交点，如图的图象与直线有3个交点，所以只需的图象与直线有3个交点，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于因为，所以或，只需的图象与直线有3个交点的分析.二、多项选择题：每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项.【详解】对于A选项，，所以A正确；对于B选项，，所以B不正确；对于C选项，，所以C不正确；对于D选项，，所以D正确；故选：AD.10.若正实数满足，则下列选项中正确的是（）A.有最大值B.C.的最小值是10D有最小值【答案】AB【解析】【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD，由讨论的范围判断B即可.【详解】选项A：因为正实数，所以，当且仅当时等号成立，所以有最大值，A说法正确；选项B：由可得，因为为正实数，所以，，所以，B说法正确；选项C：由题意可得，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值是，C说法错误；选项D：由A得，所以，当且仅当时等号成立，所以有最大值，不存在最小值，D说法错误；故选：AB11.函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（）A.的最小正周期是 B.是奇函数.C.在上单调递增 D.直线是曲线的一条对称轴【答案】BC【解析】【分析】由图像求函数解析式，再根据选项研究函数相关性质.【详解】由函数图像可得，，最小正周期，，，则，又由题意可知当时，，即，则，故，所以.的最小正周期是，A选项正确；，是偶函数，B选项错误；时，，是正弦函数的单调递减区间，C选项错误；由，得曲线的对称轴方程为，当时，得直线是曲线一条对称轴，D选项正确；选项中错误的说法是BC.故选：BC12.一般地，若函数定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是（）A.若为函数的“完美区间”，则B.函数，存在“倍美好区间”C.函数，不存在“完美区间”D.函数，有无数个“2倍美好区间”【答案】ABD【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.【详解】因为函数的对称轴为，故函数在单调递增。所以值域，又为函数的“完美区间”，所以，得或，因为，所以，故A对；假设函数，存在“倍美好区间”设定义域为，值域为，当时，在区间上单调递增，所以，解得，故B对；因为在上单调递增，在上单调递减，假设函数存在“完美区间”，当时，在单调递减，要使值域为，则，解得，即假设成立，故C错；假设函数定义域内任意子区间，因为在上单调递增，所以值域为，故内任意一个子区间都是“2倍美好区间”，故D对故选：ABD三、填点题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数满足以下条件：①是奇函数；②在是增函数；③.写出一个满足条件①②③的函数的一个解析式______.【答案】【解析】【分析】分别由幂函数，奇函数，增函数定义验证以及验证即可.【详解】因为，定义域为，关于原点对称；又，所以是奇函数；因为所以为上的增函数；；故答案为：14.已知函数，则的值是______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，故答案为：15.函数的单调递增区间是__________.【答案】（2，+∞）【解析】【分析】根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间是.故答案为：16.已知函数其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】由复合函数单调性、正弦函数单调性得出关于不等式组，从而，进一步结合，又可得到关于的不等式组，结合即可得解.【详解】由题意，所以在单调递增，若在区间上单调递增，则在上单调递增，所以，其中，解得，从而等号不能同时成立，解得，又，所以只能或，即的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：在得出后还要结合题意得，，由此即可顺利得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）求的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可；（2）由已知条件可得，再利用诱导公式及同角的商数关系化简原不等式即可得答案．【详解】（1）（2）因为，所以，所以，所以或，即或，又，为第二象限角，所以，所以；所以.18.已知为定义域R上的奇函数，且当时，．（1）求的值以及的解析式；（2）用函数单调性定义证明：在上为增函数．【答案】（1），;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由奇函数的性质求的值，利用奇函数的定义求的解析式；（2）利用单调性的定义证明即可.【小问1详解】为R上的奇函数，设，则，又为奇函数，所以的解析式为【小问2详解】证明：，且则，，，即所以在上为增函数.19.已知函数．（1）求的值及的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值．【答案】（1）1，，（2）时，有最大值；时，有最小值.【解析】【分析】（1）将化简为，解不等式，，即可得函数的单调递增区间；（2）由，得，从而根据正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最值．【小问1详解】解：因为，，令，，得，，所以的单调递增区间为，；【小问2详解】解：因为，所以，所以，所以，当，即时，有最大值，当，即时，有最小值．20.已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有．若，求a的取值范围．若不等式对任意和都恒成立，求t的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由函数的单调性的定义，构造出f（x）在定义域[﹣5，5]，上是增函数，通过增函数性质解不等式得a的取值范围;（2）由f（x）单调递增且奇函数，利用其最大值整理得关于a，t的不等式，由a∈[﹣3，0]都恒成立，根据单调性可以求t的取值范围．【详解】解：设任意x1，x2满足﹣5≤x1＜x2≤5，由题意可得：f（x1）﹣f（x2）即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域[﹣5，5]，上是增函数，由f（2a﹣1）＜f（3a﹣3），得，解得2＜a，故a的取值范围为（2，]；（2）由以上知f（x）是定义在[﹣5，5]上的单调递增的奇函数，且f（﹣5）＝﹣2，得在[﹣5，5]上f（x）max＝f（5）＝﹣f（﹣5）＝2．在[﹣5，5]上不等式f（x）≤（a﹣2）t+5对a∈[﹣3，0]都恒成立，所以2≤（a﹣2）t+5即at﹣2t+3≥0，对a∈[﹣3，0]都恒成立，令g（a）＝at﹣2t+3，a∈[﹣3，0]，则只需，即．解得t故t的取值范围（﹣∞，]．【点睛】本题主要考查函数单调性知识的应用，解题中主要利用了单调性的定义法，最值法．21.某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE．如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度．某人在扶梯上点P处(异于点C)观察广告牌的视角．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为．（1）求扶梯AC的长（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，用分别表示出和，利用两角和的正切公式求出，再根据的范围求解出答案；（2）作且交于点，设，用分别表示出和，利用两角差的正切公式表示出，利用基本不等式求出的最大值，此时即取最大值，利用基本不等式取最值的条件求出，再求出即可.【详解】（1）由题意，为的中点，,所以，设，则，，在中，，在中，，由两角和的正切公式，，，所以，解得，或，因为，所以，，所以扶梯AC的长为米；（2）作且交于点，如图所示，设，则，，由（1）知，，，，当取最大值时，即取最大值，，当且仅当，即时等式成立，所以此时.【点睛】本题主要考查两角和差正切公式的应用，考查学生分析转化能力、方程思想和计算能力，属于中档题.22.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）已知函数在区间单调递减.试判断是否恒成立，并说明理由.【答案】（1）（2）（3）恒成立，理由见解析【解析】【分析】（1）先求出的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为，由此得解；（2）将问题转化为和在上的值域的交集不为空集；分类讨论和两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；（3）将问题转化为判断，再利用的单调性即可得解.【小问1详解】因为，由，可得，即的定义域为；又，所以为奇函数，当时，易得单调递减，所以在上单调递减，且的值域为，不等式，可化为，所以，即，即，即，解得，则原不等式的解为；