《高等应用数学问题的MATLAB求解-第二版》math-chap03

第3章

微积分问题的计算机求解高等应用数学问题的MATLAB求解清华大学出版社2008CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬4/23/2024第3章微积分问题的计算机求解极限问题的解析解函数导数的解析解积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解曲线积分与曲面积分的计算数值微分问题数值积分问题4/23/20243.1极限问题的解析解单变量函数的极限多变量函数的极限4/23/20243.1.1单变量函数的极限极限的定义MATLAB函数左右极限MATLAB函数4/23/2024例3.1试求解极限问题MATLAB代码4/23/2024例3.2试求解单边极限问题MATLAB代码4/23/2024MATLAB绘图语句求出极限4/23/2024例3.3试分别求出tant函数关于p/2点处的左右极限MATLAB代码4/23/20243.1.2多变量函数的极限函数的极限的定义嵌套使用limit()函数或4/23/2024例3.4试求出二元函数极限值MATLAB代码4/23/20243.2函数导数的解析解函数的导数和高阶导数多元函数的偏导数多元函数的Jacobian矩阵Hessian偏导数矩阵隐函数的偏导数参数方程的导数4/23/20243.2.1函数的导数和高阶导数如果函数和自变量都，且均为符号变量，那么可以用diff()函数解出给定函数的各阶导数函数语法或4/23/2024例3.5给定函数，试求出MATLAB求解绘制原函数和其一阶导数4/23/20244阶导数化简函数diff()的高效率4/23/2024例3.6试推导函数的3阶导函数公式，并得出时的3阶导数，将这样得出的结果与直接求导的结果相比较MATLAB求解当时求3阶导数4/23/20243.2.2多元函数的偏导数双变量函数求导MATLAB语法或4/23/2024例3.7试求出以下二元函数的偏导数，并用图形表示和4/23/2024绘制三维曲面引力线4/23/2024例3.8求函数的偏导数MATLAB求解4/23/20243.2.3多元函数的Jacobian矩阵多元函数4/23/2024它的Jacobian矩阵为MATLAB函数为其中：变量构成的向量：各个函数构成的向量4/23/2024例3.9直角坐标和极坐标变换公式如下，推导其Jacobian矩阵MATLAB代码4/23/20243.2.4Hessian偏导数矩阵定的n元函数，其Hessian矩阵的定义为4/23/2024Hessian矩阵实际上就是函数的二阶偏导数矩阵,该矩阵可以由两次嵌套调用jacobian()的方式直接获得MATLAB语法其中：向量4/23/2024例3.10试求出以下二元函数的Hessian矩阵MATLAB代码4/23/20243.2.5隐函数的偏导数隐函数，其自变量之间的偏导数MATLAB代码4/23/2024例3.11给定函数，试求出MATLAB求解结果4/23/20243.2.6参数方程的导数参数方程，那么为4/23/2024编辑递归函数4/23/2024例3.12参数方程，试求MATLAB求解命令4/23/20243.3积分问题的解析解不定积分的推导定积分与无穷积分计算多重积分问题的MATLAB求解4/23/20243.3.1不定积分的推导函数int()可以被用于计算不定积分MATLAB函数 积分多重积分，嵌套调用 4/23/2024例3.13对如下的函数，求其一阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。求其四阶导数，再积分，检验结果4/23/2024例3.14试证明对等号左侧进行化简4/23/2024比较并化简4/23/2024例3.15考虑如下两个不可积问题的积分问题求解。MATLAB求解结果特殊函数4/23/2024求解，其中MATLAB命令无法获得显示的解并不是所有的积分都能被计算出，应为原始函数不一定存在4/23/20243.3.2定积分与无穷积分计算函数int()可以被用于计算定积分或无穷积分问题语句格式4/23/2024例3.16函数和求当或时的定积分值。MATLAB求解4/23/2024例3.17求解MATLAB求解结果4/23/20243.3.3多重积分

问题的MATLAB求解函数int()仍可以被用于计算多重积分注意：需要根据实际情况先选择积分顺序，可积的局部作为内积分，然后再处理外积分。否那么，会的不出解析解4/23/2024例3.18下面的三元函数试求出4/23/2024MATLAB求解

4/23/2024交换积分顺序比较结果4/23/2024例3.19求解积分问题MATLAB求解注意：eulergamma为Euler常数g4/23/20243.4函数的级数展开

与级数求和问题求解Taylor幂级数展开 Fourier级数展开级数求和的计算序列求积问题4/23/20243.4.1Taylor幂级数展开单变量函数的Taylor幂级数展开多变量函数的Taylor幂级数展开4/23/20243.4.1.1单变量函数

的Taylor幂级数展开数学表示在x=0点附近的Taylor幂级数其中MATLAB语句格式4/23/2024关于x=a点的Taylor展开其中MATLAB语句格式4/23/2024例3.20对如下的函数，在x=0,x=2和x=a求其Taylor幂级数展开的前9项在x=0进行Taylor展开结果4/23/2024检查有限项的近似结果在区间[0,5]内绘图更小的区间[0,0.5]4/23/2024在x=2进行Taylor展开结果4/23/2024在x=a进行Taylor展开数学描述4/23/2024例3.21对函数进行Taylor展开，观察近似效果MATLAB求解4/23/20243.4.1.2多变量函数

的Taylor幂级数展开多元函数的Taylor幂级数展开其中4/23/2024使用MapleMATLAB语法在原点进行Taylor展开在点进行Taylor展开注意：引号不能漏掉4/23/2024例3.22求函数的Taylor级数展开在原点展开Taylor级数4/23/2024数学描述4/23/2024在点展开Taylor级数数学描述4/23/2024用函数mtaylor()进行单变量Taylor级数的展开数学描述4/23/20243.4.2Fourier级数展开给定周期函数由此它的Fourier级数展开是4/23/2024求Fourier级数展开得MATLAB代码4/23/2024函数fseries()的调用法那么4/23/2024例3.23函数，其中求它的Fourier级数展开结果比较4/23/2024更大的区域数学描述一般形式4/23/2024例3.24给定函数，其中求它的Fourier级数展开，并与原函数进行比较原函数可以表示成4/23/2024MATLAB求解4/23/2024前14项的Fourier级数展开数学形式一般形式4/23/2024在区间[-2p,2p]进行拟合效果比较回忆一下开始的假设4/23/20243.4.3级数求和的计算求通项的有穷或无穷级数的和。数学表示MATLAB语句4/23/2024例3.25计算数值计算方法使用symsum()更多项的扩展4/23/2024例3.26求解无穷级数的和

使用函数symsum()

使用数值方法4/23/2024例3.27试求解含有变量x的无穷级数符号运算方法4/23/2024例3.28试求解级数与极限综合问题MATLAB求解注意：求解该问题不能先求解无穷级数的和，然后再减去lnn，这样做前后均为无穷大，4/23/20243.4.4序列求积问题Maple内核的函数product()可以直接进行序列求积运算MATLAB语句或4/23/2024例3.29试计算序列的乘积MATLAB求解语句4/23/20243.5曲线积分与曲面积分的计算曲线积分及MATLAB求解曲面积分与MATLAB语言求解4/23/20243.5.1曲线积分及MATLAB求解第一类曲线积分第二类曲线积分4/23/20243.5.1.1第一类曲线积分第一类曲线积分将带入或4/23/2024例3.30计算，其中l是如下定义的螺线MATLAB求解语句4/23/2024例3.31试求，其中l曲线为

与围成的正向曲线绘制曲线l4/23/2024化成两段曲线的积分问题来求解结果4/23/20243.5.1.2第二类曲线积分第二类曲线积分其中并且上式化为4/23/2024例3.32求出曲线积分其中，l为正向圆周MATLAB求解语句4/23/2024例3.33计算。其中，l为抛物线MATLAB求解语句4/23/20243.5.2曲面积分与

MATLAB语言求解第一类曲面积分第二类曲面积分4/23/20243.5.2.1第一类曲面积分第一类曲面积分的数学定义为其中曲面S是变换为x-y平面的二重积分其中为积分区域4/23/2024例3.34计算，其中S是如下定义的外侧面MATLAB求解语句4/23/2024假设曲面的参数方程为曲面积分为其中4/23/2024例3.35计算积分，S是如下曲面MATLAB求解语句4/23/2024接上页4/23/20243.5.2.2第二类曲面积分第二类曲面积分的数学定义为被积函数是并且正向曲面由给出4/23/2024第二类曲面积分转换为第一类曲面积分其中，并且4/23/2024整个曲面积分又可以写成假设曲面由下述方程给出那么4/23/2024其中整个曲面积分可以化简为4/23/2024例3.36试求出曲面积分，S是下面的椭球面的上半部，且积分沿椭球面的上面引入参数方程4/23/2024原曲面积分化为可以转换为一般双重积分MATLAB求解语句4/23/20243.6数值微分问题数值微分算法中心差分方法及其MATLAB实现二元函数的梯度计算4/23/20243.6.1数值微分算法前向差分公式后向差分公式算法精度4/23/2024中心差分算法公式1定义一阶微分为记为4/23/2024Taylor级数展开为算法精度4/23/2024该中心差分算法的高阶微分公式为4/23/2024公式2差分方程算法精度4/23/20243.6.2中心差分方法

及其MATLAB实现中心差分方法的M-函数的调用格式为4/23/2024数值微分的MATLAB函数4/23/2024接上页4/23/2024例3.37对函数用数值微分法求取其1～4阶导数，并与其导数的解析解比较精度输入函数4/23/2024比较不同阶的导数分析误差4/23/20243.6.3二元函数的梯度计算函数gradient()的调用格式计算梯度其中Dx和Dy分别为x和y生成网格的步距4/23/2024例3.38，计算梯度并分析误差MATLAB求解语句4/23/2024绘制误差曲面4/23/2024将网格加密一倍：4/23/20243.7数值积分问题由给定数据进行梯形求积单变量数值积分问题求解广义数值积分问题求解双重积分问题的数值解三重定积分的数值求解多重积分数值求解4/23/20243.7.1由给定数据进行梯形求积梯形近似方法的根本思想MATLAB的调用格式或4/23/2024例3.39试用梯形法求出函数，在区间的定积分值MATLAB求解语句结论：由于选择的步距较大，有很大的误差4/23/2024例3.40用定步长方法求解积分并比较不同步距下的结果首先绘图在求解区域内被积函数有很强的振荡4/23/2024对不同的步距比较近似结果4/23/20243.7.2单变量数值积分问题求解Simpson方法求解区间上的积分其中，4/23/2024调用格式求定积分限定精度的定积分求解4/23/2024例3.41用数值方法计算积分方法1，一般函数方法方法2，匿名函数(MATLAB7.0)4/23/2024方法3，inline函数方法MATLAB求解语句运用符号工具箱4/23/2024过高的精度可能导致运算失效函数quadl()可能更精确函数quadl()的调用格式或 4/23/2024例3.42计算积分，并使精度提 高到1e-20使用函数quadl()来提高精度MATLAB求解语句4/23/2024例3.43给定如下分段函数计算积分值4/23/2024MATLAB求解语句调用函数quad()和quadl()

4/23/2024把原问题分解成，并求解析解获得更精确的解4/23/2024例3.44重新计算积分MATLAB求解语句结论：求解变化不均匀的函数的积分不宜采用定步长方法，应采用变步长方法4/23/2024用quad()函数求解该问题给出的精度要求4/23/20243.7.3广义数值积分问题求解采用MATLAB2007b版本及其以上中提供的基于Gauss-K