2015-2016学年高中数学人教a版必修2讲义：第2章 点、直线、平面之间的位置关系

第二章点、直线、平面之间的位置关系

THESECONDCHAPTER—

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的

位置关系

2.1.1平面

彳预习导学挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.了解平面的概念及表示方法.

2.理解平面的公理1,公理2,公理3.

3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系.

［知识链接］

1.在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合.

2.点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外.

［预习导引］

1.平面的概念

(1)儿何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中

抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.

(2)平面的画法

①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45。，且横

边长等于其邻边长的之僵，如图①.

②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分

用虚线画出来.如图②.

(3)平面的表示法

图①的平面可表示为平面a,平面Z6CD,平面ZC或平面

2.点、线、面之间的关系

(1)直线在平面内的概念：

如果直线/上的所直点都在平面a内，就说直线/在平面a内，或者说平面

a经过直线I.

(2)一些文字语言与数学符号的对应关系:

文字语言表达数学符号表示文字语言表达数学符号表示

点Z在直线/上A&1点A在直线1外世

点A在平面a内点4在平面a外。建a

直线/在平面a直线/在平面a

lUa&

内外

直线/,加相交平面a、B相交

lC\m=AaCp=l

于点A于直线/

3.平面的基本性质及作用

公理内容图形符号作用

如果,条直线

上的两点在一AC/,B3,且既可判定直线和点是否

公理1个平面内，那在平面内，又能说明平

么这条直线在U-面是无限延展的

此平面内

过不在一条直A,B,C三点一是确定平面；二是证

线上的三点，不共线今存在明点、线共面问题；三

公理2

有目.只有.个ZI7唯一的平面a是判断两个平面重合的

平面使4,B,CGa依据

如果两个不重

一是判断两个平面相交

合的平面有一

PGa,且P"的依据；二是证明点共

个公共点，那

公理3笆>aCp=l,且线问题的依据；

么它们有且只

P0⑶证明线共点问题的依

有一条过该点

据

的公共直线

尹课堂讲义J重点难点，个个击破

要点一三种语言的转换

例1用符号语言表示下列语句，并画出图形.

(1)三个平面a,B，了相交于一点P,且平面a与平面夕相交于玄，平面a

与平面y相交于尸8，平面夕与平面y相交于PC；

(2)平面48。与平面BDC相交于BD,平面N8C与平面NOC相交于AC.

解(1)符号语言表示：aC£Cy=P,aC°=PA,aCy=PB,6cLpC,图

形表示如图(1).

(2)符号语言表示：平面〃BOA平面平面/8CA平面ZZ)C=ZC,

图形表示如图(2).

规律方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形

有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用

符号语言表示.

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

跟踪演练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，

并画出相应的图形：(l)/ea,8qa；(2)/Ca,m^a=A,4&；(3)Pe/,P住a,Q

€/,Q&a.

解(1)点/在平面a内，点3不在平面a内，如图(1).

(2)直线/在平面a内，直线机与平面a相交于点4且点/不在直线/上，

如图(2).

(3)直线/经过平面a外一点P和平面a内一点。，如图(3).

要点二点线共面问题

例2证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.

证明法一

(纳入法)

,•*/]C，2=/，

/1和，2确定一个平面a.

,：12门h=B,；.B£12.又.：l?Ua,

•''B€a.

同理可证C£a.

又,；BWI3,Cei3,.,.Z3Ca.

直线，1、，2、，3在同一平面内.

法二(重合法)

八C，2=4，

」./1、，2确定一个平面a.

'''12ch=B,

：」2、，3确定一个平面A

'-A£A，l[Ua、-A£a.

,:AWk，hU%.①夕.

同理可证86a,Bep,C6a,C6/7.

.••不共线的三个点Z、B、。既在平面a内，又在平面夕内.

平面a和4重合，即直线小小6在同一平面内.

规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.

(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个

平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.

跟踪演练2已知直线a〃4直线/与。，人都相交，求证：过a,小/有且

只有一个平面.

证明如图所示.由已知a"3所以过a,6有且只有一个平面a.设“C/

=A,bCI=B,-'-A€a,B£a,且N£/,B£I,即过a,b,/有且只有

一个平面.

要点三点共线与线共点问题

例3如图，在正方体NBC。-48G"中，点加、N、E、E分别是棱C。、

AB.DDi、上的点，若朋N与交于点°,求证：D、4、0三点共线.

3____c,

Q

证明,：MNCEF=Q,

直线。£直线EE

又直线CD,N£直线Z8,

CDU平面4BCD,45U平面Z8CD

；.M、N6平面/8C。，

.■.9(=平面/8。0..・.。£平面ABCD.

同理，可得E尸U平面

•••0£平面ADD\AX.

又•.・平面/BCDA平面ADD\A\^AD,

，。£直线40,即。、A,。三点共线.

规律方法点共线与线共点的证明方法：

(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3,即两相交平面交线的唯一性，通

过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确

定一条直线，然后证明其他点也在其上.

(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的

两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条

直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重

合，从而得三线共点.

跟踪演练3如图所示，已知四面体Z—8C。中，E,尸分别是48,的

r)i-f

中点，G,〃分别是上的点，旦斤="=.求证：直线FH,AC

8C,CDCrCriC2EG,

相交于同一点.

A

证明--,E,E分别是的中点,

•••EEMBD且EEQBD.

rBGDH>

又，・,沅=近=2,

•••GHIIBDSLGH=

.--EFIIGH且EF>GH,

.•・四边形EF"G是梯形，其两腰所在直线必相交，

设两腰EG,口的延长线相交于一点P,

；EGU平面/8C,WU平面〃8,

••.尸£平面/8C,尸£平面/8,

又,「平面ABCCl平面ACD=AC,

.-.PeAC,故直线EG,FH,NC相交于同一点.

事当堂检测।当堂训练，体验成功

1.下列命题中正确的个数是（）

①一个平面长4米，宽2米；

②2个平面重叠在一起比一个平面厚；

③一个平面的面积是25平方米；

④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面.

A.0B.1

C.2D.3

答案A

解析几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所

有命题都不对.

2.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（）

答案D

解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.

3.若点。在直线6上，6在平面£内，则0,b,4之间的关系可记作（）

A.QGbGQB.QRbUB

C.QUbu（3D.QUb"

答案B

解析..•点。（元素）在直线/集合）上，64又•••直线6（集合）在平面尸（集

合）内，:.QWbup.

4.设平面a与平面夕交于直线/,A^a,BGa,且直线N8C/=C,则直线

ABC8=.

答案C

解析,•,aC”I,ABCl=C,C£4B,，ABCp=C.

5.空间不共线的四点，可以确定平面的个数是.

答案1或4

解析对于不共线四点：当三点共线时确定一个平面；当三点不共线时，可

确定一个平面或四个平面.

课堂小结

1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转

换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图

形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号

语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，

要注意实虚线的标注.

2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用,

突出先部分再整体的思想.

亨分层训练解疑纠偏，训练检测

一、基础达标

1.已知点4,直线。，平面a,以下命题表述正确的个数是（）

①ZWa,a（la②a&a^A&a；③49a,a^a^A^a；④Z®。，

aUa=MUa.

A.0B.1

C.2D.3

答案A

解析

①不正确，如aCla=/；②不正确，："a£a"表述错误；③不正确，如图

所示，A^a,aUa,但4Ea；④不正确，"NUa"表述错误.

2.（2013・安徽高考）在下列命题中，不是公理的是（）

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C.如果一-条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此

平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

公共直线

答案A

解析A.不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B.是平面的基本

性质公理；

C.是平面的基本性质公理；D.是平面的基本性质公理.

3.已知a、夕为平面，4、B、M、N为点、，a为直线,下列推理错误的是（）

A.A&a,AG0,BGa,BR归aU§

B.MRa,M^/3,NRa,NG归aCp=MN

C./da,AG/30aCp=A

D.A、B、MGa,A.B、MJ[3,且/、B、M不共线台a、夕重合

答案C

解析A€a,A£p,-'-A€a

由公理可知an尸为经过N的一条直线而不是A.

故aC£=/的写法错误.

4.空间四点4、B、C、。共面而不共线，那么这四点中()

A.必有三点共线B.必有三点不共线

C.至少有三点共线D.不可能有三点共

线

答案B

解析如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中/、B、

。不共线.

(1)(2)

5.设平面a与平面夕相交于/,直线aUa,直线6U/,aHb=M,则MI.

答案e

解析因为=aUa,bU0,所以MEa,ME夕.又因为aA/?=/,所

以MEL

6.平面an平面a=/,点、MGa,N^a,点、PG。,且Pq/,又MN(V=R,

过A/,N,尸三点所确定的平面记为力则用"=.

答案直线P/?

解析如图，MNUy,RSMN,

•''R£y.

又RWl,:.R£0.

又PWy,PS5,；/Cy=PR.

7.已知△ABC在平面a外，直线N8na=P,直线/CCa=R,直线BCAa

=0,如图所示.求证：P,Q,R三点共线.

证明,•・直线N8Aa=P,

，P£AB,P£平面a.

又；Z8U平面ABC,r.P£平面ABC.

则由公理3可知，点尸在平面N8C与平面a的交线上.

同理可证0,火也在平面/8C与平面a的交线上.

故P,Q,H三点共线于平面Z8C与平面a的交线.

二、能力提升

8.如图所示，在正方体ZBC0一小巴G2中，。为。8的中点，直线小C

交平面于点M,则下列结论错误的是（）

A.Ci，M,。三点共线B.C\,M,O,C

四点共面

C.G，O,A,M四点共面D.Di，D,O,M

四点共面

答案D

解析在题图中，连接小G，AC,则=

4CC平面C、BD=M.

，三点Ci，M,O在平面与平面NCG小的交线上，

即G，M,。三点共线，

二•选项A,B,C均正确，D不正确.

9.若直线/与平面a相交于点O,A,BB,C,D^a,^.AC//BD,贝O,

C,。三点的位置关系是.

答案共线

解析---ACIIBD,

与8。确定一个平面，记作平面6，则anp=直线CD

lC\a=O,Oa.

又,•,()£ABUp,

，。£直线CO,..O,C,。三点共线.

10.如果一-条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交

线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成

的“正交线面对”的个数是.

答案36

解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着

24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12

条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.

11.如图所示，在正方体Z8C。一小与CN1中，E为Z8的中点，/为小/的

中点，求证：(1)E,F,5，。四点共面；

(2)CE,DRD4三线共点.

证明(1)分别连接EEAiB,D\C.

•••£,。分别是48和44i的中点,

统；小8.又小。统BiCi统BC,

四边形4D0为平行四边形.

：.A\BIICDi，.-.EFIICD\.

，EF与CA确定一个平面，

F,Di，。四点共面.

⑵

-.-EF^CDi，直线。/和CE必相交.设DiFCCE=P,如图.

••,O/U平面Z小。Q,PSDR

•••PE平面4401D

又CEU平面/BCD,PWEC,

••.PS平面ABCD.

••.P是平面N6CD与平面AA\D\D的公共点.

又平面NBCDC平面AA\D\D=AD,

.-.peAD,.--CE,DRD4三线共点.

三、探究与创新

12.如图，直角梯形Z80C中，AB//CD,AB>CD,S是直角梯形N80C所在

平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.

解很明显，点S是平面S8。和平面£4。的一个公共点，即点S在交线上.由

于AB>CD,则分别延长ZC和8。交于点£,如图所示，

•；E"C,NCU平面SZC,

E€平面SAC.

同理，可证E6平面SBD

・•・点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连接SE,直线SE就是平面SBD

和平面SAC的交线.

13.如图所示，在正方体ABCD—ABCiDi中，试画出平面AB\D\与平面

ACC\A\的交线.

解

AB

如图，设小=

...。1£小。1，4©u平面ZCG4，

O\£平面ACC\A\.

又.•.Q£囱。1，

BQiU平面ABQi，

.t'O\£平面AB\D\.

••.Q是平面ZCG4与平面AB\D\的公共点.

而点A显然也是平面ACC\A\与平面AB\D\的公共点.

连接AO\,根据公理3知AO\是平面ABD与平面ACC\A\的交线.

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

h预习导学挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.会判断空间两直线的位置关系.

2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.

3.能用公理4解决一些简单的相关问题.

［知识链接］

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点有且只有？个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该

点的公共直线.

［预习导引］

1.空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系有且只有三种.

(1)若从公共点的数目分，可以分为

①只有一个公共点一相交.

②没有公共点1异面.

(2)若从平面的基本性质分，可以分为

①在同一平面内］言.

②不同在任何■■个平面内---异面.

2.异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.

(2)异面直线的画法

3.平行公理(公理4)

文字表述：平行于同一条直线的两条直线壬红，这一性质叫做空间平行线的

传递性.

a//b

符号表述：\^a//c.

bHc.

4.等角定理

空间中如果两个角的两边分别壬狂，那么这两个角相等或互补.

5.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a'//a,b'

〃从我们把/与b'所成的锐角（或直角）叫做异而直线a与6所成的角（或夹角）.

（2）异面直线所成的角3的取值范围：（0°,90°1.

（3）当。=维时，a与6互相垂直，记作”.

歹课堂讲义重点难点，个个击破

要点一空间两条直线位置关系的判断

例1如图，正方体N8C。一小8G2中，判断下列直线的位置关系:

①直线AiB与直线DXC的位置关系是；

②直线AiB与直线8c的位置关系是；

③直线DQ与直线DXC的位置关系是；

④直线AB与直线B】C的位置关系是.

答案①平行②异面③相交④异面

解析直线。Q与直线。C显然相交于2点，所以③应该填“相交”；直

线48与直线DC在平面小8C■中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①

应该填"平行"；点小、8、81在一个平面418sl内，而。不在平面小8囱内，

则直线小8与直线囱C“异面”.同理，直线Z8与直线囱C“异面”.所以②

④都应该填“异面”.

规律方法1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条

直线平行也可以用公理4判断.

2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便,

故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.

跟踪演练1(1)若小6是异面直线，b、c是异面直线，则()

A.a//cB.a>c是异面直

线

C.<7、C相交D.4、C平行或相

交或异面

(2)若直线a、b、。满足a、c异面，则力与。()

A.一定是异面直线B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线D.不可能是相交直

线

答案(1)D(2)C

解析(1)若a、6是异面直线，b、c是异面直线，那么「、c可以平行，可

以相交，可以异面.

(2)若aIIb,a、c是异面直线，那么6与c不可能平行,否则由公理4知a

IIc.

要点二公理4、等角定理的应用

例2在如图所示的正方体ABCD-A\B\C\D\中，E、、Ei、R分别是棱

AB、AD、8iG、GA的中点,

求证：(1)E尸统E因;

⑵NE4F=NEiCFi.

证明(1)连接8。，BQi，

在△28。中，因为£、E分别为28、的中点,

所以EE破8D

同理，©F|战队

在正方体4BCD-451cl。中,BB傣DD「

所以四边形BBQiD为平行四边形，

因此，BD&秀BiDi，

又EF号8。，E\F\号,

所以EF统EiFi.

(2)取43的中点M,

连接PM,BM,则统囱G，

又BiCi^BC,

所以MFi统BC.

所以四边形8MBe为平行四边形，

因此，BMIICFi.

因为小"=；小囱，BE=；AB,

且统ZB,

所以小加统BE,

所以四边形BMA出为平行四边形，

则BMWA\E.

因此，CF\IIAiE,

同理可证小尸"CE\.

因为NE4尸与NECB的两边分别对应平行，且方向都相反，所以NE4尸

=NEiCFi.

规律方法(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在

同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三

角形，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4:找到一条

直线，使所证的直线都与这条直线平行.

(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.

跟踪演练2如图，已知E,F,G,H分别是空间四边形N8C。的边

BC,CD,DA的中点.

A

(1)求证：E,F,G,"四点共面;

(2)若四边形EEG"是矩形，求证：ACLBD.

证明(1)在中，

,:E,"分别是的中点，

.'.EHIIBD.

同理尸G//8。，则EHIIFG.

故E,F,G,”四点共面.

(2)由⑴知EH"BD,同理4CI/G”.

又•••四边形是矩形，

•^•EH^LGH.故AC^LBD.

要点三求异面直线所成的角

例3(2014•达州高一检测)如图，在空间四边形/BCD中，AD=BC=2,E、

产分别是48、C。的中点，若EF=中,求异面直线8C所成角的大小.

解

如图，取8。的中点连接EM、FM.

因为E、E分别是ZB、8的中点，

所以E"女秀》Z),碱BC,

则或其补角就是异面直线8c所成的角.

AD=BC=2,所以EM=MF=1,

在等腰△MEF中，过点M,作MHLEF于H,

在RtaMWE中，EM=1,EH=*F=S，

则sinNEW”=4，

于是NEAff/=60。，则NEA^F=2NEMH=120。.

所以异面直线N。、8c所成的角为的补角，即异面直线BC所

成的角为60°.

规律方法1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角

时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点。常选取两异面直线中其

中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.

2.求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线.(2)证明：

用定义证明前一步的角为所求.(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异

面直线所成的角的范围.

跟踪演练3

如图，在正方体Z88一小囱GA中，

(1MC和DD\所成的角是；

(2)AC和D\C\所成的角是；

(3)JC和BQi所成的角是；

(4)AC和AXB所成的角是.

答案(1)90。(2)45°(3)90°(4)60°

解析(1)根据正方体的性质可得NC和。。所成的角是90。.

(2),.•£)!qIIDC,所以NZC。即为/。和。Ci所成的角，由正方体的性质

得N〃C0=45。.

(3\.-BDIIBiDi，BDLAC,.-.BXD\LAC,即ZC和囱口所成的角是90。.

(4)；4山"DC是等边三角形，所以NC和所成的角是60。.

■当堂检测i当堂训练，体验成功

1.(2014・临沂高一检测)若空间两条直线a和6没有公共点，则a与b的位

置关系是()

A.共面B.平行

C.异面D.平行或异面

答案D

解析若直线。和6共面，则由题意可知a"6；若。和6不共面，则由题

意可知。与b是异面直线.

2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是

()

A.平行或异面B.相交或异面

C.异面D.相交

答案B

如图，在正方体中，441与8C是异面直线，又AAiIIBBi，

A4IIDDi，显然=&。。与BC是异面直线，故选B.

3.设尸是直线/外一定点，过点尸且与/成30。角的异面直线()

A.有无数条B.有两条

C.至多有两条D.有一条

答案A

我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线以/'为

轴，与/'成30。角的圆锥面的所有母线都与/成30。角.

4.已知角a的两边和角夕的两边分别平行且a=80。，则夕=.

答案80。或100°

解析由等角定理可知，a"或a+夕=180。，

••./?=100。或80°.

5.在正方体中，£为CQi的中点，则异面直线ZE与

所成的角的余弦值为.

答案|

解析设棱长为1,

因为小历〃C\DX,

所以NNE。就是异面直线ZE与所成的角.

在△工皿中，

…cDiE21

cos//EG==§=丁

2

课堂小结

1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很

多情况下，定义就是一种常用的判定方法.

2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为

两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的

一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为仇且0。<。或90。,

解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.

营分层训练i解解纠偏，训练检测

一、基础达标

1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）

A.一定平行B.一定相交

C.一定异面D.相交或异面

答案D

解析可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）.

2.6为异面直线是指

①4门/>=0,且a不平行于6；②aU平面a,用平面a,且aCZ>=0；③aU

平面a,6U平面B，且an尸=0；④不存在平面a能使aUa,且bUa成立.（）

A.①②③B.①③④

C.②③D.①④

答案D

解析②③中的a,b有可能平行，①④符合异面直线的定义.

3.（2014•郑州高一检测）下列选项中，点尸，Q,R,S分别在正方体的四条

棱上，并且是所在棱的中点，则直线P0与是异面直线的一个图是（）

答案C

解析易知选项A,B中P0//RS,选项D中RS与P。相交，只有选项C

中与尸0是异面直线.

4.下面四种说法：

①若直线a、6异面，6、c异面，则a、c异面；

②若直线a、6相交，b、c相交，则a、c相交；

③若。〃6,则“、6与c所成的角相等；

④若。_L6,bLc,则。〃c.其中正确的个数是（）

A.4B.3

C.2D.1

答案D

解析若a、6异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故

①不对.若a、b相交，6、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②

不对.若hlc,则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对.③正确.

5.（2014•威海高一检测）如图,三棱柱ABC—AiB©中,底面三角形481G

是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（）

A,

A.CG与8E是异面直线

B.CC与NE共面

C.AE,囱G是异面直线

D.ZE与囱G所成的角为60。

答案C

解析由于CCt与囱E都在平面G88C内，故GC与SE是共面的，所以

A错误；由于CC在平面C/iBC内，而ZE与平面G58C相交于E点，点E

不在CC上，故CC与ZE是异面直线，B错误；同理/E与8iG是异面直线，

C正确；而ZE与&G所成的角就是/E与8C所成的角，E为6c中点，AABC

为正三角形，所以ZEJL8C,D错误.综上所述，故选C.

6.^AB//A'B',AC//A'C,则下列结论：

①NBAC=NB，A'C；

@ZABC+ZA'B'C'=180°；

®ZACB=ZA'CB'或NNC8+"C'B'=180°.

一定成立的是.

答案③

解析ABIIA'B',ACIIA'C',

NACB=NA'C'B'或N/CB+N/'CB'=180°.

7.在正方体力BCD—4B|CQi中，求小8与囱口所成的角.

解

如图，连接8。、A}D,

••288-小历。。1是正方体,

•..加）燃即,

四边形DBBQ1为平行四边形，

.--BDIIB\D\.

•••48、BD、小。是全等的正方形的对角线,

••A\B-BD=A\Dy

△48。是正三角形，

•••ZAiBD=60°.

・•,N48。是锐角，

，/小8。是异面直线与所成的角，

与用人所成的角为60°.

二、能力提升

8.（2014•信阳高一检测）如图所示，正方体中，异面直线48

与ZA所成角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案C

解析连接8C1、4G，•••8G”4）1，.•・异面直线48与4）1所成的角即

为直线小8与8G所成的角.

在△48G中，A\B=BC\—A\C\i

N4BG=60。.故异面直线A\B与ADX所成角为60°.

9.在空间四边形N8S中,/8=8,且异面直线AB与CD所成的角为30°,

E、E分别是边8c和/。的中点，则异面直线EE和所成的角等于（）

A.15°B.30°

C.75°D.15。或75。

答案D

解析

A

C

如图，设G是/。中点，分别连接EG、GR由已知得EG统FG号CD,

，NEGF是AB和CD所成角或是其补角.

■■■AB=CD,:.EG=GF.

当NEG/7=30。时，48和£尸所成角NGM=75。，

当NEGE=150。时，Z8和EE所成角NGEE=15。.

10.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

®ABLEF；②28与CM所成的角为60。；③良'与MN是异面直线；④）MN

//CD.

以上结论中正确的是（填序号）.

IE

答案①③

解析把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，ABLEF,EF

与肱V是异面直线，ABIICM,MNLCD,只有①③正确.

BD

;F0C

11.如图所示，在正四棱柱/8C。一小囱GA中，

AAi=2AB,求异面直线48与/2所成角的余弦值.

解连接4G，BCi，

由小得N8统。C1，四边形Z8G，是平行四边

形，.-.BCi^ADi，

N4BG是异面直线48与AD\所成的角或其补角.

如右图所示，过8,G分别作8A/J-aG，垂足为A/,

CiNlAiB,垂足为N.

由已知可设小囱=1,

则AA\=BB\=2,

•''A\B=BC\=\[5,

4G=啦.，点M是4G中点,

啦

，…cA\M2遮

・•・cosN54G=9=存=10.

•.,在Rt△小NG中，

A\N=A\C\CQS/-BA\C\=^-,

-'-BN=A\B-A\N=\[5-曰=

织一妪乂工4

-9-cosZA\BC\=

BC15*小5,

三、探究与创新

12.如图，四边形'和/8C。都是直角梯形，NBAD=NE4B=90。,BC

//AD,BC=^AD,BE//FA,BE=*4,G,H分别为E4,ED的中点.

(1)证明：四边形BC”G是平行四边形；

(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?

(1)证明由已知RG=GN,切=〃。，

可得GHIIAD,GH=又BCIIAD,

BC=%D,•••GHIIBC,GH=BC,

••・四边形BCHG为平行四边形.

(2)解C,D,F,E四点共面.证明如下:

由BEIIE4,BE=54,G为Al中点知，

BEIIFG,BE=FG,

，四边形BEFG为平行四边形，

.--EFWBG,EF=BG.

由(1)知8GliC",BG=CH,

.'.EFWCH,EF=CH,

四边形EFHC是平行四边形，

；.CE与HF共面,又DSFH,

..C,D,F,E四点共面.

13.如图所示，△/BC和△HB'C'的对应顶点的连线44'、88'、CC'

大千0-—04BOCO2

父于同一人、°，\\.OA>-OB，-oc'-3-

⑴求证：A'B'//AB,A'C//AC,B'C//BC；

⑵求4-

的值.

B'C

(1)证明---AA'CBB'=O,

40_BO_2

且0=B'O=?

.--ABIIA'B',

同理NC"/'C,BCIIB'C'.

(2)解':A'B'IIAB,A'C1/NC且和Z'B'、NC和C方向

相反，

•••NBAC=NB'A'C',

同理NZ8C=NA'B'C,

'△ABCs"B'C且击=景/

.S△-8C_02__4

S^A,B'C⑴夕

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4平面与平面之间的位置关系

彳预习导学挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.

2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.

［知识链接］

1.空间中两条直线的位置关系有平行、相交、异^面.

2.异面直线所成角的范围为（0。，90。］.

［预习导引］

1.直线与平面的位置关系

位置关系定义图形语言符号语言

直线在平

有无数个公共点aUa

面内

直线与平有且只有一个公共

言7

面相交点.

直线与平a

没有公共点alla

面平行

2.两个平面的位置关系

位置关系图形表示符号表示公共点

平面a与平

//a〃£没有公共点

面B平行%/

平面a与平

上am有一条公共直线

面夕相交

F课堂讲义1重点难点，个个击破

要点一直线与平面的位置关系

例1以下命题（其中6表示直线，a表示平面），①若a〃6,bUa,则a

//a；②若a〃a,h//a,则a〃8；③若a〃人，h//a,则a〃a；④若。〃。，bUa,

则a〃6.其中正确命题的个数是（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

答案A

如图所示在长方体Z8C。-

Z'8'C'中，ABIICD,A5U平面A5C。，但C0U平面A8C。，故①

错误；

A'B'II平面4BCD,B'CII平面4BCD,但，B'与B'C'相交，

故②错误；

ABWA'B',A'B'II平面4BCD,但/8U平面488,故③错误；

A'B'IIABCD,8CU平面Z8CZ）,但HB'与8c异面，故④错误.

规律方法1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是

直线与平面平行.

2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借

助模型（如长方体）和举反例两种行之有效的方法.

跟踪演练1（2014•宜昌高一检测）下列命题：

①若直线/平行于平面a内的无数条直线，则/〃a

②若直线a在平面a外，则a〃a

③若直线。〃方，直线6Ua,贝Ua〃a

④若直线。〃上直线力Ua,那么直线a就平行于平面a内的无数条直线

其中假命题的序号是.

答案①②③

解析对于①，・••直线/虽与平面a内无数条直线平行，但/有可能在平面

a内，不一定平行于a,••.①是假命题.对于②，・・・直线a在平面a外包括两

种情况：a//a和a与a相交，和a不一定平行，②是假命题.对于③，

,••直线。”6,bUa,则只能说明。和，无公共点，但a可能在平面a内，

r•a不一定平行于a,.,.③是假命题.对于④，TaIIb,bUa,那么aUa或a"

a,所以。可以与平面a内的无数条直线平行，，④是真命题.

要点二平面与平面的位置关系

例2给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是（）

①平面a内有两条直线和平面夕平行，那么这两个平面平行；②平面a内有

无数条直线和平面夕平行，则a与尸平行；③平面a内△N8C的三个顶点到平

面夕的距离相等，则a与夕平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面

的位置关系是相交或重合.