2020年人教版高中数学必修五全册教案

2020年人教版高中数学必修五全册精品教

案（精华版）

课题：§i.i.1正弦定理

授课类型：新授课

・教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定

理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三

角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形

中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到

一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的

运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过

三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之

间的普遍联系与辩证统一。

・教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

・教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

・教学过程

I.课题导入

如图1.1-1,固定AABC的边CB及NB,使边AC绕及夕

思考：ZC的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角/C的大小的增大而增大J能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？

CB

II.讲授新课

［探索研究］

(01.1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角

三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2,在RtAABC中，设

BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定夫有晟=sin/,

—=sinB，又sC==—,

cc

A

则上=工===。b

sin力sin5sinC

C

口

从而在直角三角形ABC中，ca

sin/4sin«sine

B

图1.1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立?

(由学生讨论、分析)

2

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1.1-3,当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,

a

从而a_bA

sin4sidsinC

cB

(01.1-3)

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而

可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作,C

由向量的加法可得AB=AC+CB

贝！Jj-AB=j.（AC+-----------------'A

B

j-AB^j-AC+j-CBj

|j||AB|cos（900-/l）=0+|j||CB|cos（900-C）

l

csinA=asinC，即—rT-C„

sinAsinC

同理，过点C作儿BC,可得刍=$

sinBsinC

从而—^―=—^―=—^—

sin力sin8sin。

类似可推出，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学

3

生课后自己推导)

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，

即

a_b_c

sin/4sin8sinC

［理解定理］

(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比

例系数为同一正数，即存在正数k使a=4sin/l,b=ksinB,c=ksinC;

(2)。=上=3等价于上，上，3=3

sin力sinBsin。sin/sinBsinCsinBsin/sinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如。=竺粤；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如sin/=gsin6。

b

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作

解三角形。

［例题分析］

例1.在AABC中，已知A=32.0°,8=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

C=180°-(A+B)

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°;

根据正弦定理,

4

asinfi42.9sin81.8°

b=«80.l(cm);

sinA-sin32.0°

根据正弦定理,

asinC42.9sin66.2°

c=«74.1(cw?).

sin4-sin32.0°

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2.在AABC中，已知a=20cm,6=28CID,A=40。，解三角形(角

度精确到1。，边长精确到1cm)。

解：根据正弦定理,

加inA28sin400

sinB=00.8999.

20

因为0°<8<180°,所以8=64°,或尾116".

⑴当於64。时,

C=180°-(A+8)引80°-(40°+64°)=76°,

asinC20sin760

c=«3(Xcvn).

sinA-sin40°

⑵当除116°时,

C=180°80°-(40°+116°)=24°,

sinAsin40°

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的

情形。

m.课堂练习

第5页练习第1(1)、2(1)题。

［补充练习］已知AABC中9sin卜：sin5:sinC=l:2:3，求

(答案：1：2：3)

W,课时小结(由学生归纳总结)

5

(1)定理的表示形式：」=工=1=——空"——=k(k>0);

sinJsinBsinCsin/+sin夕+sin。')

或a=4sin/,b=ksinB9c=ksinC(A>0)

(2)正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

V.课后作业

第10页[习题1.1]A组第1(1)、2(1)题。

・板书设计

・授后记

课题：§1.1.2余弦定理

授课类型：新授课

・教学目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方

6

法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践

演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的

运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,

来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

•教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

・教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

•教学过程

I.课题导入

C

已知a,b和/C,求边Cb

Ac

B

图1.1-4)

II.讲授新课

7

［探索研究］

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

|c|二c-c=卜_6)1_6)

=a•a+b•b-2a♦bCa

=|c?|+|/?|-2a-b

B

从而c2,=a1-\-bz-2abcosC(图1.1-5)

同理可证/=加+/_2bccosA

b2=++/-2accos5

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减

去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

a2=Z?2+C2-2Z?CCOS/4

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+Z72-2abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以

求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论:

b2+c2-a2

cosA=

-2bc-

a2+c2-b2

cos8=

lac

8

h2+a2-c2

-2^-

［理解定理］

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦

定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理

之间的关系？

(由学生总结)若AABC中，C=90°,则cosC=0,这时02=/+//

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

［例题分析］

例1.在2kABC中，已知”=26，c=V6+V2,8=60。，求b及A

⑴解:*.*b2=a2+c2-2accosB

=(2X/3)2+(^+V2)2-2-2X/3-(V6+X/2)COS45°

=12+(X/6+N/2)2-4A/3(>/3+1)

=8

:.b=2®

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

4_k+。2_/_(2啦y+(次十无广0百户」

⑵解法一:C°SA=观=-2x272x(76+72)立

A=60°.

解法二：TsinA号但翁in45。,

又•:V6+V2>2.4+14=3.8,

9

273<2x1.8=3.6,

o<c,即00<A<90。，

.JA=60°.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

例2.在△ABC中，已知a=134.6cm,b=S7.8cm,c=161.7cm,解三角形

(见课本第8页例4,可由学生通过阅读进行理解)

解：由余弦定理的推论得:

b2+c2-a2

COSA=-2^-

222

=87.8+161.7-134.6

=~2x87.8x161.7

*0.5543,

AR56°20';

cos8=包*

2ca

222

=134.6+161.7-87.8

=~2x134.6x161.7

合0.8398

B«32°53,;

C=180°-(A+B)»l80°-(56020,+32053,)

m.课堂练习

第8页练习第1(1)、2(1)题。

［补充练习］在AABC中，若/=62+/+历，求角A(答案:A=120°)

IV.课时小结

(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是

余弦定理的特例；

(2)余弦定理的应用范围：①.已知三边求三角；②.已知两边及

10

它们的夹角，求第三边。

V.课后作业

①课后阅读：课本第9页［探究与发现］

②课时作业：第11页［习题1.1”组第3(1),4(1)题。

•板书设计

・授后记

II

课题：§1.1.3解三角形的进一步讨论

授课类型：新授课

•教学目标

知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形

时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角

形面积定理的应用。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综

合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问

题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三

角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一

定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联

系。

・教学重点

在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时.，有两解或一解或

无解等情形；

三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

•教学难点

正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

・教学过程

I.课题导入

12

［创设情景］

思考：在AABC中，已知a=22ow,6=2漱，4=133。，解三角形。

(由学生阅读课本第9页解答过程)

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角

解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这

种情形下解三角形的问题。

II.讲授新课

［探索研究］

例1.在AABC中，已知a,ZU，讨论三角形解的情况

分析：先由sin人丝辿可进一步求出B;

a

贝！J6=180。-(4+6)

从而c=asi：C

1.当A为钝角或直角时，必须a>6才能有且只有一解；否则无解。

2.当A为锐角时，

如果a26,那么只有一解；

如果a<6,那么可以分下面三种情况来讨论：

(1)若a>6sin/,则有两解；

(2)若a=6sin/,则只有一解；

(3)若a<8sin/,则无解。

(以上解答过程详见课本第910页)

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形

时，只有当A为锐角且

13

6sin/<a<Z?时、有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]

(1)在AABC中,已知a=80,6=100,乙4=45。，试判断此三角形的解

的情况。

(2)在AABC中，若a=l,NC=40。，则符合题意的b的值有

个。

(3)在AABC中，a=xcm,b=2cm,Z.B=45",如果利用正弦定理解三

角形有两解，求X的取值范围。

(答案:(1)有两解；(2)0；(3)2<x<2血)

例2.在AABC中，已知a=7,8=5,c=3,判断AABC的类型。

分析：由余弦定理可知

a?=〃+/o4是直角。MBC是直角三角形

a?>〃+/。力是钝角=AABC是钝角三角形

a?cZ^+c?=/是锐角与AABC是锐角三角形

(注意：/是锐角%AABC是锐角三角形)

解:72>52+32,^a2>b2+c2,

，AABC是钝角三角形。

[随堂练习2]

(1)在AABC中，已知sinZ:sin6:sinC=l:2:3,判断AABC的类型。

(2)已知△ABC满足条件acos4=Z?cosZ?,判断AABC的类型。

(答案：(1)MBC是钝角三角形；(2)aABC是等腰或直角三角形)

例3.在AABC中，力=60。，b=l,面积为半，求.「十"°.八的值

2sinJ+sinZ?-FsinC

分析：可禾I」用三角形面积定理S='|absinC=；acsin8=t/?csin/以及

正弦定理

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a_b_c_a+6+c

sin/sin8sinCsinJ+sin5+sinC

解：由S=；6csin4='^得c=2,

贝lja2=Z?2+c2-2bccosA=3,即"囱，

从而一生过一=q=2

sin力+sin8+sinCsin/

m.课堂练习

(1)在AABC中，若a=55,6=16,且此三角形的面积S=220囱，求角

C

(2)在MBC中，其三边分别为a、b、c,且三角形的面积5=匕"，

4

求角C

(答案：(1)60°或120°;(2)45°)

IV.课时小结

(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或

一解或无解等情形；

(2)三角形各种类型的判定方法；

(3)三角形面积定理的应用。

V.课后作业

(1)在AABC中，已知6=4,c=10,6=30。，试判断此三角形的解的

情况。

(2)设X、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数X的取值范围。

(3)在AABC中，4=60。，a=l,b+c=2,判断AABC的形状。

(4)三角形的两边分别为3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程

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5*2-7犬-6=0的根，

求这个三角形的面积。

・板书设计

・授后记

16

课题：§2.2解三角形应用举例

第一课时

授课类型：新授课

•教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有

关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节

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课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用”提出问题一一引发

思考一一探索猜想一一总结规律一一反馈训练”的教学过程，根据大

纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通

过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决

实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思

路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价

值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决

数学问题的能力

・教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实

际问题的解

•教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图

・教学过程

I.课题导入

1、［复习旧知］

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型

的三角形？

2、［设置情境］

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们

遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”

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在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什

么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高

度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、

相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在

实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够

的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限

性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开

始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何

测量距离。

n.讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确

做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知

的边、角，通过建立数学模型来求解

［例题讲解］

（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的

距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的

距离是55m,ZBAC=51°,NACB=75。。求A、B两点的距离（精确到0.Im）

B

图L2-1

19

启发提问1：AABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理

比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间

的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据

三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正

弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得

AB=AC

sinZACBsinZ.ABC

AB=ACsinZACB

sinZABC

二55sinZ4CB

sinZABC

=55sin75°

sin(1800-51o-75°)

二55sin75°

sin540

心65.7(m)

答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A

在观察站C的北偏东30。，灯塔B在观察站C南偏东60。,则A、B之

间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。

解略：V2akm

例2、如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、

B两点间距离的方法。

20

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测

量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定c、D两点。根据正弦

定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分

别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

图1.2-2

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两

点分别测得NBCA=a,

ZACD=/j,ZCDB=Z,ZBDA=S,在AADC和^BDC中，应用正弦

定理得

AC=4sin(y+b)—〃sin(y+b)

sin[1800_(1+y+创sin(4+,+5)

BC=〃sin.—t?sin/

sin[180°-(a+^+x)]sin(cr+0+y)

计算出AC和BC后，再在AABC中，应用余弦定理计算出AB两点

间的距离

AB=JAC?+BC?-2ACxBCcosc

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分

析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得NBCA=6(T,

ZACD=30°,ZCDB=45=,ZBDA=60°

21

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20几

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解

决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的

还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例

子。

m.课堂练习

课本第14页练习第1、2题

IV.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中

在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学

模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问

题的解

V.课后作业

课本第22页第1、2、3题

・板书设计

・授后记

22

课题：§2.2解三角形应用举例

第二课时

授课类型：新授课

•教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有

关底部不可到达的物体高度测量的问题

过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的

方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐

步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三

角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导一讨论一归纳，目

的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作

业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间

情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观

察、归纳、类比、概括的能力

・教学重点

结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题

•教学难点

能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件

・教学过程

I.课题导入

23

提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？

又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天

我们就来共同探讨这方面的问题

II.讲授新课

［范例讲解］

例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设

计一种测量建筑物高度AB的方法。

A

图1.2-4

分析：求AB长的关键是先求AE,在AACE中，如能求出C点到建筑

物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE

的长。

解：选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、

G两点用测角仪器测得A的仰角分别是°、尸，CD=a,测角仪器的

高是h,那么，在AACD中，根据正弦定理可得

AC=-sin-

sin(a-P)

AB=AE+h

-ACsina+h

二«sinasinp+h

sin（a一夕）

24

例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角“=54。40，，

在塔底C处测得A处的俯角尸=50°ro已知铁塔BC部分的高为27.3m,

求出山高CD（精确到1m）

图1.2-5

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思

考）若在AABD中求CD,则关键需要求出哪条边呢？

生：需求出BD边。

师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再根据/BAD=a求得。

解:在AABC中，NBCA=90°+»,/ABC=90；a,/BAC=c-p,zBAD

=。.根据正弦定理，

BC_AB

sin（a-Q）sin（90°+夕）

所以AB=BCsin（90'+-）=BC8ss

sin（a-夕）sin（a-夕）

解RtAABD中，得BD=ABsinzBAD=fiCcos^sina

sin（a-/?）

将测量数据代入上式,得

25

27.3cos50'l'sin54''40'

sin(5440,-50°l,)

_27.3cos50°l,sin54°40,

sin4°39'

-177(m)

CD=BD-BC^177-27.3=150(m)

答：山的高度约为150米.

师：有没有别的解法呢？

生：若在AACD中求CD,可先求出AC。

师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC?

生：同理，在AABC中，根据正弦定理求得。(解题过程略)

例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得

公路南侧远处一山顶D在东偏南15。的方向上,行驶5km后到达B处,

测得此山顶在东偏南25’的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.

图1.2-6

师：欲求出CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？

生：在ABCD中

师：在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件，易计算出哪条

边的长？

生：BC边

26

解:在AABC中,zA=15°,zC=25°-15°=10°,根据正弦定理,

BC=AB

sinAsinC'

Be-ABsinA_5sin15

sinCsin10

%7.4524(km)

CD=BCxtanzDBC^BCxtan8°^1047(m)

答：山的高度约为1047米

m.课堂练习

课本第17页练习第1、2、3题

IV.课时小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方

位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适

当的简化。

V.课后作业

1、课本第23页练习第6、7、8题

2、为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测

得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的高

度为多少m?

答案：20+型四(m)

3

・板书设计

・授后记

课题：§2.2解三角形应用举例

第三课时

27

授课类型：新授课

・教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有

关计算角度的实际问题

过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对

解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。

除了安排课本上的例1,还针对性地选择了既具典型性有具启发性的

2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生

的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积

极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，

举一反三。

情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问

题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。

・教学重点

能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系

・教学难点

灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题

・教学过程

I.课题导入

［创设情境］

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已

知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中，

28

人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方

向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问

题。

II.讲授新课

［范例讲解］

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75。的方向航行67.5nmile

后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32。的方向航行54.0nmile

后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的

方向航行，需要航行多少距离？（角度精确到0.1。，距离精确到O.Oln

mile）

图1.2-7

学生看图思考并讲述解题思路

教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出

AC边所对的角/ABC,即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算

出AC边和AB边的夹角zCABo

解:在AABC中，zABC=180--75°+32°=137°,根据余弦定理,

AC=A/AB2+BC2-2ABXBCXcosZABC

=^67.52+54.02-2x67.5x54.0xcos137"

^113.15

29

根据正弦定理，

BC=AC

sinZCABsinZABC

SinzCAB=BCsinZA4c

AC

-54.0sinl37°

113.15

-0.3255,

所以zCAB=19.0°,

750-zCAB=56.0°

答:此船应该沿北偏东56.1°的方向航行，需要航行113.15nmile

例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为e,沿BE方向前

进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2e,再继续前进10后m至D

点，测得顶端A的仰角为46,求。的大小和建筑物AE的高。

师：请大家根据题意画出方位图。

生：上台板演方位图（上图）

教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位

同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=10V3,

ZADC=180°—4e,

30

.10石=30。

-sin2-sin(180°-46>)0

因为sin4e=2sin2ecos2e

cos2e=且，得2e=30°

2

0=15°,

.•.在RtAADE中,AE=ADsin600=15

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

解法二：(设方程来求解)设DE=x,AE=h

在RtAACE中，(10V3+x)2+h2=302

在RQADE中,x2+h2=(10⑸2

两式相减，得x=56，h=15

.•.在RtAACE中，tan2e=T—=—

10V3+X3

.-.20=30°,0=15°

答：所求角6为15°,建筑物高度为15m

解法三：(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=8,由题意，得

/BAC=e,/CAD=2e,

AC=BC=30m,AD=CD=10V3m

在Rt△ACE中，sin2eX

30

--------①

在RtAADE中，sin4o=4

I0A/3

--------②

②+①得cos2=—,2=30°,。=15°,

2

31

AE=ADsin600=15

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45。相距9海里的C处有一艘走私

船，正沿南偏东75。的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡

逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿

什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参

变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，

则CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=750+45O=120°

(14x)2=92+(lOx)2-2x9xlOxcos1200

二化简得32x2-30x_27=0,即x=』，或x=_—(舍去)

216

所以BC=lOx=15,AB=14x=21,

又因为sin/BAC=^sinl2O0=15xV3=573

AB21214

/.ZBAC=38°⑶，或NBAC=141。47,(钝角不合题意,舍去),

.•.38°13'+45。=83°13'

32

答：巡逻艇应该沿北偏东83013,方向去追，经过1.4小时才追赶上该

走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，

但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际

意义，从而得出实际问题的解

m.课堂练习

课本第18页练习

IV.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知

量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）

已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三

角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

V.课后作业

1、课本第23页练习第9、10、11题

2、我舰在敌岛A南偏西5（）。相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北

偏西1（）。的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿

什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）

・板书设计

・授后记

33

课题：§2.2解三角形应用举例

授课类型：新授课

•教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决

有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的简单推导和应用

过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学

生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题

型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放

手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理

的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点,

就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理

的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在

探究中体验愉悦的成功体验

•教学重点

推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目

•教学难点

利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题

•教学过程

I.课题导入

［创设情境］

34

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它

的另一个表达公式。在

△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h“、3、h(.,那么它们

如何用已知边和角表示？

生：ha=bsinC=csinB

h&=csinA=asinC

hf=asinB=bsinaA

师：根据以前学过的三角形面积公式S='ah,应用以上求出的高的公

2

式如h,f=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，

S=labsinC,大家能推出其它的几个公式吗？

2

生：同理可得，S=-bcsinA,S=-acsinB

22

师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些

条件也可求出三角形的面积呢？

生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解

II.讲授新课

［范例讲解］

例1、在AABC中，根据下列条件，求三角形的面积例精确到0.1cm2)

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;

(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角

形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知

35

什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

解:(1)应用S=，acsinB,得

2

S=-X14.8x23.5xsinl48.5°心90.9(cm2)

2

(2)根据正弦定理，

h

sinBsinC

C—hsinC

sin8

S=-bcsinA=-b2sinCshM

22sinB

A=1800-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°

c1csin65.8°sin51.50入门(

S=-x3.162X---------------^4.0(cm2)

2sin62.7

⑶根据余弦定理的推论，得

_38.7?+41.42-27.32

2x38.7x41.4

^0.7697

sinB=71-cos2BV1-0.76972^0.6384

应用S=-acsinB,得

2

S^1x41.4x38.7x0.6384^511.4(cm2)

2

例2、如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造

成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为

68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？(精确到0.1cm2)?

师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的

面积公式求解。

36

由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。

解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论,

cosB=l+a2、2

2ca

1272+682-882口.

2x127x68

sinB=7i-0.75322®0.6578

应用S=-acsinB

2

S^1x68x127x0.6578^2840.38(m2)

2

答:这个区域的面积是2840.38m2o

例3、在AABC中，求证:

122

(1)a+b~sin/I+sinB

sin2C

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左

右两边的特点，联想到用正弦定理来证明

证明：(1)根据正弦定理，可设

a—b—=k

sinAsinBsinC

显然k*0,所以

222222

左边=a+hksinA+ksinB

「一

=sin2A+sin2B=右边

sin2c

(2)根据余弦定理的推论,

22

右边=2(bc=^+cac口+ab"f-