2020-2021学年广东省东莞市高一年级下册期末数学试卷及答案解析

2020-2021学年广东省东莞市高一下期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1.（5分）已知”z=2+iM是虚数单位），则复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）已知向量e1=（x,1）,e2=（x—2,3）共线，则尤的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

3.（5分）如图是水平放置的△A3。的斜二测直观图B'O',D'是O'B'的中点,

则△A3。中长度最长的线段为（

C.ADD.AB

4.（5分）已知一组数据为85,87,88,90,92,则这组数据的第60百分位数为)

A.87B.87.5C.89D.91

5.（5分）已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则该圆柱的外接球的体积为（）

5V57T8V27T20V57r64近兀

6.（5分）“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴

花塔高为OT,测量小组选取与塔底。在同一水平面内的两个测量点A和8,现测得/

054=105°,/O48=45°,AB=45m,在点8处测得塔顶T的仰角为30°,则塔高

OT为()

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15V245V2

A.15V6mB.-------mC.45V6mD.-------m

22

7.（5分）2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”

党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（图1）和前200名中高一学生

排名分布的频率条形图（图2）.则下列命题错误的是（

前200名学生分布的拼状图前200名中高一学生排名分布的频率条形图

图2

A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人

B.成绩第1〜100名的100人中，高一人数不超过一半

C.成绩第1〜50名的50人中，高三最多有32人

D,成绩第51〜100名的50人中，高二人数比高一的多

8.（5分）在四边形ABC。中，AB〃CZ）,A8=2CO=4,AC=4,BD=5,则A。的长为（）

A.V10B.VTlC.V13D.V15

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选

项在答题卡中的相应位置涂黑.

（多选）9.（5分）袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，从中取两个球，每次取一个

球，取球后不放回，设事件A=｛第一个球是红球｝,8=｛第二个球是黄球｝,则下列结论

正确的是（）

A.A与B互为对立事件B.A与B互斥

C.P（A）=P（B）D.P（AUB）

（多选）10.（5分）已知复数z（zWO）,2是z的共轨复数，则下列结论正确的是（）

A.若z=2,则zCRB.若|z|=l,贝！|z-2=l

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C.若gcR,则zERD.若z2+/=0,则z=0

（多选）n.（5分）已知］与力均为单位向量，其夹角为仇则下列结论正确的是（）

tt27r

A.\a+6|>1<=^>06[0,—)B.|a+b|>1=0G，"]

T)TTTrTT

C.\a-b\<l^ee[0,J)D.|a-b|VI0e(4,TT]

（多选）12.（5分）如图，在正方体ABCD-AiBiCiOi中，M,N,尸分别为棱881,BiCi,

CG的中点，则下列结论正确的是（）

A.4CJ_平面。1MN

B.点P与点D到平面D1MN的距离相等

C.平面D1MN截正方体ABC。-A1B1C1D1所得截面图形为等腰梯形

D.平面。1MN将正方体ABCD-AiBiCiDi分割成的上、下两部分的体积之比为7：17

13.（5分）如图，由A,8两个元件组成一个串联电路，元件A,8正常工作的概率分别为

0.9和0.8,则电路正常工作的概率为.

14.（5分）广场上的玩具石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.如果被

截正方体的棱长为2式，那么玩具石凳的表面积为.

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—>—>

15.（5分）已知点A（1,0）,B（0,1）,C为坐标平面内一点，且=L则满足条

件的点C的一个坐标为.

16.（5分）“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优

美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共

部分形成的几何体（如图1）.如图2所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，

其中APC与3尸。为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为。，半径为1.用平行于底

面ABCD的平面a去截“四脚帐篷”所得的截面图形为；当平面a经过OP的

中点时，截面图形的面积为.

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四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区

域内，超出指定区域的答案无效.

17.（10分）设复数z=x+yi,zo=xo+yoi,记复数z与zo分别对应复平面内的点Z（x,y）

和Zo（xo,yo）.

（1）根据复数及其运算的几何意义，求Z和Zo两点间的距离；

（2）已知|z-zo|=r。为正实数）表示动点Z的集合是以点Zo为圆心，r为半径的圆.那

么满足条件lW|z-（1+i）|W3的点Z的集合是什么图形？并求出该图形的面积.

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18.（12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.现有下列四个条件：①“:V3,

②6=2,③遮（b-acosC）—asinC,@a2+c2-b2=-^^-ac.

（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；

（2）请在上述四个条件中选择使AABC有解的三个条件，并求出△ABC的面积.

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19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，E为尸C中点，平面小D_L平面

ABCD,AB=4,PA=PD=2或.

(1)证明：出〃平面BDE-,

(2)证明：AB1PD；

(3)求三棱锥C-BZ)E的体积.

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20.（12分）如图，斜坐标系xOy中，3，■分别是与无轴、y轴正方向同向的单位向量，

且ei，e2的夹角为120°,定义向量。P=xei+ye2在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对

（x,y）.在斜坐标系xOy中完成下列问题：

（1）若向量小的坐标为（2,3）,计算［0^|的大小；

—>—>

（2）若向量。M的坐标为（xi,yi）,向量ON的坐标为（了2,"）,判断下列两个命题的

真假，并说明理由.

—>—»

命题①：若。M〃0N,则xi”-x2yi=0；

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21.（12分）4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行

分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，

女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数

分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区

间中点值代表该组的各个值）

男生一周阅读时间频数分布表

小,时频数

[0,2)9

⑵4)25

[4,6)3

[6,8)3

（1）从一周课外阅读时间为［4,6）的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽

取2人，求恰好一男一女的概率；

（2）分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数元，y；

（3）估计总样本的平均数2和方差s2.

参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为s勇2=2.4和s”

=3.S2=焉［求1（所元）2+摩］（元一2）2+求］（%_歹）2+2署（歹—2）2］,

Xi（0WiW40）和V（0WW60）分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中iez.

女生一周阅读时间频率分布直方图

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22.(12分)如图1,“雪糕筒”为校园中常见的交通标识，其可以近似的看成一个圆锥.如

图2,放置在水平地面上的某型号“雪糕筒”底面直径AB=20,母线尸8=60,该“雪糕

筒”绕点8被放倒后A、B、P'在同一条直线上.

(1)求“雪糕筒”被放倒后最高点离水平地面的距离；

(2)求直线P8与圆面。'所成的角的余弦值；

(3)若放倒后的“雪糕简”绕点P沿水平地面旋转一周，请说明旋转一周形成的曲面

所围成的旋转体的特征(不用说明理由).

图1图2

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2020-2021学年广东省东莞市高一下期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1.（5分）已知”z=2+i（i是虚数单位），则复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：因为i'z=2+i,

所以z=^=乂等=1—2i,

1/

所以z对应的点的坐标为（1,-2）,位于第四象限.

故选：D.

2.（5分）已知向量e1=（x,1）,e2=（x—2,3）共线，则尤的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【解答】解：：向量3=（久，1）,届=（久一2,3）共线，

3x-1X（x-2）=0,即x=-1.

故选：A.

3.（5分）如图是水平放置的△A3。的斜二测直观图B'O',D'是B'的中点,

则△ABO中长度最长的线段为（）

A.OAB.OBC.ADD.AB

【解答】解：由斜二测直观图B'0'可知，O'A'LO'B',

则AO_LOB,

所以△A08为直角三角形，OA,08为直角边，为斜边，

又。为的中点,

所以AB最长.

故选：D.

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4.（5分）已知一组数据为85,87,88,90,92,则这组数据的第60百分位数为（）

A.87B.87.5C.89D.91

【解答】解：该组数据从小到大排列为85,87,88,90,92,计算5X60%=3,

OOlQQ

所以这组数据的第60百分位数为------=89.

2

故选：C.

5.（5分）已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则该圆柱的外接球的体积为（）

5^5718y/27120V5TT64V2TT

A.-------B.-------C.---------D.---------

6333

【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为迎，

则圆柱的外接球的半径为企，

可得该圆柱的外接球的体积为v=X（/）3=学.

故选：B.

6.（5分）“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴

花塔高为0T,测量小组选取与塔底0在同一水平面内的两个测量点A和B,现测得/

OBA=105°,ZOAB=45°,AB=45m,在点8处测得塔顶T的仰角为30°,则塔高

0T为（）

15V245V2

A.15\/6mB.-------mC.45V6mD.-------m

22

【解答】解：在△8AO中，ZAOB=180°-45°-105°=30°,

AB0B

由正弦定理得:即丁=解得BO=45V2,

sinZ.30°sizi45°'

2T

在RtZiOBT中，：tan/03T=嘉=字，

；.OT=OB,tanNOBT=孚X45&=15传

故选：A.

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7.（5分）2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”

党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（图1）和前200名中高一学生

排名分布的频率条形图（图2）.则下列命题错误的是（）

前200名学生分布的拼状图前200名中高一学生排名分布的频率条形图

,频率

0.4------------------------------1―

A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人

B.成绩第1〜100名的100人中，高一人数不超过一半

C.成绩第1〜50名的50人中，高三最多有32人

D.成绩第51〜100名的50人中，高二人数比高一的多

【解答】解：由前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形

图知：

对于A,成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多：

200X45%-200X30%=30人，故A正确；

对于8,成绩第1〜100名的100人中，高一人数为：90X（0.2+0.3）=45人，不超过一

半，故8正确；

对于C,成绩第1〜50名的50人中，高一学生有：90X0.2=18人，

成绩第1〜50名的50人中，高三最多有50-18=32人，故C正确；

对于成绩第51〜100名的50人中，高二人数不一定比高一的多，故O错误.

故选：D.

8.（5分）在四边形ABCD中，AB〃CD,A8=2C£）=4,AC=4,8。=5,则的长为（）

A.V10B.VlTC.V13D.V15

【解答】解：如图，过。作。交朋的延长线于E,则由题意可得四边形DEAC

为平行四边形，所以。E=AC=4,EA=CD=^AB=2,EB^EA+AB=6,

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在△。即中，由余弦定理可得:

DE乙+BE乙—DB乙4"+6乙—59

cosZE=

2DEXBE2x4x6否

再在△ADE中，由余弦定理可得:

AD2=DE2+AE2-2DEXXcosZE=42+22-2X4X2x^=ll,

所以AO=VTT,

故选：B

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选

项在答题卡中的相应位置涂黑.

(多选)9.(5分)袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，从中取两个球，每次取一个

球，取球后不放回，设事件A=｛第一个球是红球｝,B=｛第二个球是黄球｝,则下列结论

正确的是()

A.A与8互为对立事件B.A与8互斥

C.P(A)=P(B)D.P(AU8)=3

【解答】解：因为事件A和事件2有可能同时发生，故A与B不是对立事件，故选项A

错误，选项3错误；

111111

因为尸(A)=最P(B)+=则尸⑷=尸(B),故选项C正确；

111

因为尸(AB)=3x2=61

1111

所以尸(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=3+3-6=2,故选项正确.

故选：CD.

(多选)10.(5分)已知复数z(zWO),2是z的共朝复数，则下列结论正确的是()

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A.若z=5,则zERB.若|Z|=1,贝!Jz・5=1

C.若geR,则z€RD.若z2+*=o,则z=0

z

【解答】解：设z=〃+bi（a,/?不同时为0）,贝吃=〃-。工

对于A,若z=5,BPa+bi=a-bi,则/?=0,故z€R,故选项A正确;

对于5,若|z|=l,即〃2+廿=1,贝|z・5=/+庐=1,故选项5正确;

,一zrcc+bia2-b2+2abi

对于C,若*R'即0eR,

a2+b2

所以〃。=0,当〃=0,/?W0时，z£R,故选项C错误;

对于。，若z2+，2=o,即2/-2廿=0,则〃=±4故选项。错误.

故选：AB.

T7

（多选）11.（5分）已知a与b均为单位向量，其夹角为8,则下列结论正确的是（）

TT271TT2n

A.\a+b|>l«0G[O,—）B.|a+>106e（丁，n]

TTTTTT

C.\ci-b|VI=6E[0,可）D.\CL-b|VI<=>3G（可，TT]

TT

【解答】解：根据题意，a与6均为单位向量，其夹角为。，

若|a+b|>l,即|a+斤=。2+庐+2£1•匕=2+2cos6>1,变形可得cos0〉—

2兀

又由OWeWm则有。日0,y）,

故A正确，B错误；

若|a—b|<l,即|a—（^+庐-2a・6=2-2cos6<l,变形可得cos。〉〈,

71

又由owewm则有。日0,-）,

故c正确，。错误；

故选：AC.

（多选）12.（5分）如图，在正方体ABC。-A1B1C1D中，M,N,尸分别为棱281,BiCi,

CQ的中点，则下列结论正确的是（）

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A.4C_L平面DiMN

B.点尸与点D到平面DMN的距离相等

C.平面DiMV截正方体ABC。-A1B1C1D1所得截面图形为等腰梯形

D.平面D1MN将正方体A8CD-A121C1D1分割成的上、下两部分的体积之比为7：17

【解答】解：设A2=l,建立空间直角坐标系如图所示：

—>

对于A,Ai(1,0,1),C(0,1,0),所以=(-1,1,-1),

11

M(1,1,-),N(-,1,1),Di(0,0,1),

22

T11Tl

所以MN=0,%N=(-,1,0),

设平面的法向量为蔡=(x,y,z),

则任电V=0,即［；2"+产=。，

n'D±N=0(尹+y=0

令x=1,得y=-2，z=1,所以7i=(1,—a，1),

因为A：C与蔡不共线，所以因为G尸〃。1C〃4B,

所以A1C与平面。1MN不垂直，选项A错误；

第16页共27页

1T-*

对于3,尸（0,1,,P4=（1,0,0）,点尸到平面DiMN的距离为力=吗n=,1=

2㈤西3

。（0,0,0）,DM=（1,1,-）,点。到平面DMN的距离为“2=叵辿=%建龙=|,

2|n|J1+I+13

所以点P与点D到平面DiMN的距离相等，选项8正确；

对于C,连接AOi,AM,则四边形ADiMN是平面DMN截正方体42a所

得截面图形，

因为MN〃AOi,且MNWADi,所以四边形AD1MN是梯形，

又因为AM=O1N,所以梯形ADMN是等腰梯形，选项C正确；

对于。，平面D1A/N将正方体ABCD-AiBiCiDi分割成的上、下两部分，

11111111

计算几何体BiMN--A\AD\的体积为Vi=4x(-X-X-+-x-x--xlxl+

32222222

17

-X1X1）Xl=",

另一部分几何体的体积为吻=13—金=昙，

所以上、下两部分的体积之比为0：72=7：17,选项。正确.

故选：BCD.

三、填空题：

13.（5分）如图，由A,3两个元件组成一个串联电路，元件A,B正常工作的概率分别为

0.9和0.8,则电路正常工作的概率为0.概

【解答】解：根据题意，若电路正常工作，则元件A,8都正常工作，

则电路正常工作的概率尸=0.9X0.8=0.72,

故答案为：0.72.

14.（5分）广场上的玩具石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.如果被

截正方体的棱长为2vL那么玩具石凳的表面积为_^V3+24.

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【解答】解：根据题意可知，

玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和以2为边长的全等的6个正方

形构成，

，玩具石凳的表面积为：8X1x22sin60°+6X22=8V3+24.

故答案为：8旧+24.

15.（5分）已知点A（1,0）,B（0,1）,C为坐标平面内一点，且=L则满足条

件的点C的一•个坐标为（1,1）（答案不唯一，形如（x,》的坐标均正确）.

【解答】解：设点C的坐标为（x,y）,

—>—>

贝（=（-1,1）,AC=（x-1,y）,

—>—>

因为4B•4C=1,

所以-（尤-l）+y=l,整理得尤-y=0,

则满足条件的点C的一个坐标为（1,1）（答案不唯一，形如（x,x）的坐标均正确）.

故答案为：（1,1）（答案不唯一，形如（x,无）的坐标均正确）.

16.（5分）“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优

美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共

部分形成的几何体（如图1）.如图2所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，

其中APC与为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为O,半径为1.用平行于底

面ABCD的平面a去截“四脚帐篷”所得的截面图形为正方形；当平面a经过OP

3

的中点时，截面图形的面积为一.

—2—

第18页共27页

图1图2

【解答】解：由题意，图2所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，

因为底面ABCD为正方形，

由平行截面的性质可知，用平行于底面ABC。的平面a去截“四脚帐篷”所得的截面图

形AECO为正方形，

当平面a经过0P的中点时，因为。尸=1,则。0'=京OO'LO'B',

又。8=1,所以。E=苧，

故4®=亨x夜=强，

所以截面图形A8C。的面积为偿)2=卷

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区

域内，超出指定区域的答案无效.

17.(10分)设复数z=x+yi,zo=xo+yoi,记复数z与zo分别对应复平面内的点Z(x,y)

和Zo(xo,yo).

(1)根据复数及其运算的几何意义，求Z和Zo两点间的距离；

(2)已知|z-zo|=r。为正实数)表示动点Z的集合是以点Zo为圆心，r为半径的圆.那

么满足条件lW|z-(1+i)|W3的点Z的集合是什么图形？并求出该图形的面积.

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【解答】解：(1)因为点Z(x,y),Zo(%o,yo)对应的复数分别为z=x+yi,zo=xo+yoi,

—>

所以点z和zo之间的距离|zzo|=\zz0\=|z0-z\=|(%o+yoO-(^+yOI

=|(xo-x)+(yo-y)i\

=JOo-X)2+(%)-y)2；

(2)由题知方程|z-(1+i)1=1表示的动点Z的集合是以点(1,1)为圆心、1为半径

的圆，

方程|z-(1+i)1=3表示的动点Z的集合是以点(1,1)为圆心、3为半径的圆，

故不等式lW|z-(1+i)|W3表示的动点Z的集合是以点(1,1)为圆心、半径分别为1

和3的两个圆所形成的圆环形图形(含边界)，

所以该圆环形图形的面积为S=Tr-32-it-l2=8it.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.现有下列四个条件：①即旧，

②6=2,③遮(6-acosC)=asinC,@a2+c2-b2=—^^-ac.

(1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；

(2)请在上述四个条件中选择使△ABC有解的三个条件，并求出△ABC的面积.

【解答】解：(1)由条件③及正弦定理得-sin/cosC)=sin/s讥C,

由B=TC-(A+C),得V5(s讥Q4+C)—sinAcosC)=sinAsinC,展开得V5(si?iAcosC+

cosAsinC—sinAcosC)=sinAsinC,^yJScosAsinC=sinAsinC,

因为sinCWO,

所以75cos/=sinA,即Cem/=V3,

因为Ae(0,n),

所以4=家

-竽公

由条件④得，cosB=。号j"2ac

因为Be(0,G，一掾〈一本

所以--<B<7T,

3

在△ABC中，A+8>n不符合题意,

所以AABC不能同时满足条件③④.

(2)因为△ABC同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满足③④，则满足三角形有

解的所有组合为①②③或①②④.

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若选择组合①②③：

ab,V32,

由-=—T，得，=—解得sin5=l,

sinAsinB里sinB

2

因为BE(0,n),

所以B=§,即为直角三角形，解得c=l,

所以AABC的面积S=1xlxV3=^,

若选择组合①②④：

由b2=a1+c2-2accosB,即c2+2c-1=0,解得c=V2—1,

由cosB=—且Be(0,TT),得siziB=

所以△ABC的面积S=2cicsinB=—.

19.(12分)如图，四棱锥P-A8CD中，ABC。为正方形，E为PC中点，平面E4D_L平面

ABCD,48=4,PA=PD=2&.

(1)证明：B4〃平面BDE；

(2)证明：AB±PD；

(3)求三棱锥C-8DE的体积.

因为四边形ABC。为正方形，所以点。为AC的中点,

又E为PC的中点，所以OE//R1,

又因为以,平面BOE,OEu平面

所以必〃平面BDE.

(2)证明：因为四边形ABC。为正方形，所以4B_LA。，

又因为平面E4O_L平面ABCD,平面E4OC平面ABCD=AD,ABu平面ABCD,

所以A8_L平面PAD,

因为PDu平面PAD,

所以

(3)解：取中点R连接PE,

因为E4=P£),所以产口LA。，

又因为平面阴。_L平面4BC。，平面B4Z)n平面A8CO=A。，PEu平面融。，

所以PB_L平面ABCD,

由AB=AD=4,PA=PD=2/，

2222

得PF=y/PA-AF=J(2V2)-2=2,S^BCD=^xBCxCD=8,

记点E到平面BCD的距离为/?,因为E为PC的中点，所以h=：PF=l,

-118

所以4-BDE=%-BCD=gXS&BCDXh=gX8Xl=g.

20.(12分)如图，斜坐标系尤Oy中，3，扇分别是与无轴、y轴正方向同向的单位向量，

且3,扇的夹角为120°,定义向量小=久易+y■在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对

(x,y).在斜坐标系xOy中完成下列问题：

(1)若向量法的坐标为(2,3),计算|心|的大小；

—>—>

(2)若向量0M的坐标为(xi,yi),向量ON的坐标为(12,*),判断下列两个命题的

真假，并说明理由.

—>—>

命题①：若。M〃0N,贝Ixi”-尤2yl=0；

—»—»

命题②：若。MlON,贝!|xix2+yiy2=0.

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y\

TTT

【解答】解：（I由题知OP=（2,3）=2e1+3e2,

—>—>—>—>2—>—>—>2._

故29e

|OP|=（261+3e2）40+12et-e2+2=V7.

-?—>―r—>—>

（2）由题知OM=+丫1?2，ON=%20+丫2?2,

命题①是真命题.

a.当ON=%2。1+为？2=0时，即冗2=丁2=0,显然xiy2-%2yi=0；

r—>Tr.__

b.当ON=%2勺+y2?2。0时，即X2,”至少一个不为0,不妨设"WO,

若。M〃CN,则存在入CR,使得OM=4ON,故久送1+、送2=4(%ei+'262)，

T——

即—入%2)?1+(y1-Ay2)^2=0，

因为最H不共线,所以｛"短二：，

由入二区，代入XI-丘2=0得％1—区％2=0，即%1丁2-%2yi=0.

丫2丫2

-»―>

综上所述，命题“若。M〃ON,则xi”-x2yi=0”是真命题.

命题②是假命题.

解法1：若0%1ON,

[T_>—>—>—>—>—>2—>—>—>2

则OM-ON=（x©+为02）-（x2e1+y2e2）=网上%+（必为+0乃）0•e2+yry2e2

1

%1%2+y/2-2（%，2+%2、1）=0，

当xiy2+x2yiW0时，结论xix2+yiy2=0不成立，

—>—>

所以，命题“若。MlON,则无U2+yiy2=0”是假命题.

———T—TT

解法2：令OM的坐标为（1,2）,ON的坐标为（1,0）,则。M=ei+2e2，ON=e1；

一，T-->->-»->2TT〜，TT

因为。M-ON=（e1+2e2）-er=+2er-e2=0,所以。M1ON,

此时无1尤2+yiy2=lW0,（11分）

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所以，命题“若。MlON,则xu2+yiy2=0”是假命题.

21.（12分）4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行

分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，

女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数

分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区

间中点值代表该组的各个值）

男生一周阅读时间频数分布表

小,时频数

[0,2)9

⑵4)25

[4,6)3

[6,8)3

（1）从一周课外阅读时间为［4,6）的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽

取2人，求恰好一男一女的概率；