2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题（含答案）

2023年新课标全国I卷数学真题

一、单选题

1.已知集合”={-2,—1,0,1,2},N=[x\x2—%—6>0},则MnN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

1-i

2.已知z=—,贝收-5=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

3.已知向量a=(l,l),6=(l,-l),若(。+幼)，(0+〃〃)，则()

A.a+〃=iB.a+〃=—1

c.=iD.=-1

4.设函数〃x)=2小旬在区间(0,1)上单调递减，贝心的取值范围是()

A.-8,—2B.-2,0)

C.0,2D.2,+oo)

22

5.设椭圆G：与+)1=1(。>DC:土+>2=1的离心率分别为e1©.若e2=&q,则a=()

a4

A.竽B.V2C.73D.V6

6.过点(0,—2)与圆/+/-©-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=()

A.1B.逗C.包D.渔

444

7.记％为数列{%J的前n项和，设甲：似九}为等差数列；乙：{手}为等差数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知5桁(1一分)=’,8505m/?=’，则cos(2a+2£)=().

二、多选题

9.有一组样本数据%1，%2,…，%6，其中％1是最小值，%6是最大值，则()

x

A.X2lX3tX4>%的平均数等于%2,…,6的平均数

B.%2*3，%4，%5的中位数等于…，％6的中位数

C.久2，%3，%4，%5的标准差不小于%1，%2,…，久6的标准差

D.%2，%3，%4，%5的极差不大于…，％6的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级4=20xlg且，其中常数为（见>0）是听觉下

限阈值，。是实际声压.下表为不同声源的声压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10巾处测得实际声压分别为Pi，P2，P3,则（）.

A.pj>p2B.p2>10p3

C.P3=lOOpoD.P\<100p2

11.已知函数f(x)的定义域为R,/(xy)=r/(x)+x7(y).则＜).

A.y（o）=0B./(I)=0

c.Cx）是偶函数D.乂=0为/0)的极小值点

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2巾，高为0.01m的圆柱体

三、填空题

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选

修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

14.在正四棱台48以）一力遇传1。1中，A3=2,人g=1,M=啦，则该棱台的体积为.

15.已知函数/（x）=cos<yx-l（3>0）在区间［0,2兀］有且仅有3个零点，则3的取值范围是.

16.已知双曲线l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为居,F2.点4在C上，点B在y轴上，瓦久瓦瓦帝=-|凡瓦

则C的离心率为.

四、解答题

17.己知在△4BC中，A+8=3C,2sin（A-C）=sin8.

⑴求sM；

(2)设ZB=5,求AB边上的高.

18.如图，在正四棱柱4BCC-&B1QD1中，AB=2,AA1=4.点4，口2,C2,。2分别在棱4&，BB1,CC1,上,

AA=1,BB?=DD2=2,CC2=3.

c.g,

z/

DA

⑴证明：B2C2//A2D2.

(2)点P在棱B用上，当二面角P-4C2-&为150。时，求B2P.

19.己知函数/(x)=a(e*+a)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

3

⑵证明：当a>0时，f(x)>2lna+~.

n2+〃

20.设等差数列｛an｝的公差为d,且d>l.令b,=——，记S”7；分别为数列｛〃｝,｛%｝的前n项和.

⑴若3%=3q+%，&+(=21,求｛即｝的通项公式；

(2)若｛%｝为等差数列，且S缈-。>=99,求d.

21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮

情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是

甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知:若随机变量无服从两点分布,且P(X,=1)=1—P(X,・=0)=毋=1,2,…则以£%所)=£z生.记前n次(即从

第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为匕求E(Y).

22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,；)的距离，记动点P的轨迹为

(1)求皿的方程；

(2)已知矩形4BCD有三个顶点在W上，证明：矩形4BCD的周长大于3b.

参考答案:结合夹角公式运算求解.

1.C【详解】方法一：因为犬+丫2-4》-1=0,即(x-2)2+y2=5,可得

【分析1方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集圆心C(2,0),半径r=后，

的运算解出.过点P(0,-2)作圆C的切线，切点为4B,

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.因为|PC|=02+(_2/=2V2.则|P4|=y/\PC\2-r2=V3，

【详解】方法一：因为N={X|X2-X-6N0}=-8,-2U3,+8),而

可得sin^APC=坐:=卫^,cosN4PC=,

M={-2,-1,0,1,2).2V242V24

所以McN={-2}.则

故选：C.sinZAPB=sin2NAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x叵*显=@

方法二：因为M={-2,-101,2},将-2,-1,0,1,2代入不等式/-X-44z

6>0,只有-2使不等式成立，所以McN={—2}.

故选：C.

2.AcosZAPB=cos2NAPC=cos2AAPC-sin2ZAPC=闺

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共轨复数的概念得到W从而

解出.

即4P8为钝角，

【详解】因为z=袅=T=-夕，所以2=?，即z-5=

所以sina=sin(兀一NAPB)=sinZ.APB=;

故选：A.法二：圆/+'2-41一1=()的圆心以2,0),半径丁=遥，

3.D过点P(0,-2)作圆C的切线，切点为48,连接43,

【分析】根据向量的坐标运算求出五+入九江+访再根据向量垂直的可得|PC|=V22+(-2)2=2V2，则|PA|=\PB\=,j\PC\2-r2=V3>

坐标表示即可求出.因为|PA『+\PB\2-2\PA\•\PB\cosNAPB=\CA\2+\CB\2-2\CA\­

\CB\cosZACB

【详解】因为"=(1,1)/=(1,-1),所以五+4方=(1+41一；I),a+

Q.Z.ACB=n—匕APB,则3+3—6cosNAPB=5+5—10cosfjt—

lib=(1+〃,1一〃)，ZAPB\

即3-C0SZ4P8=5+5cosZ-APB,解得cos4PB=--<0,

由_!_(〃+jLihj可得,(54-Ab)-(a+独)=0,4

即ZJ1PB为钝角,贝ijcosa=cos(n-4P8)=-cosNAPB=%

即(i+a)(i+〃)+(i-a)(i—〃)=o,整理得：A/z=-i.

且a为锐角，所以si九a=V1-cos2a=^

故选：D.4

4.D方法三：圆/+丁-以-1=0的圆心C(2,0),半径r=遍，

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.若切线斜率不存在，则切线方程为y=0,则圆心到切点的距离d=2>r,

不合题意；

【详解】函数y=2"在R上单调递增，而函数/(x)=2代")在区间

若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2,Wfcx-y-2=0,

(0,1)上单调递减，则弊^=V5,整理得1+8k+1=0,且4=64-4=60>0

vkz+l

设两切线斜率分别为々］水2，则七+七=-8,自6=1，

则有函数y=x(x-a)=(x-?2一%区间(0,1)上单调递减，因此

可得|自—k2\=+&)2-4k也=2V15»

^>1,解得aw2,

所以Uma=整容=即陋=可得cosa=^^,

所以a的取值范围是2,+8).l+k述2cosaV15

故选：D

222

Msina+cosa=sina+」=1,

5.A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

且aW(0弓)，则sina>0,解得s勿

【详解】由02=由6,得以=3诏，因此午=3x桨，而a>l,所

故选：B.

以。=里

3

故选：A

6.B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；

方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：

根据切线结合点到直线的距离公式可得/+8k+l=0,利用韦达定理

，，因此sinacos/7=g,

2

则sin(«+/?)=sinacos/?+cosasin/?=-,

所以cos(2a+2/?)=cos2(a+/?)=1-2sin2(a4-/?)=1-2x

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但

7.C非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结

【分析】利用充分条件、必耍条件的定义及等差数列的定义，再结合数合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.

列前«项和与第"项的关系推理判断作答.，(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数

【详解】方法1,甲：｛即｝为等差数列，设其首项为四，公差为d,值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.

则(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求

角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得

„,S„n-1,ddS,1+.S“d

S=na.+———-^,-^=6(,+——d=-n+a,--——』一

"12n2212n+1n2角，有时要压缩角的取值范围.

9.BD

因此｛金｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分

反之，乙：｛｝｝为等差数列，即析判断.

S..S.nS....-(n+1)S..na,-S【详解】对于选项A:设》2，万3，%,%的平均数为m，巧,小,…,心的平均

—H++1I-------2_t———f!±!__i--------L_IL=——«n++»-----2n.为常数设为3

鹿+1n〃(〃+1)〃(〃+1)’数为n，

即崇亲=''则S"=叫一小+D,有Sz=3一1)册T-|.|!|___-1+-2+*3+-4+%+%6_戈2+-3+%4+%5_2(%1+%6)-(&+4+均+%)

、」-一64-12—

n(n—1),71>2,因为没有确定2(/+%6),%5+、2+%3+%4的大小关系，所以无法判断

m,n的大小，

两式相减得：0n=nan+1-(n-l)an-2tn,即an+｝-an=2t,对n=1

例如：1,2,3,456,可得m=n=3.5；

也成立，例如1,1,1,1,1,7,可得m=l,九=2；

因此｛斯｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，例如L2,2,2,2,2,可得zn=2,九=?；故A错误；

所以甲是乙的充要条件，C正确.对于选项B:不妨设与W打4％34工44句4》6，

方法2,ER：｛册｝为等差数列，设数列｛册｝的首项的,公差为d,即S〃=可知%2，%3，%4，%5的中位数等于％1，K2,…,％6的中位数均为包券故B正确；

.n(n-l),对于选项C：因为与是最小值，分是最大值，

吗+—^―d，

则久2,X3,X4,出的波动性不大于%1，%2,…，%6的波动性，即%2,％3,无4,0的标

则&==+因此｛手｝为等差数列，即甲是乙准差不大于右,％2L，%6的标准差，

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数n=；(2+4+6+8+10+12)=7,

0

的充分条件；标准差S1=

0CC

反之，乙：隹｝为等差数列，即3--^=2J=E+(〃-l)O,R[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2]=

nn+\nn

即S“=nSf+n(n-1)£),S,,.,=(w-l)^+(n-l)(n-2)D,

3，

4,6,8,10,则平均数m=3(4+6+8+10)=7,

当Ti2:2时，上两式相减得：Sn-Sn_i=Si+2(n-l)D,当n=l时，

上式成立，标准差S2=J；[(4-7)z+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2]=V5,

于是a”=q+2("—V)D,又a“+i—a”=+2nD-[a1+2(n—

显然等>5,即S1>S2；故c错误；

1)D]=2D为常数，

因此｛a/为等差数列，则甲是乙的必要条件，对于选项D:不妨设4工2S工3工工44工5K工6，

所以甲是乙的充要条件.则％6->%5-%2，当且仅当％1=X2,X5=打时，等号成立，故D正

故选：C确；

8.B故选：BD.

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+0),10.ACD

再利用二倍角的余弦公式计算作答.【分析】根据题意可知Lp】W[60,90],乙出e[50,60],LP3=40,结合对数

[详解】因为sin(a—13)=sinacosfi—cosasin/?=|,而cosasinR=运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知：LPie[60,90],%W[50,60],5=的，

得到学q+s,

对于选项A：可得L*_4,=20xlgA_20xlg-^-=20xlgA；

PoPoPixy尸y

因为HN*则4一〃=20xlg且NO,即"合之0,故可以设警=如出(x*0),则/(%)=x2ln\x\,x丰0

0,x=0

所以合N1且Pi，P2>0,可得pi“2,故A正确；当x>0肘，f(x)=x2InX,则/''(x)=2xlnx+x2-^=x(2Znx+1),

对于选项B：可得A%-乙八=20xlg&_2OxlgB=2OxlgH,令/(x)<0,得0<x<e3；令((x)>0,得x>e《;

P<>PaPi故/'(x)在(0,eT)上单调递减，在(e*,+8)上单调递增,

因为Lpz-Lp3=Lp2-40N10,贝lJ20x/g£wi0,即仞装2%

因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(-e《,0)上单调递增，在(-8"，上单

所以"N正且P2，P3>0，可得222倔3，

当且仅当心如=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为4,=20x1g以=40,即lgB=2,

P(>Po

可得星=100,即03=100”),故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：LP<-Lp,=20xlgA,

Pl

且Ln-Lp：<90-50=40，则20xZ5J<40,

显然，此时x=0是f(x)的极大值，故D错误.

即段V2,可得短<100,且pi]?>0,所以pt<100p2,故D正确；

故选：ABC

故选：ACD.12.ABD

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

11.ABC【详解】对于选项A：因为0.99m<1加，即球体的直径小于正方体的棱

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项长，

ABC,举反例/(x)=0即可排除选项D.所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数/(%)=对于选项B：因为正方体的面对角线长为且位>1.4，

俨2ln\x\,x^。进行判断即可.所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为遮m，且再<1.8,

【详解】方法一：所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；

因为f(xy)=y2f(x)+Mf。)，对于选项D：因为正方体的体对角线长为6m，且百>1.2,

对于A,令工=y=o,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故4正确.设正方体48CD-41B1GD1的中心为0,以4cl为轴对称放置圆柱，设圆

对于B,令X=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),则f(1)=0,故B正确.柱的底面圆心01到正方体的表面的最近的距离为।m,

对于C,令x=y=-1,/(1)=/(-I)+/(-I)=2/(-1),则/'(-1)=0.

如图，结合对称性可知：OC1=\cxA=与,GO1=OG-00,=与-0.6,

令y=-lj(-x)=f(x)+x2/(-l)=f(x),

又函数f(x)的定义域为R,所以/'(x)为偶函数，故C正确，贝脸=错，即"等,解得口=»詈>。.34

对于D,不妨令/(x)=(),显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故。错

误.所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

方法二：

因为/(孙)=y2f(x)+x2f(y),

对于A,令x=y=0,/(0)=Of(0)+0/(0)=0,故4正确.

对于B,令x=y=l,/(l)=1/(1)+1/(1),则“1)=0,故B正确.

对于C,令x=y=-1,/(1)=/(-l)+/(-I)=2/(-1),=0,

令y=-i,/(-x)=f(x)+x2/(-i)=/W>

又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数，故C正确，

对于D,当X0时，对/'(xy)=y2f(x')+//(y)两边同时除以/必，

【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结

合正方体以及圆柱的性质分析判断.

13.64m,进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程，从而得解.

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得xo=?c,yo=

的分配，结合组合数运算求解.t2=4c2,将点4代入双曲线。得到关于a,b,c的齐次方程，从而得

【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有弓屐=16解：

种；【详解】方法一：

(2)当从8门课中选修3门,依题意，设I/IF2I=2m,则I8F2I=3m=|8FJ|AFi|=2Q+2m,

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有盘番=24种；在Rt△力BFi中，9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-ni)=0,

②若体育类选修课2|,J,则不同的选课方案共有废屐=24种；故Q=m或Q=-3m(舍去)，

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.所以|A鼻I=4a,|4眠|=2a,\BF2\=\BFy\=3a,则|/B|=5Q,

故答案为：64.

故cos"'伤=等=

14.42n

66

所以在△?1居F2中，cos匕F〔AF2=”；夏：之=3整理得5c2=9Q2,

【分析】结合图像，依次求得为01，40,4M,从而利用棱台的体积公式

即可得解.

故e=£=随

a5

【详解】如图，过4作±4C,垂足为M,易知AM为四棱台4BCD-

“iBiGDi的iHj,

方法二：

依题意,得FT(-C,0),F2(C,0),令4(Xo，y()),B(0,t),

因为48==1,441=V2.因为币=-三混,所以(配-c,y。)=-|(-c,t),则%)=gc,y()=-|t,

则为。1=g&G=1x旧道\=—,A0=^AC=1xV2AB=V2.又不1用,所以而•用=(c,t)=|c2-1t2=0,则t2=

4c2,

故AM=：(4C-AG)=y,则41M=y/A^-AM2=J2v=亭

又点4在C上，则鬓一建=1，整理得穹-空=1，则写一笔=1，

x22

a2629a29b29a9b

所以所求体积为1/=3x(4+1+x9=噜

所以25c2b2—16c2a2=9a2b2,HP25c2(c2—a2)—16a2c2=

9a2(c2—a2),

故答案为：平.

整理得25c4-50c2+9Q4=0,则(5c2-9a2)(5c2-Q2)=0,解得

15.[2,3)5c2=9Q2或5c2=a2,

【分析】令Ax)=0,得cossx=l有3个根，从而结合余弦函数的图

又e>l,所以e=苧或e=*舍去)，故6=竽.

像性质即可得解.

【详解】因为0<%<2TT,所以0<a)x<2a)n

f故答案为：越.

令/(x)=cos5-l=。，则coscox=1有3个根，5

令t=3X,则cost=1有3个根，其中tE[0,23初，【点睹】关键点睹：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲

结合余弦函数y=cost的图像性质可得47r<2a)n<6zr,故2<o)<3,线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于a,4c的齐次方程，从而得

解.

17.(1)^

(2)6

【分析】(D根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

16.手/1V5

(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求SMB,再

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到由正弦定理求出b,根据等面积法求解即可.

\AF21,IBF21,I4F11关于a,m的表达式，从而利用勾股定理求得a=【详解】(1)•；4+B=3C,

7T—C=3C,即。=f,设平面42c2。2的法向量沆=(Q,b,C),

4

又2sin(A—C)=sinB=sin(A+C),

则(沅-A2C2=-2a—2b+2c=0

Iin-DC'=-2a+c=0

•••2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,22

•••sinAcosC=3cosAsinC，令Q=1,得b=1,c=2,

•••sinA=3cosA,in=(1,1,2),

即tan4=3,所以0＜4＜］，

|COS伍，沆>1=磊=风，4+(/产+(3-明|cos150°|=

..33-/10

sinA=-j===——•

Vioio化简可得，"-42+3=0,

解得4=1或/1=3,

(2)由(1)知，cosA—~Y==—♦

Vioio•••P(0,2,l)或P(0,2,3),

•••B2P=1.

由si九B=sin(A+C)=s勿AcosC+cosAsin=~+詈)=

19.(1)答案见解析

(2)

2V5证明见解析

1111,

5

由正弦定理，=可得6=孥=2旧，【分析】(1)先求导，再分类讨论aW0与a>0两种情况，结合导数与

sinCsinB之

2函数单调性的关系即可得解；

.---ABh=-ABAC-sinA(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为a2-：-》a>0的恒成

22f

立问题，构造函数g(a)=a2-T—hia(a>0),利用导数证得g(a)>0

•­h=b-sinA=2-/10x—6.

即可.

18.(1)证明见解析:方法二：构造函数h(x)=蜻-丫-1,证得e、2x+l，从而得到f(x)N

(2)1x+Ina+1+a2—x,进而将问题转化为a?-Ina>。的恒成立问

题，由此得证.

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

【详解】(1)因为/(》)=。伫+。)-X,定义域为R,所以f'(x)=ae、-

(2)设P(0,2,a)(0W/lW4),利用向量法求二面角，建立方程求出;I即

可得解.1,

【详解】(1)以C为坐标原点，所在直线为x,y,z轴建立空间当a<0时，由于e，>0,则ae，<0,故/'(%)=aex-1<0恒成立，

直角坐标系，如图，所以/(£)在R上单调递减；

当Q>0时，令,(x)=ae"-1=0,解得工=一mQ,

当工v-ma时，f'(x)V0,则/(x)在(fo,-lna)上单调递减；

当x>-机a时，f'M>0,则f(x)在(-Ina,+oo)上单调递增;

综上：当a40时，/(x)在R上单调递减；