【中考真题】2021年浙江省杭州市中考数学试卷（附答案）

2021年浙江省杭州市中考数学试卷（附答案）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.-（-2021）=（）

1

A.-2021B.2021C.———D.----

20212021

2.“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录，

数据10909用科学记数法可表示为（）

A.0.10909xl05B.1.0909xl04C.10.909xlO3D.109.09xlO2

3.因式分解：1-4/=（）

A.（1一2y）（l+2y）B.（2-y）（2+y）

C.（l-2y）（2+y）D.（2-y）（l+2y）

4.如图，设点尸是直线/外一点，PQ11,垂足为点。，点T是直线/上的一个动点,

连接PT,则（）

A.PT>2PQB.PT<2PQC.PT>PQD.PT<PQ

5.下列计算正确的是（）

A.后=2B.J（_2y=_2C.VF=±2D.J（一2J=±2

6.某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四

月到五月接待游客人次的增长率为x（x〉0）,则（）

A.60.5（l-x）=25B.25（1-%）=60.5

C.60.5（l+x）=25D.25（1+%）=60.5

7.某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两

位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）

8.在“探索函数yno？+bx+c的系数a,b,。与图象的关系”活动中，老师给出了

直角坐标系中的四个点：A（0,2）,8（1,0）,C（3,l）,D（2,3）,同学们探索了经过

这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其

中a的值最大为（）

OBx

9.已知线段A3,按如下步骤作图：①作射线AC,使ACLAB；②作4AC的平

分线A£＞；③以点A为圆心，A8长为半径作弧，交A£＞于点E；④过点E作£P_LA6

于点P，则AP:AB=（）

A.1:75B.1:2C.1:73D.1：V2

10.已知y和%均是以x为自变量的函数，当》=加时，函数值分别为和若

存在实数加，使得例2=0,则称函数y和为具有性质以下函数y和为具

有性质P的是（）

2

A.y,=x+lxy2=-x-1

B.y=犬+2x和=T+1

c.必=」和%=-1

X

D.y］二—和K二一4+1

x

二、填空题

11.sin30。的值为.

12.计算：2a+3a=.

试卷第2页，总6页

13.如图，已知。。的半径为1,点尸是。。外一点，且0P=2.若PT是。。的切

线，丁为切点，连接07,则尸T=.

14.现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示.

甲种糖果乙种糖果

单元（元/千克）3020

千克数23

将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来

确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为元/千克.

15.如图，在直角坐标系中，以点A（3』）为端点的四条射线AB，AC,AD，AE分

别过点8（1,1）,点C（l,3）,点。（4,4）,点E（5,2）,则N3AC______ZDAE（填

"><”中的一个）.

16.如图是一张矩形纸片ABCD,点M是对角线AC的中点，点E在边上，把

△OCE沿直线折叠，使点C落在对角线AC上的点尸处，连接。E，EF.若

三、解答题

17.以下是圆圆解不等式组

2（l+x）>-l@

-（1-x）>-2②

的解答过程.

解：由①，得2+%>—1,

所以x>-3.

由②，得1一%>2,

所以-x>l,

所以》>一1.

所以原不等式组的解是x>-l.

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

18.为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳

次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图

（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）.

某校某年级360名学生一分钟跋堤

组别（次）频数

100-13048

130〜16096

160-190a

190-22072

（1）求。的值.

（2）把频数直方图补充完整.

（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比.

19.在①=②NA3E=NACD,③E8=FC这三个条件中选择其中一个,

试卷第4页，总6页

补充在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在AA5c中，ZABC-ZACB,点。在AB边上（不与点A,点3重

合），点E在AC边上（不与点A,点C重合），连接BE,CD,仍与CO相交于点

F.若,求证：BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

20.在直角坐标系中，设函数乂=勺（勺是常数，仁>0,x>0）与函数%=&%（&

x

是常数，�）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点5.

（1）若点3的坐标为（一1,2）,

①求人，〃2的值.

②当y<当时，直接写出X的取值范围.

（2）若点3在函数%=与（匕是常数，�）的图象上，求勺+占的值.

x

21.如图，在△MC中，NA3C的平分线B。交AC边于点。，AEL3C于点E.已

知ZABC=60°,ZC=45°.

（1）求证：AB=BD.

(2)若AE=3,求AABC的面积

22.在直角坐标系中，设函数>=以2+法+1(a,。是常数，。。0).

(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶

点坐标.

(2)写出一组“，匕的值，使函数^="2+.+1的图象与x轴有两个不同的交点，

并说明理由.

(3)已知当》=〃，4q是实数,P丰Q)时，该函数对应的函数值

分别为P，Q.若〃+4=2,求证P+Q>6.

23.如图，锐角三角形A8C内接于。。，的C的平分线AG交。。于点G，交BC

边于点尸，连接BG.

⑴求证：△ABGS^AR?.

(2)已知AC^AF=b,求线段FG的长(用含。，b的代数式表示).

(3)已知点E在线段AE上(不与点A,点F重合)，点。在线段AE上(不与点A,

点E重合)，ZABD=ZCBE,求证：BG2=GEGD.

试卷第6页，总6页

参考答案

1.B

【分析】

由去括号法则，即可得到答案.

【详解】

解：一(—2021)=2021.

故选：B.

【点睛】

本题考查了去括号法则，解题的关键是掌握去括号法则进行计算.

2.B

【分析】

用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如为正整数，据此解题.

【详解】

解：10909用科学记数法可表示为1.0909X104,

故选:B.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示绝对值大于I的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解

题关键.

3.A

【分析】

利用平方差公式因式分解即可.

【详解】

解:l-4y2=(l-2y)(l+2y),

故选：A.

【点睛】

本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

4.C

【分析】

根据垂线段距离最短可以判断得出答案.

答案第1页，总15页

【详解】

解：根据点P是直线/外一点，PQD,垂足为点。，

PQ是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，

当点丁与点Q重合时有PQ=PT,

综上所述：PT>PQ,

故选：C.

【点睛】

本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义.

5.A

【分析】

由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：行=〃=2,故A正确，C错误；

J(—2)-=2>故B、D错误；

故选:A.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断.

6.D

【分析】

根据题意可直接列出方程进行排除选项即可.

【详解】

解：由题意得：

25(1+%)=60.5；

故选D.

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.

7.C

答案第2页，总15页

【分析】

用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率.

【详解】

解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果,

甲123

乙123123123

共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，

31

即甲和乙从同一节车厢上车的概率是X=彳，

93

故选：C.

【点睛】

本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

8.A

【分析】

分四种情况讨论，利用待定系数法，求过A（0,2）,5（1,0）,0（2,3）中的三个

点的二次函数解析式，继而解题.

【详解】

解：设过三个点A（0,2）,5（1,0）,C（3』）的抛物线解析式为：y^ax2+bx+c

分别代入A（0,2）,8（1,0）,C（3,l）得

c-2

<a+b+c=0

9a+3b+c-l

5

a--

6

,17

解得b=----；

6

c=2

设过三个点A（0,2）,B（l,0）,0（2,3）的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

答案第3页，总15页

分别代入A（0,2）,B（1,O）,。（2,3）得

c=2

<a+b+c=O

4。+2/?+c=3

5

ci——

2

解得《b，

2

c=2

设过三个点A（0,2）,C（3,l）,0（2,3）的抛物线解析式为：yax1++c

分别代入A（0,2）,C（3,l）,0（2,3）得

c-1

<9。+3。+c=1

4。+2b+c=3

5

a=—

6

,13

解得b=—

6

c=2

设过三个点3（1。），C（3,l）,。（2,3）的抛物线解析式为：yax2+/7x+c

分别代入8（1,0）,C（3,l）,0（2,3）得

Q+0+C=0

<9Q+3〃+C=1

4。+2力+c=3

5

a=——

2

,21

解得《b=—

2

c二一8

答案第4页，总15页

a最大为一，

2

故选：A.

【点睛】

本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关

键.

9.D

【分析】

由题意易得NBAO=45。，AB=AE,进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三

角形的性质可求解.

【详解】

解：VACLAB,

二NC4B=90°，

平分ABAC,

：.ZBAD=45°,

,:EPl.AB,

.♦.△APE是等腰直角三角形，

：.AP=PE,

,AE=y/AP2+PE2=®AP，

'：AB=AE,

­■•AB=及AP，

•'­AP:AB=l:>/2;

故选D.

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直

角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键.

10.A

【分析】

答案第5页，总15页

根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项.

【详解】

解：当x=m时，函数值分别为必和A1?,若存在实数用，使得陷+%=0,

对于A选项则有加2+加—1=0,由一元二次方程根的判别式可得：k一4就=1+4=5>0，

所以存在实数相，故符合题意；

对于B选项则有机2+m+i=o，由一元二次方程根的判别式可得：

〃一4ac=l—4=—3<0，所以不存在实数机，故不符合题意；

对于C选项则有一,一加一1=0,化简得：/n2+m+l=0.由一元二次方程根的判别式可

m

得：从一4口?=1一4=一3<0,所以不存在实数机，故不符合题意；

对于D选项则有一,一加+1=0,化筒得：〃，一根+1=0,由一元二次方程根的判别式可

m

得：〃一4ac=l—4=-3<0,所以不存在实数⑶故不符合题意；

故选A.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次

方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键.

11.1

2

【详解】

试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin3(T=!.

2

12.5a

【分析】

根据同类项运算的加法法则进行计算即可.

【详解】

原式=(2+3)a

=5a.

【点睛】

答案第6页，总15页

本题主要考查的是同类项运算的加法法则，熟练掌握法则是本题的解题关键.

13.G

【分析】

根据圆的切线的性质，得NOTP=90。,根据圆的性质，得07=1,再通过勾股定理计算，

即可得到答案.

【详解】

是。。的切线，T为切点

ZO7P=90°

•*-PT=yj0P2-OT-

•••GO的半径为1

OT=\

：•PT=yJOP2-OT2=y/2r-l=

故答案为：下）.

【点睛】

本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质,

从而完成求解.

14.24

【分析】

根据题意及加权平均数的求法可直接进行求解.

【详解】

解：由题意得：

30x2+20x3

=24（元/千克）;

2+3

故答案为24.

【点睛】

本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键.

15.=

【分析】

答案第7页，总15页

连接。E,判断△A8C和AAOE是等腰直角三角形，即可得到N84C=ZmE=45°.

【详解】

解：连接。E,如图

•.•点A（3,l）,点3（1,1）,点C（l,3）,点£>（4,4）,点E（5,2）,

由勾股定理与网格问题，则

AB=BC=2,ZABC=90°,

.二△ABC是等腰直角三角形；

:AE=DE=^+f=5旬=折+俨=屈,

,AE2+DE2=AD2>

二ZAED^9Q0,

...△AOE是等腰直角三角形；

Zfi4C=ZZME=45°；

故答案为：=.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握

掌握所学的知识，正确判断^ABC和^ADE是等腰直角三角形.

16.18

【分析】

连接MO,设/D4F=x,利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出/AOC=90。,

列出方程解方程即可.

【详解】

连接MQ,设N£>AF=x

根据矩形的基本性质可知AM=M£）,AD//BC,ZBCD=ZADC=90°

：.NMDA=NDAF=x,ZACB=ZDAC=x

答案第8页，总15页

，NDMF=2x

；折叠得到4DFE

：.DF=CD=AB,DELFC,ZFDE=ZCDE

又MF=AB

：.MF=DF

：.ZMDF=2x

'：ZBCD=ZACB+ZACD=90°,ZEDC+ZFCD=90°

：.NCDE=NACD=x

：.ZFDE=ZCDE=x

二NADC=ZADM+ZMDF+ZFDE+ZCDE=x+2x+x+x=5x=90°

.”18。

故ND4F=18°

故答案为18.

【点睛】

本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用ZDAF表示出/AOC是解题关键.

17.有错误，正确的过程见解析

【分析】

利用一元一次不等式的性质、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解题.

【详解】

解：圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

由①，得2+2%>—1,

所以2x>—3,

3

所以人>一二；

2

由②，得一1+x>—2,

答案第9页，总15页

所以1—x<2,

所以一x<1,

所以X>—1,

将不等式组的解集表示在数轴上：

立~W~=23401\34^

2

所以原不等式组的解是x>-1.

【点睛】

本题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

18.(1)144；(2)见解析；(3)20%

【分析】

(1)根据各组频数之和等于总数求出a的值即可得出答案；

(2)根据频数分布表中的数据，即可将频数分布直方图补充完整；

(3)用总人数乘以样本中第4组频数和占总人数的比例即可.

【详解】

解：(1)。=360-48-96-72=144；

则a的值为144；

(2)补全频数直方图，如图.

某校某年级360名学生一分件由绳

(3)因为72+360x100%=20%,

所以该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的20%.

【点睛】

答案第10页，总15页

本题考查了频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意,

利用数形结合的思想解答.

19.见解析

【分析】

根据全等三角形的判定方法解答即可.

【详解】

解：选择条件①的证明：

因为=

所以AB=AC,

又因为43=他，ZA=ZA，

所以△ABEgAACD,

所以3E=cr).

选择条件②的证明：

因为NABC=NACB,

所以A」B=AC,

又因为NA=NA，ZABE=ZACD,

所以八钻石丝八4。9,

所以8E=8.

选择条件③的证明：

因为FB=FC,

所以NFBC=NFCB,

又因为NABC=NACB,BC=CB,

所以△CBE好△BCD,

所以BE=CD

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：555,AAS,SAS,

ASA,HL

20.(1)①人=2,攵2=2;②X>1;(2)0

【分析】

答案第11页，总15页

(1)①根据点A关于y轴的对称点为点3,可求得点A的坐标是(1,2),再将点A的坐标

分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得勺=2,e=2；②观察图象可解

题；

(2)将点B代入%=勺，解得心的值即可解题.

x

【详解】

解(1)①由题意得，点A的坐标是(1,2),

因为函数y=勺的图象过点A,

x

所以勺=2,

同理左2=2.

②由图象可知，当％<为时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，

即当X<%时，x>l.

(2)设点A的坐标是(七,％),则点B的坐标是(一天,%),

所以匕=%%，匕=一％%，

所以仁+/=0.

【点睛】

本题考查关于)，轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识,

是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

21.(1)见解析；(2)9+3有

2

【分析】

(1)根据题意证明=即可：

(2)根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC的长，用三角形面积公式计算即可.

【详解】

解：(1)因为平分NA8C，

答案第12页，总15页

所以/£)8C=—ZA8C=30°.

2

所以ZADB=ZDBC+ZC=75°，

又因为ABAC=180°-ZABC-AC=75°,

所以NB4C=ZADB,

所以=

Ap「AF

(2)由题意，得BE=----------=6EC=-------=3,

tanZABCtanZC

所以BC=3+J5,

所以AAbC的面积为』BCAE=9+3,3

22

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三

角函数值是解题关键.

22.(1)y=%2一2%+1，顶点坐标是(1,0)；(2)«=1,8=3，理由见解析；(3)见解

析.

【分析】

(1)把点(1,0)和(