2020-2021学年广东省广州市广附高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广东省广州市广附高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.扇形的半径是6cm,圆心角为15。，则扇形面积是（）

A.^cm2B.3ncm2C.ncm2D.ycm2

2.A=｛（x,y）|y<V4—x2,y>0｝>B=｛（x,y）|x+y>2],则4nB所对应区域面积为（）

A.2nB.7r—2C.JiD.7r+2

3.在AABC中，若s讥4>s讥8,则4与8的大小关系为（）

A.A、B的大小关系不确定B.A=B

C.A<BD.A>B

4.函数y=2siri3尤（3>0）的部分图象如图所示，点4、B是最高点，点C是最低点.若△ABC是直

角三角形（C为直角），则3的值为（）

A.B.C.D.71

423

5.已知定义域为R的函数不是奇函数，给定下列4个命题：

①函数g(x)=/(-x)-f(x)是奇函数；

(2)VxGR,/(-x)-/(%);

(3)VxeR,/(-%)=/(x)；

(4)3x0GR,/(-x0)-/(x0).

其中为真命题的命题是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

6.等比数列｛厮｝中，=1。，q=-2,则(ho=()

A.4B.40C.80D.-80

7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且而=(a+c,b),n=｛b,a-c),沅〃元，则

△ABC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能判定

8,若0VQ<1,在上满足sinx之Q的》的范围是()

A.[0,arcsind]B.[arcsina,n-arcsina]

C.[TT-arcsina,n]D.[arcsina,+arcsina]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知函数f(x)=2%+X,若OVmVlVn,则下列不等式一定成立的有()

A.7(I—m)</(n—1)B.f^yjmn)<f(m+n)

n

C./(logmn)</(lognm)D./(m)<f(酒)

10.将函数y=cos2%的图象上所有点向左平移今个单位长度，再向下平移1个单位长度,得到函数y=

/(%)的图象，则()

A.f(x)的图象的对称轴方程为x=—B+f(keZ)

B.〃x)的图象的对称中心坐标为华+2,0)(k£Z)

C./(x)的单调递增区间为[―?+k兀，—g+")(卜6Z)

D./Q)的单调递减区间为岑+kn,^+kn](k6Z)

63

11.在长方体ABCD-AiBiQDi中，AB=AD=1,44】=2,P是线段BG上的一动点，则下列说法

正确的是()

A.&P〃平面力。传

B.aP与平面BCGBi所成角的正切值的最大值是警

C.ArP+PC的最小值为等

D.以4为球心，应为半径的球面与侧面DCG5的交线长是W

12.若函数/(久)对Va,b6R,同时满足：①当a+b=0时，有/(a)+f(b)=0；②当a+b>0时，

有/(a)+f(b)>0,则称/(x)为。函数.下列函数中是0函数的有()

A./(%)=ex+e~xB./(%)=ex—e~x

(0,x=0

C.f(x)=X-sinxD./(x)==o

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设a6(0,兀)，且aH(当4xOy=a时，定义坐标系xOy为a-仿射坐标(如/

图)，在a-仿射坐标系中，任意一点P的坐标这样定义“瓦，行分别是与x/'一

轴，y轴方向同向的单位向量，若向量而=x^+y£，则记而=(x,y)，

下列结论正确的是(写上所有正确结论的序号)

①设向量及=(m,n),b=(s,t)>若云=石,则有m=m,s=t；

②设向量五=(m,n),则同=yjm2+n2-,

③设向量4=(m,n)7=(s,t),若左〃石,则有znt-ns=0；

④设向量左=(m,n)石=(s,t)，若B1E，则有mt+ns=0；

⑤设向量丘=(1,2)3=(2,1)，若下与方的夹角为:,则有。=手

14.下列命题：①y=cos(史产+x)是偶函数；

@y=tan(x+》的一个对称中心是(50)；

③若a,£是第一象限角，且a<口，则tana<tan。；

④cosl<sinl<tanl.

其中所有正确命题的序号是.

15.下列命题中，真命题的有。(只填写真命题的序号)

①若魏息号，图卷则“函j展产”是“磁混凝”成立的充分不必要条件；

②当事您《鼠&时，函数群=»曲案.中—的最小值为2；

4城》般

③若命题“一源”与命题“串或簪”都是真命题，则命题颦一定是真命题；

④若命题浸：3s；«:鼠/普M•书口<画，则一谬：瞬:电鼠”/*,£：普工亘朗.

16.(4组)已知定义在R上的偶函数满足:/(x+4)=/(%)+/(2),且当xG［0,2］时，y=/'(x)单调

递减，若方程/(x)=?11在|-6,-2］上的两根为x2,则％+%2=-

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.(1)已知集合4={x|3<x<7},B={x\2<x<10},求AuB,AQB,CRA

(2)计算下列各式

①21。。525+10怆6+1ne(i-6)+(V2-1)°

211115

②(2a3b2)(-6a2b3)+(-3aM6)

18.在AABC中，A,B为锐角，且cos24=占sinB=—，求角C的大小.

510

19.已知向量五=(6,k),b=(3,2).

(1)若丘〃石，求五%;

(2)若五13，求|五

20.已知/(x)=|x+3|—|ax+a|,ae.R.

(1)若a=1,求不等式/(x)>1的解集；

(2)若不等式/(x)>%-5对VxG［一2,4］恒成立，求a的取值范围.

21.已知函数/'(x)=nix?+%+m(meR).

(1)若mxeR,/(x)=0,求实数小的取值范围；

(2)当m=［时，解关于x的不等式/⑶>0.

22.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且xWO时,/'(x)=1ogK-x+l).

3

⑴求/0),。2)；

(2)求函数/(x)的解析式.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：•••扇形的半径为6on,圆心角为60。,

「157rx623n

・•・S=-----------=—cm.

3602

故选：D.

根据扇形的面积公式s=S解答该题.

360

本题考查了扇形面积的计算.此题属于基础题,只要熟记扇形面积公式即可解题.

2.答案：B

解析：解：由力={(x,y)|yWV4—/,y1

B={(.x,y)\x+y>2},则AnB所对应区域面

积为如图阴影部分的面积，

11

贝IJ为乙兀X4--X2X2=7T-2,

42

故选：B

由题意作出图象，然根据面积公式计算即可得

答案.

本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，

体现了数学转化思想方法，是中档题

3.答案：D

解析：解：法一：sinA—sinB=2cos-^-sin-^-＞0,

+.•.()〈笠＜三.••8S等＞。，Qin等＞0,

<0<4<兀，0<8<兀，.・.一］<等<又出等>0.•••等.•.4>艮

法二：在△ABC中，^sinA>sinB,由正弦定理可得：a>b,可得A>B.

故选：D.

法一：通过三角函数的和差化积、三角形的内角和定理、三角函数的单调性即可判断出答案.

法二：利用正弦定理及大边对大角原理可得答案.

熟练掌握三角函数的和差化积、三角形的内角和定理、三角函数的单调性是解题的关键.

4.答案:A

解析：解：由题意可知，点C到边4B的距离为4,

即△4BC的48边上的高为4,

是以NC为直角的等腰三角形，

[4B=2x4=8.

即函数y=2sintox的周期T=8.

2717T

：■3=—8=—4.

故选：A.

由图象得到等腰直角三角形斜边4B上的高，则斜边AB可求，即函数y=2sin3X的周期可求，由周

期公式求得3的值.

本题考查了由y=Asinia)x+的部分图象求函数解析式，解答的关键是明确等腰直角三角形斜边

上的高等于斜边的一半，是基础题.

5.答案：D

解析：

①1••g(T)=f(x)_/(-%)=-[/(-X)-/(x)]=-g(x)，

则g(x)是奇函数；故①正确.

②函数/(x)=x,-1<%<2,不是奇函数，但/(-I)=一/(1),

故/(-x)*-/(x),错误，故②错误；

③函数/(x)=x,-1<x<2,不是奇函数，但/(一1)=一/(1),

故VxeR,/(-x)=f(x)错误，故③错误；

④函数/(x)=|x|,-1<x<2,不是奇函数，但/'(-1)=f(l),

故比0eR,/(-x0)*—f(Xo)正确，故④正确，

故选：D.

分别根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可.

本题主要考查命题的真假判断，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键.

6.答案：D

解析：解：；q=-2,

cij=a1q6=64a]，.乂a7=10,

•1-64al=10.即%=2，

则由0=%q9=,X(-2/=-80.

故选。

利用等比数列的通项公式表示出。7,将公比q及。7的值代入，求出首项内的值，然后再利用等比数列

的通项公式表示出的0,将首项的及公比q的值代入，即可求出的0的值.

此题考查了等比数列的通项公式，熟练掌握通项公式是解本题的关键.

7.答案：B

解析：解：因为记=(a+c,b),元=(瓦a-c),m//n,

所以(a+c)(a-c)=b2,

整理得a?—c2=b2,即a?=b2+c2,

所以△ABC为直角三角形.

故选：B.

根据沅〃元，可得。2=川+©2,从而判断出三角形的形状.

本题考查向量的坐标运算，三角形的形状的判定，考查运算能力，属于基础题.

8.答案：B

解析：解：由题可知，如图示，当sbixNa时，arcsina<x<n-arcsina

故选艮.

在同一坐标系中画出y=sin%、y=a,根据sbixNa即可得到答案.

本题主要考查三角函数的图象问题.三角函数的图象和性质是高考热点问题，要给予重视.

9.答案：BD

解析：解：函数"%)=2%+%在/?上单调递增，

对于4取=jn=^,则f(l—m)<-1)不成立，故A错误；

对于B：由于OVmVlVn,则有Vm+几,

则f(2gnn)<f(m4-n),故8正确；

对于C：当ma九=2时，logm九=lognm=一1，

则有f(log”)=/(lognm),故C错误;

对于。：若0Vm<1V几，则n1n<1,nm>1,

故？n"<nm,

则有/(相九)</(nm),故D正确.

故选：BD.

函数/Q)=2%+%在R上单调递增，结合自变量的大小，逐个判断，即可得出答案.

本题考查函数单调性，不等式的性质，属于中档题.

10.答案：AC

解析：解：将函数y=cos2x的图象上所有点向左平移，个单位长度，可得，=85（2》+§的图象；

再向下平移1个单位长度，得到函数y=/（X）=cos（2x+）-1的图象，

令2x+g=kTT,求得久=9—g可得/（%）的图象的对称轴方程为％=-！+与（卜€2）,故A正确;

令2》+：时+看求得x=,+9

可得f（x）的图象的图象的对称中心为咛+5T），卜一，故8错误.

令2/CTT-7T<2%+^<2kn,求得k兀——<x<kn

336

可得fQ）的单调递增区间为［也一个,而一勺，fcGZ,故C正确；

DO

令2kli<2x4--<2kn+TT,求得/CTI--<x<kn+-

363f

可得f（x）的单调递减区间为阿V，k兀+Jkez,故。错误，

故选：AC.

由题意利用函数y=Zcos（3x+0）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论.

本题主要考查函数y=4雨§（3乂+0）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题.

11.答案：AC

解析：解：对于4由于平面&BC1〃平面4。修，

所以4P〃平面AD1C,所以A正确；

对于B：当&P1BG时，&P与平面BCC/1所成的角的正切值最大，最大值为蜉，所以8正确;

对于C：将△&C1B沿BC1翻折与ABCCi在同一个平面，且点C在直线BG的异侧,

此时cos乙4传道=一奈此时&C=胃,

所以&P+PC的最小值为竿，所以C正确；

对于D：由于4D_L平面CCCiA，所以交线为以。为圆心，半径为1的四分之一圆周,

所以交线长为与，所以。正确.

故选：AC.

利用棱柱的结构特征，通过平面与平面平行，推出直线与平面平行，即可判断4是否正确；利用直线

与平面所成角即可判断B是否正确；判断4P+PC的最小值，即可判断C是否正确；通过交线的轨迹，

即可判断。是否正确.

本题考查命题的真假的判断与应用，空间直线与平面，平面与平面的位置关系的应用，属于中档题.

12.答案：BC

解析：

本题是新定义问题，意在考查函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.

根据函数奇偶性和单调性进行判断.

解：由条件①可知，对VaeR,都有f(a)+f(—a)=O,故是奇函数，

由条件②可知，当。>一2时,/(a)>-/(b)=/(-b),故fQ)是增函数,

对于4f(x)=ex-e-x,显然当x<0时,f'(x)<0,f(%)在(-8,0)上单调递减,不符合条件②;

对于氏/(-%)=er-ex=-/(x),故f(x)是奇函数,满足条件①,

f'(x)=ex+e-x>0,故/(x)是增函数，满足条件②；

对于C,/(-x)=-x-sin(-x)=sinx-x=-/(x),故f(久)是奇函数，满足条件①，

/'(%)=1-cosx>0,故/(%)是增函数，满足条件②；

对于D,当x<0时，/(x)>0,而当x>0时，/(%)<0,故f(x)在定义域上不是增函数，不满足条

件②，

故选：BC.

13.答案：③⑤

解析：解：威•瓦=cosa.

①设向量m=(m,n),b-(s,t),若日=3，则有m=s,n=t,因此不正确；

②设向量五=(jn,n),则|引=Vm2+n24-2cosaHVm2+n2,因此不正确；

③设向量江=(m,n),b=(s,t)，若左〃另，则有mt-ns=0,因此正确；

④设向量不=(m,n),b=(s,t).若M13，则有ms+nt=0,因此不正确；

⑤设向量不=(1,2),b-(2,1)，及与方的夹角为a则同=+4+4cosa=V5+4cosa,|6|=

V4+1+4cosa=V5+4cosa>

a-b=(e^+2e^)-^2e^+e^)=2+2+5e^-e^=4+5cosa.•••cos；=：=高木=黛翳，化为

cosa=则a=g正确.

综上可得：正确的结论为：③⑤.

故答案为：③⑤.

瓦•瓦=cosa,

①利用向量相等可得，m=s,n=t,即可判断出正误；

②利用向量是数量积运算性质即可判断出正误；

③利用向量共线定理即可判断出；

④利用向量垂直与数量积的关系即可判断出正误；

⑤利用向量数量积运算及其向量夹角公式即可判断出.

本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、向量相等，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

14.答案：②④

解析：

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目.

①根据诱导公式化简函数y=cos（等+x）,判断函数的奇偶性；②求出正切函数的对称中心，即

可判断命题正确；③举反例说明命题错误；④利用正弦、余弦和正切函数的图象与性质即可判断命

题正确.

解：对于①，y=cos（^+x）=-smx,是定义域R上的奇函数，原命题错误；

对于②，令％+£=攵兀或x+£=k/r+g,kWZ,

442

解得x=河x="+%kez，

当k=0时，x=±p

・・.函数y=tan（%+》图象的一个对称中心是（不0）,命题正确；

对于③，Q=45。，夕二390。时，a、夕是第一象限角，且a<夕，但tcma>ta九0,原命题错误；

对于⑷,;<l<p

：,cosl<sinl<tanl,命题正确.

综上，以上正确的命题序号是②④.

故答案为②④.

15.答案：①③④

解析：试题分析：：①充分不必要条件.当c-0时，a>b#ac2>be2；当ac?>be2时，说明c*0,

有c2>0,得ac?>be?na>b.故uac2>be2"是“a>b”成立的充分不必要条件正确.

②：那=赢犷带」^-22,由于其等号成立的条件是sinx=1,而当窠您觎⑸时，此式不成立，

豳i笳4'

故②错；

③若命题“一攀”与命题“孽或穹”都是真命题，则命题翼一定是真命题；根据复合命题的真值可

知成立。

④若命题攀：.则一孽：就淮磷送？^紧;资工超,艇，结合特称命题的否定可知满

足，正确，故填写①③④

考点：命题和不等式

点评：本题考查不等式的性质和充要条件的判断，考查四种命题，考查函数的零点与方程根的关系，

考查利用数形结合进行求解，是一道好题，本题是基本概念题

16.答案：—8

解析:解：由定义在R上的偶函数满足：/(x+4)=/(x)+/(2),

得/(-2+4)=/(-2)+/(2)，

解得f(2)=0,

即/(x+4)=/(x),

即f(x)的周期为4,

由当x€［0,2］时，y=单调递减且/(x)为周期为4的偶函数，

可得y=f(x)在［一6,-4］为增函数，在［-4,—2］为减函数，且图象关于直线％=-4对称，

又方程f(x)=m在］-6,-2］上的两根为％,X2,

则空=_41

即％1+%2=-8，

故答案为：—8.

由函数的奇偶性、单调性及对称性可得：y=/(%)在［-6,-4］为增函数，在［-4,-2］为减函数且图象

关于直线x=-4对称，又方程/(x)=m在［-6,-2］上的两根为小，*2,则空=-4,即/+x2=-8,

得解.

本题考查了函数的奇偶性、单调性及对称性，属综合性较强的题型.

17.答案：解(1)：A={x［3<x<7］,B={x|2<x<10},

••A\JB={x\2<x<10},AC\B=(x\3<x<7］,CRA={x\x<3或%>7}

(2)①2bgs25+10亚6+)e。-6)+(V2-l)0=2x2+V3+(l-V3)+l=4+V3+l-V3+

1=6,

21111S211115

②(2a访5)(—6成反)+(―3«6/?6)=2X(—6)+(―—访尹§一2=4ab0=4a-

解析：(1)根据集合的交并补的定义计算即可，

(2)①根据对数的运算性质计算即可，

②根据基的运算性质计算即可.

本题考查了集合的交并补的运算，对数和累的运算性质，属于基础题.

18.答案：解：在AABC中，:4为锐角，cos271=

:.cos2A=1-2sin2A=

•••sinA=—>cosA=V1—sin2>4=—•

55

又B为锐角，sinB=旦，

10

・•・cosB=V1-sin2F=

io

2V53>/10Vsy/16V2

・••cos(i4+8)=cosAcosB-sinAsinB-----XX------=一

5-------105-------10-------2

0<A+B<TC,

♦iA+B——4—,

••C—n—(A+B)—

解析：根据同角的三角函数的关系以及两角和的余弦公式即可求出.

本题考查了同角的三角函数的关系和两角和的余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题

19.答案：解：(1)向量方=(6,k),b=(3,2).

若方〃石，可得6x2-3k=0,解得k=4,

所以五•石=6x3+4x2=26;

(2)向量方=(6,£),b=(3,2).

若N_L石,可得6X3+2k=0,解得k=-9,

所以|初=J62+(-9)2=3V13.

解析：(1)通过向量共线求出k,然后求解向量的数量积即可.

(2)利用向量垂直列出方程求解k,然后求解向量的模.

本题考查向量共线以及向量的垂直体积的应用，数量积的求法，向量的模的求法，是基本知识的考

查.

(-2,x<-3

20.答案：解：(1)当a=l时，/(%)=|x+3|-|x+l|=2x+4,-3<x<-1,

[2,x>—1

1,二仁昌或£其箕、或后、

・•・X>

•••不等式的解集为{x|x>-|}.

(2)当％W[-2,4]时,不等式/(%)>x-5,即4-3|-|ax4-a