最优性条件及二次规划

关于最优性条件及二次规划最优性条件二次规划重点：最优性条件，二次规划难点:最优性条件及应用基本要求：理解可行方向、下降方向、有效约束等概念，掌握最优性条件，并会用其求解有约束极值问题，掌握二次规划模型及求解方法，理解序列二次规划的原理和特点。第7讲最优性条件和二次规划第2页,共28页，2024年2月25日，星期天一、基本概念1起作用（紧）约束

是(I)的可行解，若则称为处的起作用（紧）约束。记处起作用（紧）约束的下标集2可行方向记或时有称为处的可行方向为（I）或（II）的可行域定义:最优性条件（5.1）p第3页,共28页，2024年2月25日，星期天若是的任一可行方向，则有3下降方向时有称为处的下降方向若是的任一下降方向，则有若既满足（1）式又满足（2）式则称为的下降可行方向定理1为（I）的局部极小值点，在处可微，在处可微在处连续则在处不存在可行下降方向。即不存在向量同时成立判别条件判别条件定义:第4页,共28页，2024年2月25日，星期天二、最优性条件1、Gordan引理设为个维向量，不存在向量P使得成立的充要条件是存在不全为零的非负数，使得成立第5页,共28页，2024年2月25日，星期天2、FritzeJohn定理(3)成立1(4)(5)(6)第6页,共28页，2024年2月25日，星期天3

Kuhn-Tucker条件

设x*是非线性规划（I）的局部极小点有一阶连续偏导而且X*处的所有起作用约束梯度线性无关，则存在数使得（7）成立第7页,共28页，2024年2月25日，星期天成立（3）（7）并令即得第8页,共28页，2024年2月25日，星期天

若x*是非线性规划(II)的局部极小点，且x*点的所有起作用约束的梯度和线性无关。则存在向量使得（7）其中称为广义拉格朗日(Lagrange)乘子。第9页,共28页，2024年2月25日，星期天库恩—塔克条件是确定某点为最优点的必要条件，只要是最优点．且此处起作用约束的梯度线性无关。就必须满足这个条件。但一般说来它并不是充分条件，因而，满足这个条件的点不一定就是最优点。对于凸规划，库恩—塔克条件不但是最优点存在的必要条件，它同时也是充分条件。第10页,共28页，2024年2月25日，星期天某非线性规划的可行解X(k)，假定此处有两个起作用约束，若X（k）是极小点，则必处于的夹角之间，否则，X（k）点处必存在可行下降方向，它就不会是极小点。如右图所示。库恩—塔克条件的几何解释：且其梯度线性无关。第11页,共28页，2024年2月25日，星期天三举例例１求的极大值点。并验证其是否为K-T点。说明理由。解：1如上图所示，阴影部分为可行域R，红色直线为目标函数的等值线。显然最大值点为（1，0）。R将原问题标准化x1x20第12页,共28页，2024年2月25日，星期天K-T条件第13页,共28页，2024年2月25日，星期天（1）（2）（3）（5）（4）（1）式为代入上式，得：故不是K-T点。第14页,共28页，2024年2月25日，星期天的起作用约束为线性相关不是K-T点。自己验证是F-J点。第15页,共28页，2024年2月25日，星期天例2用K-T条件，求解非线性规划解：1验证该问题为凸规划原问题标准化为半正定，负定是凸函数是凹函数故该问题为凸规划。所以第16页,共28页，2024年2月25日，星期天2求K-T点该问题的K-T条件为（1）（2）（3）（4）是K-T点(i)(ii)（5）讨论第17页,共28页，2024年2月25日，星期天(iii)将求出的带入（6）式都不满足故该问题有唯一的K-T点即为极小值点，(iv)第18页,共28页，2024年2月25日，星期天二次规划的数学模型可表示为：二次规划的数学模型变形为：（I）（II）二次规划(5.2)第19页,共28页，2024年2月25日，星期天其中：书中为行向量第20页,共28页，2024年2月25日，星期天（III）第21页,共28页，2024年2月25日，星期天例1

求解二次规划问题（例5-3）解：写出问题对应的矩阵形式如下：这就形成了式（III）所需要的全部信息：（III）第22页,共28页，2024年2月25日，星期天为解此方程组，在第1个方程和第2个方程中引入人工变量R1和R2，目标函数为maxz=-R1-R2，对应的初始单纯形表见表5-1。第23页,共28页，2024年2月25日，星期天第24页,共28页，2024年2月25日，星期天第25页,共28页，2024年2月25日，星期天例2求解二次规划（自己练习）第26页,共28页，2024年2月25日，星期天序列二次规划(5.3)

序列二次规划的思路序列二次规划（SQP）算法是将复杂的有约束极值问题转化为比较简单的二次规划（QP）问题求解的算法。利用泰勒展开把有约束极值问题的目标函数在迭代点展开成二次函数，将约束条件在迭代点展开成线性函数得到如下二次规