2024届上海市长宁区中考冲刺卷数学试题含解析

2024届上海市长宁区中考冲刺卷数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺3．下列计算，结果等于a4的是（）A．a+3aB．a5﹣aC．（a2）2D．a8÷a24．如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA＝27°，则∠B的大小是（）A．27° B．34° C．36° D．54°5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A． B． C． D．6．若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2 D．38．2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度55000米，则数据55000用科学记数法表示为（）A．55×105 B．5.5×104 C．0.55×105 D．5.5×1059．已知地球上海洋面积约为361000000km2，361000000这个数用科学记数法可表示为()A．3.61×106 B．3.61×107 C．3.61×108 D．3.61×10910．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则a+b的值为（）A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣4二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．计算：=_________

.12．如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE的最小值是_____．13．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为_____．14．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A、B、C、D、E五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接_____.（写出一个答案即可）15．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为.16．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的定价是______元17．已知数据x1，x2，…，xn的平均数是，则一组新数据x1+8,x2+8,…,xn+8的平均数是____.三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知，如图直线l1的解析式为y=x+1，直线l2的解析式为y=ax+b（a≠0）；这两个图象交于y轴上一点C，直线l2与x轴的交点B（2，0）（1）求a、b的值；（2）过动点Q（n，0）且垂直于x轴的直线与l1、l2分别交于点M、N都位于x轴上方时，求n的取值范围；（3）动点P从点B出发沿x轴以每秒1个单位长的速度向左移动，设移动时间为t秒，当△PAC为等腰三角形时，直接写出t的值．19．（5分）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数（k>0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标_____，写出符合题意的其中一条抛物线解析式_____，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？_____．（本小题只需直接写出答案）20．（8分）随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家．某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A：车价40万元以上；B：车价在20—40万元；C：车价在20万元以下；D：暂时未购车）进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）调查样本人数为__________，样本中B类人数百分比是_______，其所在扇形统计图中的圆心角度数是________；（2）把条形统计图补充完整；（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．21．（10分）已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O直径AB异侧的两点，AC=DC，过点C与⊙O相切的直线CF交弦DB的延长线于点E．（1）试判断直线DE与CF的位置关系，并说明理由；（2）若∠A=30°，AB=4，求的长．22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=1．（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值．23．（12分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？24．（14分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．求出y与x之间的函数关系式；写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解析】

根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、B【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺），故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．3、C【解析】

根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【详解】A．a+3a=4a，错误；B．a5和a不是同类项，不能合并，故此选项错误；C．（a2）2=a4，正确；D．a8÷a2=a6，错误．故选C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．4、C【解析】

由切线的性质可知∠OAB=90°，由圆周角定理可知∠BOA=54°，根据直角三角形两锐角互余可知∠B=36°．【详解】解：∵AB与⊙O相切于点A，

∴OA⊥BA．

∴∠OAB=90°．

∵∠CDA=27°，

∴∠BOA=54°．

∴∠B=90°-54°=36°．故选C．考点：切线的性质．5、A【解析】

根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6、D【解析】

根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．【详解】解：∵ab＜0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合．故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7、C【解析】

由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AE=3，即可求得AB的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE：ED=1：3，∴BE：OB=1：2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵AE⊥BD，AE=3，∴AB=，故选C．【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键．8、B【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将度55000用科学记数法表示为5.5×1．故选B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9、C【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：将361000000用科学记数法表示为3.61×1．故选C．10、D【解析】分析：已知等式利用完全平方公式整理后，利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值．详解：已知等式整理得：x2+ax+19=（x-5）2-b=x2-10x+25-b，可得a=-10，b=6，则a+b=-10+6=-4，故选D．点睛：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、2【解析】

利用平方差公式求解，即可求得答案．【详解】=（）2-（）2=5-3=2.故答案为2.【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算．此题难度不大，注意掌握平方差公式的应用．12、8【解析】试题分析：过B点作于点，与交于点，根据三角形两边之和小于第三边，可知的最小值是线的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．过B点作于点，与交于点，设AF=x，，，，（负值舍去）．故BD＋DE的值是8故答案为8考点：轴对称-最短路线问题．13、5.5×1．【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：5.5亿=550000000=5.5×1，故答案为5.5×1．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14、答案不唯一，如：AD【解析】

根据勾股定理求出，根据无理数的估算方法解答即可．【详解】由勾股定理得：，．故答案为答案不唯一，如：AD．【点睛】本题考查了无理数的估算和勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．15、18。【解析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3。∵A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴。∴A，B关于x=3对称。∴AB=6。又∵△ABC是等边三角形，∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18。16、300【解析】

设成本为x元，标价为y元，根据已知条件可列二元一次方程组即可解出定价.【详解】设成本为x元，标价为y元，依题意得，解得故定价为300元.【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程再求解.17、【解析】

根据数据x1，x2，…，xn的平均数为=（x1+x2+…+xn），即可求出数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数．【详解】数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数=（x1+1+x2+1+…+xn+1）=（x1+x2+…+xn）+1=+1．故答案为+1．【点睛】本题考查了平均数的概念，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）a=﹣；（2）﹣1＜n＜2；（3）满足条件的时间t为1s，2s，或（3+）或（3﹣）s．【解析】试题分析：(1)、根据题意求出点C的坐标，然后将点C和点B的坐标代入直线解析式求出a和b的值；(2)、根据题意可知点Q在点A和点B之间，从而求出n的取值范围；(3)、本题需要分几种情况分别来进行计算，即AC=P1C，P2A=P2C和AP3=AC三种情况分别进行计算得出t的值．试题解析：(1)、解：∵点C是直线l1：y=x+1与轴的交点，∴C（0，1），∵点C在直线l2上，∴b=1，∴直线l2的解析式为y=ax+1，∵点B在直线l2上，∴2a+1=0，∴a=﹣；(2)、解：由（1）知，l1的解析式为y=x+1，令y=0，∴x=﹣1，由图象知，点Q在点A，B之间，∴﹣1＜n＜2(3)、解：如图，∵△PAC是等腰三角形，∴①点x轴正半轴上时，当AC=P1C时，∵CO⊥x轴，∴OP1=OA=1，∴BP1=OB﹣OP1=2﹣1=1，∴1÷1=1s，②当P2A=P2C时，易知点P2与O重合，∴BP2=OB=2，∴2÷1=2s，③点P在x轴负半轴时，AP3=AC，∵A（﹣1，0），C（0，1），∴AC=，∴AP3=，∴BP3=OB+OA+AP3=3+或BP3=OB+OA﹣AP3=3﹣，∴（3+）÷1=（3+）s，或（3﹣）÷1=（3﹣）s，即：满足条件的时间t为1s，2s，或（3+）或（3﹣）s．点睛：本题主要考查的就是一次函数的性质、等腰三角形的性质和动点问题，解决这个问题的关键就是要能够根据题意进行分类讨论，从而得出答案．在解决一次函数和等腰三角形问题时，我们一定要根据等腰三角形的性质来进行分类讨论，可以利用圆规来作出图形，然后根据实际题目来求出答案．19、（1）；（2）；（3）（﹣1，3）；（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1）,对应的抛物线分别为；；,偶数.【解析】

（1）设正方形ABCD的边长为a，当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，可知3a=，求出a，

（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，可知ADE≌△BAO≌△CBF，列出m的等式解出m，

（3）本问的抛物线解析式不止一个，求出其中一个．【详解】解：（1）∵正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，∴AO=1，BO=1，∴正方形ABCD的边长为,当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，设正方形的边长为a，得3a=,∴，所以伴侣正方形的边长为或；（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，知△ADE≌△BAO≌△CBF，此时，m＜2，DE=OA=BF=mOB=CF=AE=2﹣m∴OF=BF+OB=2∴C点坐标为（2﹣m，2），∴2m=2（2﹣m）解得m=1，反比例函数的解析式为y=，（3）根据题意画出图形，如图所示：过C作CF⊥x轴，垂足为F，过D作DE⊥CF，垂足为E，∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，∵C（3，4），即CF=4，OF=3，∴EG=3，DE=4，故DG=DE﹣GE=DE﹣OF=4﹣3=1，则D坐标为（﹣1，3）；设过D与C的抛物线的解析式为：y=ax2+b，把D和C的坐标代入得：，解得，∴满足题意的抛物线的解析式为y=x2+；同理可得D的坐标可以为：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），；对应的抛物线分别为；；，所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.【点睛】本题考查了二次函数的综合题.灵活运用相关知识是解题关键.20、（1）50，20%，72°．（2）图形见解析；（3）选出的2人来自不同科室的概率=35【解析】试题分析：（1）根据调查样本人数=A类的人数除以对应的百分比．样本中B类人数百分比=B类人数除以总人数，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数=B类人数的百分比×360°．（2）先求出样本中B类人数，再画图．（3）画树状图并求出选出的2人来自不同科室的概率．试题解析：（1）调查样本人数为4÷8%=50（人），样本中B类人数百分比（50﹣4﹣28﹣8）÷50=20%，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是20%×360°=72°；（2）如图，样本中B类人数=50﹣4﹣28﹣8=10（人）；（3）画树状图为：共有20种可能的结果数，其中选出选出的2人来自不同科室占12种，所以选出的2人来自不同科室的概率=1220考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．21、(1)见解析；（2）.【解析】

（1）先证明△OAC≌△ODC，得出∠1=∠2，则∠2=∠4，故OC∥DE，即可证得DE⊥CF；（2）根据OA=OC得到∠2=∠3=30°，故∠COD=120°，再根据弧长公式计算即可.【详解】解：（1）DE⊥CF．理由如下：∵CF为切线，∴OC⊥CF，∵CA=CD，OA=OD，OC=OC，∴△OAC≌△ODC，∴∠1=∠2，而∠A=∠4，∴∠2=∠4，∴OC∥DE，∴DE⊥CF；（2）∵OA=OC，∴∠1=∠A=30°，∴∠2=∠3=30°，∴∠COD=120°，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质与弧长的计算，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质与弧长的公式.22、（1）证明见解析；（2）m的值为1或﹣2．【解析】

（1）计算根的判别式的值可得（m+1）