2024年高考数学复习专题 练习★★　截面、交线问题（3大考点+强化训练）

2024年高考数学复习专题练习★★截面、交线问题（3大考点+强化训练）“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力．求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解．知识导图考点分类讲解考点一：截面问题规律方法作几何体截面的方法(1)利用平行直线找截面．(2)利用相交直线找截面．考向1多面体中的截面问题【例1】（2024·四川·模拟预测）设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为边形．

【变式2】（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为矩形，为的中点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为.【变式3】(多选）（2023·河北承德·模拟预测）如图，正六棱柱的各棱长均为1，下列选项正确的有（

）A．过A，，三点的平面截该六棱柱的截面面积为B．过A，，三点的平面将该六棱柱分割成体积相等的两部分C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为考向2球的截面问题【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为4，若将沿BD翻折到的位置，使得二面角为，N为的四等分点靠近D点，已知点，B，C，D都在球O的表面上，过N作球O的截面，则截球所得截面面积的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·河南新乡·二模）已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为．【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知球的直径，、是该球面上的两点，且，，，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．考点二交线问题规律方法找交线的方法(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点．(2)面面交点法：各棱面与截平面的交线．考向1多面体中的交线问题【例3】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（

）A．的长度为 B．的长度为C．的长度为 D．的长度为【变式1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面满足，若直线AC到平面的距离与BC1到平面的距离相等，平面与此正方体的面相交，则交线围成的图形为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【变式2】（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（

）A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B．该“十字贯穿体”的表面积是C．该“十字贯穿体”的体积是D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为【变式3】（多选）（23-24高三上·湖北·期中）如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（

）A．存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形B．当时，三棱锥体积为C．当时，三棱锥的外接球表面积为D．当时，直线与平面所成的角的正弦值为考向2与球有关的交线问题【例4】（2024·陕西商洛·模拟预测）某圆柱的轴截面是面积为12的正方形为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，平面与球的交线长为（

）A． B． C． D．【变式1】（2023·河南·模拟预测）如图，在三棱锥中，两两垂直，且，以为球心，为半径作球，则球面与底面的交线长度的和为（

）

A． B． C． D．【变式2】（22-23高三上·河北保定·期末）已知三棱锥的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与的交线为L，则交线L的长度为（

）A． B． C． D．【变式3】（多选）（23-24高三上·辽宁·开学考试）若平面与一个球只有一个交点，则称该平面为球的切平面．过球面上一点恒能作出唯一的切平面，且该点处的半径与切平面垂直．已知在空间直角坐标系中，球O的半径为1．记平面，平面，平面分别为．过球面上一点作切平面，且与的交线为，下列说法正确的是（

）.A．的一个方向向量为.B．的方程为.C．过正半轴上一点作与原点距离为1的直线，设，若，则h的取值范围为.D．过球面上任意一点作切平面，记，，，分别为到原点的距离，则强化训练一、单选题1．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知正四面体的棱长为，为上一点，且，则截面的面积是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）在正方体中，E，F分别为棱，的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则（

）A． B． C． D．5．（2024·陕西榆林·一模）已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·二模）在正方体中，、分别是棱、靠近下底面的三等分点，平面平面，则下列结论正确的是（

）A．过点B．C．过点的截面是三角形D．过点的截面是四边形7．（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知三棱锥的棱，，两两互相垂直，，以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（

）A． B． C． D．8．（2024·广西·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点为棱上一点，过点作三棱锥的截面，使截面平行于直线和，当该截面面积取得最大值时，（

）A． B． C． D．二、多选题1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为.现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（

）

A．过棱的截面中，截面面积的最小值为B．若过棱的截面与棱（不含端点）交于点，则C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，以点A为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线为上一点，则下列结论中正确的是（

）

A．点A到平面的距离为 B．曲线的长度为C．的最小值为 D．所有线段所形成的曲面的面积为3．（2024高三·全国·专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，将沿DE折起，连接AB，AC，得到四棱锥，则（

）A．存在使的四棱锥B．四棱锥体积的最大值是C．平面ABE与平面ACD的交线平行于底面D．在平面ABC与平面ADE的交线上存在点F，使得三、填空题1．（23-24高三下·江西·开学考试）在正四面体中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则；若记该正四面体和其外接球的体积分别为和，则．2．（23-24高三下·江苏·开学考试）在正三棱锥A－BCD中，底面△BCD的边长为4，E为AD的中点，AB⊥CE，则以AD为直径的球截该棱锥各面所得交线长为.3．（2024·河南·模拟预测）在三棱柱中，四面体是棱长为2的正四面体，为棱的中点，平面过点且与垂直，则与三棱柱表面的交线的长度之和为．四、解答题1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知正方体，棱长为2.(1)求证：平面；(2)若平面平面，且平面与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值；(3)在（2）的情形下，设平面与正方体的棱、、交于点、、，当截面的面积最大时，求二面角的余弦值.2．（2024高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积.3．（2024高三·全国·专题练习）单