2024年中考数学黄金30题系列2

2024年中考数学黄金30题系列1专题三最有可能考的30题一、选择题1．南宁快速公交（简称：BRT）将在今年底开始动工，预计2016年下半年建成并投入试运营，首条BRT西起南宁火车站，东至南宁东站，全长约为11300米，其中数据11300用科学记数法表示为（）A．0.113×105B．1.13×104C．11.3×103D．113×102【答案】B．【解析】试题分析：将11300用科学记数法表示为：1.13×104．故选B．考点：科学记数法—表示较大的数．2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C．考点：中心对称图形；轴对称图形．3．下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：A．，错误；B．，错误；C．，正确；D．，错误，故选C．考点：整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；二次根式的乘除法．4．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数（x＜0）和（）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴且交y轴于点C，且OA⊥OB，，，则线段AB的长度为（）A．B．C．D．4【答案】B．考点：反比例函数的图象和性质．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A．（0，1）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（1，0）【答案】B．【解析】试题分析：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线过点（0，﹣1），根据旋转变换的性质，点（1，﹣1）即为旋转中心．故旋转中心坐标是P（1，﹣1）．故选B．考点：坐标与图形变化-旋转．6．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】试题分析：A．不正确，两组对边分别平行；B．不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C．不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D．菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．考点：菱形的性质；平行四边形的性质．7．如图，已知经过原点的抛物线（a≠0）的对称轴是直线，下列结论中：①，‚②a+b+c＞0，ƒ③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D．考点：二次函数图象与系数的关系；综合题．8．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：∵将抛物线向上平移3个单位再向右平移2个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：．故选B．考点：二次函数图象与几何变换．9．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．D．【答案】B．考点：轴对称-最短路线问题；最值问题；正方形的性质．10．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N，P、Q分别是弧AM、弧BM上一点（不与端点重合）．若∠MNP=∠MNQ，下面结论：①∠PNA=∠QNB；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN2=PN•QN．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B．【解析】试题分析：延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图：∵MN⊥AB，∴∠MNA=∠MNB=90°，∵∠MNP=∠MNQ，∴∠PNA=∠QNB，故①对；∵∠P+∠PMN＜180°，∴∠P+∠Q＜180°，故②错；因为AB是⊙O的直径，MN⊥AB，∴，∵∠PNA=∠QNB，∠ANC=∠QNB，∴∠PNA=∠ANC，∴P，C关于AB对称，∴，∴，∴∠Q=∠PMN，故③对；∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，∴△PMN∽△MQN，∴MN2=PN•QN，PM不一定等于MQ，所以④错误，⑤对．故选B．考点：垂径定理；相似三角形的判定与性质．二、填空题11．分式方程的解是．【答案】x=1．【解析】试题分析：两边都乘以3（2x+1），得3x=2x+1，解得x=1，经检验x=1是原方程的根，所以解为x=1．故答案为：x=1．考点：解分式方程．12．函数中，x的取值范围是．【答案】x＞2．【解析】试题分析：由题意，可得x-2＞0，所以x＞2．故答案为：x＞2．考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．13．写一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数，当时，y随x的增大而减小”成为随机事件．【答案】答案不唯一，的任意实数皆可，如：﹣3．考点：随机事件；二次函数的性质；开放型．14．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为．【答案】．【解析】试题分析：∵圆锥的底面周长为6π，∴圆锥的底面半径为6π÷2π=3，∵圆锥的侧面积=×侧面展开图的弧长×母线长，∴母线长=2×12π÷（6π）=4，∴这个圆锥的高是=，故答案为：．考点：圆锥的计算．15．关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是．【答案】．【解析】试题分析：根据方程没有实数根，得到△=，解得：．故答案为：．考点：根的判别式．16．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．考点：正方形的性质；等边三角形的性质．17．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB．若C（，），则该一次函数的解析式为．【答案】．【解析】试题分析：连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C（，），∴AO=AC，OD=，DC=，BO=BC，则tan∠COD==，故∠COD=30°，∠BOC=60°，∴△BOC是等边三角形，且∠CAD=60°，则sin60°=，即AC==1，故A（1，0），sin30°===，则CO=，故BO=，B点坐标为：（0，），设直线AB的解析式为：，则，解得：，即直线AB的解析式为：．故答案为：．考点：翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式；综合题．18．点（a﹣1，）、（a+1，）在反比例函数的图象上，若，则a的范围是．【答案】﹣1＜a＜1．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；分类讨论．19．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，≈1.732）【答案】137．【解析】试题分析：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴，∴x=≈137，即山高AD为137米．故答案为：137．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．20．如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当x=0时，；④AB+AC=10；⑤，其中正确结论的个数是：．【答案】4．考点：二次函数的性质．21．在直角坐标系中，直线与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为、、、…，则的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．【答案】．考点：一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；规律型；综合题．三、解答题22．化简求值：，其中．【答案】，．【解析】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．试题解析：原式===，当时，原式==．考点：分式的化简求值．23．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】1≤x＜4．【解析】试题分析：分别求出两不等式的解集，确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．试题解析：，由①得：x≥1，由②得：x＜4，则不等式组的解集为1≤x＜4，考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．24．如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）．【解析】试题分析：（1）如图，画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；（2）如图，画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，AC扫过的面积即为扇形AOA2的面积减去扇形COC2的面积，求出即可．试题解析：（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；（2）如图所示，△A2B2C2为所求的三角形；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积S===．故答案为：．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换；作图题；扇形面积的计算．25．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如图：九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：（1）直接写出表中m、n的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．【答案】（1）m=94，n=95.5；（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成绩比九（1）班稳定；③九（2）班的成绩集中在中上游，故支持九（2）班成绩好（任意选两个即可）；（3）．【解析】试题分析：（1）求出九（1）班的平均分确定出m的值，求出九（2）班的中位数确定出n的值即可；（2）分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持九（2）班成绩好的原因；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出另外两个决赛名额落在同一个班的情况数，即可求出所求的概率．试题解析：（1）m=（88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）=94，把九（2）班成绩排列为：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99，则中位数n=（95+96）=95.5；（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成绩比九（1）班稳定；③九（2）班的成绩集中在中上游，故支持九（2）班成绩好（任意选两个即可）；（3）用A1，B1表示九（1）班两名98分的同学，C2，D2表示九（2）班两名98分的同学，画树状图，如图所示：所有等可能的情况有12种，其中另外两个决赛名额落在同一个班的情况有4种，则P（另外两个决赛名额落在同一个班）==．考点：列表法与树状图法；加权平均数；中位数；众数；方差．26．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，得到AB∥CD，AB=CD；再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；（2）根据平行四边的性质，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形；（2）∵四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN与△CDM中，∵∠BAN=∠DCM，AB=CD，∠ABN=∠CDM，∴△ABN≌△CDM（ASA）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定．27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A和点B（﹣2，n），与x轴交于点C（﹣1，0），连接OA．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点P在坐标轴上，且满足PA=OA，求点P的坐标．【答案】（1），；（2）（2，0）或（0，4）．【解析】（2）由，解得：，或，∵B（﹣2，﹣1），∴A（1，2）．分两种情况：①如果点P在x轴上，设点P的坐标为（x，0），∵PA=OA，∴，解得，（不合题意舍去），∴点P的坐标为（2，0）；②如果点P在y轴上，设点P的坐标为（0，y），∵PA=OA，∴，解得，（不合题意舍去），∴点P的坐标为（0，4）；综上所述，所求点P的坐标为（2，0）或（0，4）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；分类讨论；综合题．28．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）；（2）售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）440．【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．试题解析：（1）由题意得，==；（2）P===，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得=6000，解得，，∵抛物线P=的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在中，＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．考点：二次函数的应用；最值问题；综合题．29．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．（2）∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等），又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；（3）设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，，即，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴，即，∴PF=，∴PD=PF﹣DF==．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质；圆的综合题；压轴题．30．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为ts，解答下列问题：（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．【答案】（1）5；（2）当t=4时，S的最大值是；（3）t=秒或t=秒或t=4秒．【解析】试题分析：（1）计算BC的长，找出AB、BC中较短的线段，根据速度公式可以直接求得；（2）由已知条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最值；（3）分三种情况讨论：①当PQ=PB时，②当PQ=BQ时，③当QB=BP．试题解析：（1）作CE⊥AB于E，∵DC∥AB，DA⊥AB，∴四边形AFVE是矩形，∴AE=DE=5，CE=AD=4，∴BE=3，∴BC==5，∴BC＜AB，∴P到C时，P、Q同时停止运动，∴t==5（秒），即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动；（2）由题意知，AQ=BP=t，∴QB=8﹣t，作PF⊥QB于F，则△BPF～△BCE，∴，即，∴PF=，∴S=QB•PF===（0＜t≤5），∵＜0，∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是；（3）∵cos∠B=，∴BF=，∴QF=AB﹣AQ﹣BF=，∴QP===①当PQ=PB时，∵PF⊥QB，∴BF=QF，∴BQ=2BF，即：，解得t=；②当PQ=BQ时，即=8﹣t，即：，解得：（舍去），；③当QB=BP，即8﹣t=t，解得：t=4．综上所述：当t=秒或t=秒或t=4秒时，△PQB为等腰三角形．考点：四边形综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．31．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求OE的长；（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（4）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）M（－6，16）或（2，16）或（－2，）．【解析】试题解析：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，∴在Rt△COE中，OE===3；（2）设AD=m，则DE=BD=4－m，∵OE=3，∴AE=5－3=2，在Rt△ADE中，∵，∴，∴，∴D（，），∵C（－4，0），O（0，0），∴设过O、D、C三点的抛物线为，∴，∴，∴，即；（3）∵CP=2t，∴BP=，在Rt△DBP和Rt△DEQ中，∵DP=DQ，BD=ED，∴Rt△DBP≌Rt△DEQ，∴BP=EQ，∴，∴；（4）∵抛物线的对称轴为直线，∴设N（－2，n），由题意知C（－4，0），E（0，3），①若四边形ECMN是平行四边形，则M（－6，n+3），∴，∴M（－6，16）；②若四边形ECNM是平行四边形，则M（2，），∴，∴M（2，16）；③若四边形EMCN是平行四边形，则M（－2，），∴，∴M（－2，）；综上所述，M点的坐标为：M（－6，16）或M（2，16）或M（－2，）．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．专题二新题精选30题一、选择题1．观察下列汽车图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个．A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D．考点：轴对称图形；中心对称图形．2．某市户籍人口1694000人，则该市户籍人口数据用科学记数法可表示为（）A．1.694×104人B．1.694×105人C．1.694×106人D．1.694×107人【答案】C．【解析】试题分析：将1694000用科学记数法表示为：1.694×106．故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．3．在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠22．5°，DE垂直平分AB交BC于E，BC=，则AC=（）A．1B．2C．3D．4【答案】B．【解析】试题分析：∵DE垂直平分AB，∴∠B=∠DAE，BE=AE，∵∠B=22．5°，∠C=90°，∴∠AEC=∠CAE=45°，∴AC=CE，∴2AC2=AE2，∴AE=AC，∴BC=BE+CE=AE+AC=AC+AC，∵BC=，∴AC+AC=，∴AC=2，故选B．考点：线段垂直平分线的性质．4．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（2，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（3，3）【答案】A．考点：位似变换；坐标与图形变化-平移；几何变换．5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．且【答案】D．【解析】试题分析：∵代数式有意义，∴，解得且．故选D．考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．6．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（）A．m=3B．m＞3C．m＜3D．m≥3【答案】D．【解析】试题分析：不等式组变形得：，由不等式组的解集为x＜3，得到m的范围为m≥3，故选D．考点：解一元一次不等式组；含待定字母的不等式（组）．7．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为（）A．﹣12B．﹣27C．﹣32D．﹣36【答案】C．考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．8．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A．（4，8）B．（5，8）C．（，）D．（，）【答案】C．【解析】试题分析：∵矩形ABCD中，OA=8，OC=4，∴BC=OA=8，AB=OC=4，由折叠得到OD=OA=BC，∠AOB=∠DOB，∠ODB=∠BAO=90°，在Rt△CBP和Rt△DOB中，∵CB=DO，OB=BO，∴Rt△CBP≌Rt△DOB（HL），∴∠CBO=∠DOB，∴OE=EB，设CE=x，则EB=OE=8﹣x，在Rt△COE中，根据勾股定理得：，解得：x=3，∴CE=3，OE=5，DE=3，过D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，∴，即，解得：DF=，EF=，∴DF+OC==，CF==，则D（，），故选C．考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；综合题．9．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B．考点：轴对称-最短路线问题；圆周角定理；综合题．10．已知二次函数的图象如图所示，记，．则下列选项正确的是（）A．B．C．D．m、n的大小关系不能确定【答案】A．（2）当对称轴时，，==，===，，∵a+b＞0，∴﹣2（a+b）＜0，∴m＜n．综上，可得m＜n．故选A．考点：二次函数图象与系数的关系；综合题；压轴题．11．如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，若AC=4，则：①△CDE的周长比△CDA的周长小4，②∠ACD=90°；③AE=ED=CE；④四边形ABCD面积是12．则上述结论正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】D．考点：平行四边形的性质．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BOC=2∠BAD，则⊙O的直径为（）A．4B．5C．10D．3【答案】C．【解析】试题分析：连结OD，如图，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠BOD=∠A+∠ODA=2∠A，∵∠BOC=2∠BAD，∴∠BOC=∠BOD，而OC=OD，∴OB⊥CD，∴CE=DE=CD=×8=4，设⊙O的半径为R，则OE=AE﹣OA=8﹣R，在Rt△OCE中，∵，∴，解得R=5，即设⊙O的直径为10．故选C．考点：垂径定理．二、填空题13．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab=．【答案】﹣6．【解析】试题分析：∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），∴a=2，b=﹣3，∴ab=﹣6，故答案为：﹣6．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．14．计算：＝．【答案】．考点：二次根式的运算．15．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有颗．【答案】14．【解析】试题分析：由题意可得，，解得n=14．故估计盒子中黑珠子大约有14个．故答案为：14．考点：利用频率估计概率．16．已知、为方程的二实根，则．【答案】2．【解析】试题分析：∵、为方程的二实根，∴，，∴，∴==，∴===14×（﹣4）+58=﹣56+58=2．故答案为：2．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．17．如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，Tn﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+Sn﹣1=．【答案】．【解析】试题分析：∵P1，P2，P3，…，Pn﹣1是x轴上的点，且OP1=P1P2=P2P3=…=Pn﹣2Pn﹣1=，分别过点p1、p2、p3、…、pn﹣2、pn﹣1作x轴的垂线交直线于点T1，T2，T3，…，Tn﹣1，∴T1的横坐标为：，纵坐标为：，∴S1==，同理可得：T2的横坐标为：，纵坐标为：，∴S2=，T3的横坐标为：，纵坐标为：，S3=，…Sn﹣1=），∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1===，∵n=2015，∴S1+S2+S3+…+S2014==．故答案为：．考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题．18．一个由小立方块搭成的几何体，其左视图、主视图如图所示，这个几何体最少由个小立方块搭成的．【答案】5．【解析】试题分析：根据题意可得：小立方块搭成的几何体如下图所示时，用的小立方块最少，所以这个几何体最少由5个小立方块搭成．考点：由三视图判断几何体．19．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．【答案】．【解析】试题分析：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB==5，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴，即：，所以可得：PM=．考点：一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；最值问题．20．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）【答案】．考点：平面展开-最短路径问题；最值问题．21．某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为．【答案】．【解析】试题分析：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：，故答案为：．考点：由实际问题抽象出一元二次方程；增长率问题．22．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】．【解析】考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．三、解答题23．先化简，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．【答案】，1．考点：分式的化简求值．24．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．【答案】1，1．【解析】试题分析：分别把1、2代入式子化简即可．试题解析：第1个数，当n=1时，原式===1．第2个数，当n=2时，原式====1．考点：二次根式的应用；阅读型；规律型；综合题．25．今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班学生人数和m的值．（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．【答案】（1）50，18；（2）落在51﹣56分数段；（3）．【解析】试题分析：（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．试题解析：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）；m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18（人）；（2）∵全班学生人数：50人，∴第25和第26个数据的平均数是中位数，∴中位数落在51﹣56分数段；（3）如图所示：将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1P（一男一女）==．考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．26．如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2∠BAM．（1）求证：AG=BG；（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG=1，求三角形ADG的面积．【答案】（1）证明见试题解析；（2）4．考点：菱形的性质；相似三角形的判定与性质．27．为创建国家级文明卫生城市，搞好“大美伊春，天然氧吧”的宣传活动，我市园林部门计划用不超过2950盆甲种花卉和2470盆乙种花卉，组建中、小型两类盆景50个．已知组建一个中型盆景需甲种花卉75盆，乙种花卉45盆；组建一个小型盆景需甲种花卉35盆，乙种花卉55盆．（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮园林部门设计出来；（2）若组建一个中型盆景的费用是920元，组建一个小型盆景的费用是630元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？【答案】（1）有三种组建方案：方案一，组建中型盆景28个，小型盆景22个；方案二，组建中型盆景29个，小型盆景21个；方案三，组建中型盆景30个，小型盆景20个．（2）选择方案1时费用最低为39620元．（2）设总共的费用为w元，则有w=920x+630（50-x）=290x+31500（28≤x≤30），∵290＞0，∴w随x的增大而减小，∴当m=28时，w最小，此时w=290×28+31500=39620（元）．即选择方案1时费用最低为39620元．考点：一元一次不等式组的应用；方案型．28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数（）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求k的值；（2）求△BMN面积的最大值；（3）若MA⊥AB，求t的值．【答案】（1）8；（2）；（3）．【分析】（1）把点A坐标代入（），即可求出k的值；（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t﹣3），则MN=，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值；（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．（3）∵MA⊥AB，∴设直线MA的解析式为：，把点A（8，1）代入得：c=17，∴直线AM的解析式为：，解方程组，得：或（舍去），∴M的坐标为（，16），∴t=．考点：反比例函数综合题；最值问题；二次函数的最值；综合题．29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线（）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）．【解析】试题解析：（1）∵C（0，3），即OC=3，BC=5，∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB==4，即B（4，0），把B与C坐标代入中，得：，解得：k=，n=3，∴直线BC解析式为；由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为，把C（0，3）代入得：，则抛物线解析式为；（2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：∵，∴=，∴抛物线的对称轴为直线x=，设点P（，m），抛物线的对称轴为直线l，直线l与x轴相交于点E．①当以点C为直角顶点时，过点C作CP1⊥BC于点C，交l于点P1，作CM⊥l于点M，∵∠P1CM=∠CDM，∠CMP1=∠DMC，∴△P1CM∽△CDM，∴，∴，∴，解得：，∴点P1（，）；③当以点P为直角顶点时，∵∠CPM=∠PBE，∠CMP=∠PEB，∴△CMP∽△PEB，∴，即，解得，，∴P3（，），P4（，）．综上，使得△BCP为直角三角形的点P的坐标为P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）．考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．30．如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若，求∠E的度数．（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）30°；（3）．试题解析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，∵AC=CG，∴，∴∠ABC=∠CBG，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴，∴，∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=OE，∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，∵∠E=30°，∴∠EBD=60°，∴∠CBD=∠EBD=30°，∵CD=，∴BD=3，DE=，BE=6，∴AE=BE=2，∴AH=1，∴EH=，∴DH=，在Rt△DAH中，AD===．考点：圆的综合题；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；压轴题．专题一经典母题30题一、选择题1．﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．【答案】A．【解析】试题分析：﹣2的相反数是2，故选A．考点：相反数．2．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C．考点：轴对称图形．3．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．4．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）A．中位数是4，平均数是3.75B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8D．众数是2，平均数是3.8【答案】C．考点：中位数；加权平均数；众数．5．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm【答案】B．【解析】试题分析：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．考点：垂径定理；勾股定理．6．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】试题分析：从上面看是一个大正方形，大正方形内部的左下角是一个小正方形，故选D．考点：简单组合体的三视图．7．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：，由①得，x＞﹣3，由②得，x≤2，故不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．在数轴上表示为：．故选C．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．8．要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】D．考点：二次函数图象与几何变换．9．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率==．故选B．考点：概率公式．10．小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，由题意得．故选A．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．11．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】考点：动点问题的函数图象；分段函数；分类讨论；压轴题．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【答案】C．【解析】试题分析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①正确；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=AC=MH，故②正确；③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2，在△ECF和△ECD中，∵CF=CD，∠2=∠DCE，CE=CE，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE，∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴，即2，故③错误；考点：相似形综合题；综合题；压轴题．二、填空题13．分解因式：=．【答案】．【解析】试题分析：==．故答案为：．考点：因式分解-运用公式法．14．函数的自变量x的取值范围是．【答案】且．【解析】试题分析：根据题意得x≠0且1﹣2x≥0，所以且．故答案为：且．考点：函数自变量的取值范围．15．的平方根是．【答案】±2．【解析】试题分析：的平方根是±2．故答案为：±2．考点：平方根；算术平方根．16．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数（）和（）的图象交于P、Q两点，若=14，则k的值为．【答案】－20．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；综合题．17．一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a台这样的电视机需要元．【答案】2000a．【解析】试题分析：2500a×80%=2000a（元）．故答案为：2000a元．考点：列代数式．18．如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．【答案】．【解析】试题分析：如图，连接AM；∵AB=8，AC=3CB，∴BC=AB=2：∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°；由射影定理得：，∴BM=4，cos∠MBA==，故答案为：．考点：垂径定理；解直角三角形；综合题．19．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=．【答案】5．【解析】试题分析：作FG⊥AC，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵点F是DE的中点，∴FG∥CD，∴GF=CD=AC=3，EG=EC=BC=2，∵AC=6，EC=BC=4，∴AE=2，∴AG=4，根据勾股定理，AF=5．考点：旋转的性质．20．方程的解是．【答案】x=6．【解析】试题分析：去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，去括号得：3x﹣6﹣2x=0，整理得：x=6，经检验得x=6是方程的根．故答案为：x=6．考点：解分式方程．21．已知二次函数，当x时，y随x的增大而减小．【答案】＜2（或x≤2）．考点：二次函数的性质．22．如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，Tn﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+Sn﹣1=．【答案】．【解析】考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题．三、解答题23．（1）计算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）x=2．【解析】考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（项点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1；（2）根据旋转的性质画出△A2B1C2；（3）利用扇形面积公式求出即可．试题解析：（1）如图；（2）如图；（3）∵BC=3，∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：=．故答案为：．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．25．随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员工，记录每个人消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成如图两幅尚不完整的表和图．根据以上信息回答下列问题：（1）a=，b=，c=．并将条形统计图补充完整；（2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在组；（3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数．【答案】（1）36，0.30，120，作图见试题解析；（2）C；（3）900．试题解析：（1）观察频数分布表知：A组有18人，频率为0.15，∴c=18÷0.15=120，∵a=36，∴b=36÷120=0.30；∴C组的频数为120﹣18﹣36﹣24﹣12=30，补全统计图为：故答案为：36，0.30，120；（2）∵共120人，∴中位数为第60和第61人的平均数，∴中位数应该落在C小组内；（3）个人旅游年消费金额在6000元以上的人