2024年九年级初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数

PAGEPAGE52024年九年级初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第十六讲锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系；3．同角三角函数间的关系．平方关系：sin2α+cos2α=1；商数关系：tgα=，ctgα=；倒数关系：tgαctgα=1．【例题求解】【例1】已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝，tanB=2，AB=29cm，则S△ABC=．思路点拨过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=，tanB=，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值．注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1)S△ABC=；（2）．【例2】如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=()A．B．C．0.3D．思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值．思路点拨作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC，(1)求证：AC＝BD；(2)若sinC=，BC=12，求AD的长．思路点拨(1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2)sinC=，引入参数可设AD=12，AC＝13．【例5】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程的两个根．(1)求实数、应满足的条件；(2)若、满足(1)的条件，方程的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数、应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα>，那么α<60°；④．正确的有．2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB，则这个菱形的面积为．3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°=．4．化简(1)=．(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°=．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中()A．甲的最高B．丙的最高C．乙的最低D．丙的最低6．已知sinαcosα=，且0°<α<45°则coα-sinα的值为()A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC的中点，则ctg∠DBC的值是()A．B．C．D．8．如图，在等腰Rt△ABC中．∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为()A．B．2C．1D．9．已知关于的方程的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值．10．如图，D是△ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠CBD=，求AE的长．11．若0°<α<45°，且sinαconα=，则sinα=．12．已知关于的方程有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是．13．已知是△ABC的三边，a、b、c满足等式，且有，则sinA+sinB+sinC的值为．14．设α为锐角，且满足sinα=3cosα，则sinαcosα等于()A．B．C．D．15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是()A．2B．C．1D．16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB=，AC=，则AB的长是()A．B．C．5D．17．己在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=，若关于的方程有两个相等的实根，又方程的两实根的平方和为6，求△ABC的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC＝90°，∠CBD°=30°，求AC的长．19．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断与的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线滚动．(1)当△ABC滚动一周到△AlB1C1的位置，此时A点所运动的路程为，约为(精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC滚动240°，C点的位置为Cˊ，△ABC滚动480°时，A点的位置在Aˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数．参考答案第十七讲解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形．【例题求解】【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝()m，则电线杆AB的长为．思路点拨延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件．【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=，BC-1，CD=，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于()A．60°B．67．5°C．75°D．无法确定思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形．注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．【例3】如图，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D为BC边上一点，tan∠ADC是方程的一个较大的根?求CD的长．思路点拨解方程求出tan∠ADC的值，解Rt△ABC求出AC值，为解Rt△ADC创造条件．【例4】如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0．5米，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A距离地面多少米?(精确到1米)思路点拨作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路【例5】如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?思路点拨(1)设甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，则图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A的影子落在地面上某一点C，求BC即可．注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等．若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．学历训练1．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，则AB的长为．2．如图，在矩形ABCD中．E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若tan∠AEH=，四边形EFGH的周长为40cm，则矩形ABCD的面积为．3．如图，旗杆AB，在C处测得旗杆顶A的仰角为30°，向旗杆前北进10m，达到D，在D处测得A的仰角为45°，则旗杆的高为．4．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛M的距离为()A．20海里B．20海里C．海里D．5．已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且sinB·cosA—cosB·sinA＝0，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC=，AD=2，则四边形ABCD的面积是()A．B．C．4D．67．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=1，已知AD、BD的长是关于的方程的两根，且tanA—tanB=2，求、的值．8．如图，某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高200米，则电缆BC至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，∠CBD＝30，则=．10．如图，正方形ABCD中，N是DC的中点．M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM＝．11．在△ABC中，AB=，BC=2，△ABC的面积为l，若∠B是锐角，则∠C的度数是．12．已知等腰三角形的三边长为a、b、c，且，若关于的一元二次方程的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是()A．15°B．30°C．45°D．60°13．如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1和∠2的大小关系是()A．∠1>∠2B．∠1<∠2C．∠1＝∠2D．无法确定14．如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF，点E在CB的延长线上，EF交AB于点G．(1)求证：DF×FC＝BG×EC；(2)当tan∠DAF=时，△AEF的面积为10，问当tan∠DAF=时，△AEF的面积是多少?15．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．参考答案第十八讲圆的基本性质到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印．圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．熟悉如下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC度数为．作出辅助线，解直角三角形，注意AB与AC有不同的位置关系．注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为()A．B．C．D．思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．⌒⌒【例3】如图，已知点A、B、C、D顺次在⊙⌒⌒思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．⌒【例4】如图甲，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥⌒(1)求∠COA和∠FDM的度数；⌒(2)求证：△FDM∽△⌒(3)如图乙，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否有△FDM∽△COM?证明你的结论．思路点拨(1)在Rt△COG中，利用OG=OA=OC；(2)证明∠COM=∠FDM，∠CMO=∠FMD；(3)利用图甲的启示思考．注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3．(1)求证：AF＝DF；(2)求∠AED的余弦值；(3)如果BD＝10，求△ABC的面积．思路点拨(1)证明∠ADE＝∠DAE；(2)作AN⊥BE于N，cos∠AED＝，设FE=4x，FD＝3x，利用有关知识把相关线段用x的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x的值．注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB=．2．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图)(用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a．是轴对称图形但不是中心对称图形．b．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为()A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为()A．2B．C．3D．⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与E的大小关系是（）A．AB+CD＝EFB．AB+CD=FC．AB+CD<EFD．不能确定7．电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．⌒8．如图，已知⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，C为AmB上的一点，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC的度数．9．不过圆心的直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥，垂足为E，BF⊥，垂足为F．(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．10．以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且OC2＝AC×BC，⌒则∠CAB=