2024年九年级初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第10讲 抛物线

PAGEPAGE82024年九年级初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第十讲抛物线一般地说来，我们称函数(、、为常数，)为的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：1．、、的符号决定抛物线的大致位置；2．抛物线关于对称，抛物线开口方向、开口大小仅与相关，抛物线在顶点(，)处取得最值；3．抛物线的解析式有下列三种形式：①一般式：；②顶点式：；③交点式：，这里、是方程的两个实根．确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被轴所截得的弦长获得对称信息．【例题求解】【例1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，对应的取值范围是．思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出，值，先求出时，对应的值．【例2】已知抛物线(<0)经过点(一1，0)，且满足．以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个思路点拨由条件大致确定抛物线的位置，进而判定、、的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．【例3】如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?思路点拨恰当建立直角坐标系，易得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(，)，建立含的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．注：把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．【例4】二次函数的图象与轴交于A、两点(点A在点B左边)，与轴交于C点，且∠ACB＝90°．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设计两种方案：作一条与轴不重合，与△ABC两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积为△BOC面积的，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．思路点拨(1)A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．注：解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．已知函数，其中自变量为正整数，也是正整数，求何值时，函数值最小．思路点拨将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为，因，，故函数的最小值只可能在取，，时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．学历训练1．如图，若抛物线与四条直线、、、所围成的正方形有公共点，则的取值范围是．2．抛物线与轴的正半轴交于A，B两点，与轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则的值为．3．如图，抛物线的对称轴是直线，它与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点A、C的坐标分别为(-l，0)、(0，)，则(1)抛物线对应的函数解析式为；(2)若点P为此抛物线上位于轴上方的一个动点，则△ABP面积的最大值为．4．已知二次函数的图象如图所示，且OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下含有、、三个字母的式子①，②，③，④，>0，其中正确结论的序号是(把你认为正确的都填上)．5．已知，点(，)，(，)，(，)都在函数的图象上，则()A．B．C．D．6．把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则有()A．，B．，C．，c＝3D．，7．二次函数的图象如图所示，则点(，)所在的直角坐标系是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长(m)的函数图象大致是()9．阅读下面的文字后，回答问题：“已知：二次函数的图象经过点A(0，)，B(1，-2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线．题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?11．如图，抛物线和直线()与轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴与轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．12．抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，若△ABC是直角三角形，则．13．如图，已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于．14．已知二次函数，一次函数．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为．15．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系式中不能总成立的是()A．b=0B．S△ADC＝c2C．ac＝一1D．a+c＝016．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是()A．过点(3，0)B．顶点是(2，一2)C．在轴上截得的线段长为2D．与轴的交点是(0，3)17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函数()的图象上两时，二次函数的值是()A．B．C．2002D．518．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．19．如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与轴交于点C，直线：x＝m(m>1)与轴交于点D．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)在直线x＝m(m>1)上有一点P(点P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形?如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．20．已知二次函数及实数，求(1)函数在一2<x≤a的最小值；(2)函数在a≤x≤a+2的最小值．21．如图，在直角坐标：O中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且在轴上截得的线段AB的长为6．(1)求二次函数的解析式；(2)在轴上求作一点P(不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标；(3)在轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上．(1)请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．参考答案第十一讲双曲线形如()的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相关的知识有：双曲线解析式中的系数决定图象的大致位置及随变化的状况．第十二讲方程与函数方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．【例题求解】【例1】若关于的方程有解，则实数m的取值范围．思路点拨可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围．【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根，，且<1<，那么取值范围是()A．B．C．D．思路点拨因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与轴的交点满足<1<的的值，注意判别式的隐含制约．【例3】已知抛物线()与轴交于两点A(，0)，B(，0)(≠)．(1)求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；(2)若抛物线与轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求的值．思路点拨、是方程的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．【例4】抛物线与轴的正半轴交于点C，与轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．(1)求这条抛物线的解析式；(2)判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．思路点拨综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论．【例5】已知抛物线上有一点M(，)位于轴下方．(1)求证：此抛物线与轴交于两点；(2)设此抛物线与轴的交点为A(，0)，B(，0)，且<，求证：<<．思路点拨对于(1)，即要证；对于(2)，即要证．注：(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．(3)一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数（）的图象与轴交于A（，0），B(，0)两点，顶点为C．①△ABC是直角三角形的充要条件是：△=．②△ABC是等边三角形的充要条件是：△=学历训练1．已知关于的函数的图象与轴有交点，则m的取值范围是．2．已知抛物线与轴交于A(，0)，B(，0)两点，且，则．3．已知二次函数y=kx2+(2k－1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1<x2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l；②当x>x2，时，y>O；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有两个不相等的实数根x1、x2；④x1<－l，x2>－l；⑤x2－x1=，其中所有正确的结论是(只需填写序号)．4．设函数的图象如图所示，它与轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则＝()．A．8B．一4C．1lD．一4或115．已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，则b与c的关系式是()A．b2－4c+1=0B．b2－4c－1=0C．b2－4c+4=0D．b2－4c－4=06．已知方程有一个负根而且没有正根，那么的取值范围是()A．>-1B．＝1C．≥1D．非上述答案7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．（1）a、c的符号之间有何关系？（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=4，求a、c的值．8．已知：抛物线过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为，与轴分别交于B(x1,0)、C(x2，0)两点(其中且<)，且．(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；(2)设此抛物线与轴交于D点，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的倍，求点M的坐标．9．已知抛物线交x轴于A（，0）、B（，0），交y轴于C点，且＜0＜，.（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.10．设是整数，且方程的两根都大于而小于，则=.11．函数的图象与函数的图象的交点个数是．12．已知、为抛物线与轴交点的横坐标，，则的值为．13．是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定的取值范围；如果没有，试述理由．14．设抛物线的图象与轴只有一个交点．(1)求的值；(2)求的值．15．已知以为自变量的二次函数，该二次函数图象与轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于的方程的一整数根，求的值．16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满足关系式．(1)求二次函数的解析式；(2)求△ABC的面积．17．设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点A（，0）、B（，0）．(1)求证：；(2)若A、B两点之间的距离不超过，求P的最大值．(

参考答案2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在>0时函数的图象关于直线轴对称；在<0时函数的图象关于直线轴对称．3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．【例题求解】【例1】已知反比例函数的图象与直线和过同一点，则当时，这个反比例函数的函数值随的增大而(填增大或减小)．思路点拨确定的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O中心称，关于轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．(2)一个常用命题：如图，设点A是反比例函数()的图象上一点，过A作AB⊥轴于B，过A作AC⊥轴于C，则①S△AOB=；②S矩形OBAC=．【例2】如图，正比例函数()与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作AB⊥轴于B，连结BC，若S△ABC的面积为S，则()A．S=1B．S=2C．S=D．S=思路点拨运用双曲线的对称性，导出S△AOB与S△OBC的关系．【例3】如图，已知一次函数和反比例函数()的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．(1)求实数的取值范围；(2)若△AOB面积S＝24，求的值．(2003年荆门市中考题)思路点拨(1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；(2)S△AOB=S△COBS-S△COA，建立的方程．【例4】如图，直线分别交、轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴于B，S△ABP=9．(1)求点P的坐标；(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥轴于F，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．思路点拨(1)从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．【例5】如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在轴上，点C在轴上，点B在函数(，)的图象上，点P(，)是函数(，)的图象上的任意一点，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．(1)求B点坐标和的值；(2)当时，求点P的坐标；(3)写出S关于m的函数关系式．思路点拨把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含的代数式表示，解题的关键是双曲线关于对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组)，解方程(组)便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．学历训练若一次函数的图象如图所示，则抛物线的对称轴位于y轴的侧；反比例函数的图象在第象限，在每一个象限内，y随x的增大而．2．反比例函数的图象经过点A(m，n)，其中m，n是一元二次方程的两个根，则A点坐标为．3．如图：函数（≠0）与的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥轴，垂足为点C，则△BOC的面积为．4．已知，点P(n，2n)是第一象限的点，下面四个命题：(1)点P关于y轴对称的点P1的坐标是(n，-2n)；(2)点P到原点O的距离是n；(3)直线y=-nx+2n不经过第三象限；(4)对于函数y=，当x＜0时,y随x的增大而减小；其中真命题是.(填上所有真命题的序号)5．已知反比例函数y=的图像上两点A(x1，y1)、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2,则m的取值范围是()A．m＜OB．m＞0C.m＜D.m＞6．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为()7．已知反比例函数当时，y随x的增大面增大，那么一次函数的图象经过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限8．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥轴于C，BD⊥轴于D，如果四边形ACBD的面积为S，那么()A．S＝1B．1<S<2C．S>2D．S＝29．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠O)的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=(m≠0)的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=l．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．10．已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直线与双曲线()的两个不同交点．(1)求的取值范围；(2)是否存在这样的值，使得?若存在，求出这样的值；若不存在，请说明理由．11．已知反比例函数和一次函数y＝2x-1，其中一次函数图像经过(a，b)，(a+1，b+k)两点．(1)求反比例函数的解析式；(2)如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A点坐标；(3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使ΔAOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.