2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题22 直线、射线与线段含答案

PAGE32024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题22直线、射线与线段阅读与思考构成平面图形的基本元素是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方形成点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界限．在线中，最简单、最常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由线段所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形等）的基础，解与直线、射线、线段相关问题常涉及如下知识与方法：1．直线、射线、线段的区别与联系．2．线段中点的概念．3．枚举法、分类讨论法．例题与求解【例1】已知一条直线上有A，B，C三点，线段AB的中点为P，AB＝10，线段BC的中点为Q，BC＝6，则线段PQ的长为＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）解题思路：未给出图形，注意C点位置有多种可能．【例2】在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和最小的点（）A．可以是直线AD外的某一点 B．只有点B或点CC．只是线段AD的中点 D．有无穷多个（全国初中数学联赛试题）解题思路：直线上的四个点把直线分成五部分，就每一种情况画图表示出到A，B，C，D的距离，从直观的图形中作出判断．【例3】如图，C是线段上的一点，D是BC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段BC的长度都是正整数，求线段AC的长．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：解题的关键是将每一条线段用AC或BC来表示，依题意可列一个关于AC，BC的方程，讨论此不定方程的正整数解．【例4】如图所示，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．（1）若线段AB＝，CE＝，＝0，求，．（2）如图①，在（1）的条件下，求线段DE的长．（3）如图②，若AB＝15，AD＝2BE，求线段CE的长．图图①图②（湖北省武汉市调考试题）解题思路：将几何问题代数化，对于（3），引入未知数，列方程求解．【例5】（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．（3）平面上有条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的条直线分一个平面所成的区域最多，记为，试研究与之间的关系．（山东省聊城市中考试题）解题思路：从简单情形入手，由简到繁，归纳发现规律．【例6】已知线段AB＝，CD＝，线段CD在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若与互为相反数．（1）求线段AB，CD的长．（2）M，N分别是线段AC，BD的中点，若BC＝4，求MN．（3）当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值；②是定值．可以证明，有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的选择并画图求值．（浙江省宁波市中考试题改编）解题思路：（1）与的平方互为相反数，可以推出二者都为零，否则一个正数是不可能等于一个负数的，所以＝6，＝12．（2）需要分类讨论：如图①，当点C在点B左侧时，根据“M，N分别为线段AC，BD的中点”，先计算出AM，DN的长度，然后计算MN＝ADAMDN；如图②，当点C位于点B右侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．（3）能计算出①或②的值是一个常数的，即为符合题意的结论．能力训练A级1．已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E，F分别为线段ｏA，OB的中点，则线段EF的长度为＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）2．如图，线段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于＿＿＿厘米．（“希望杯”邀请赛试题）3．如图，B，C，D依次是上的三点，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以A，B，C，D，E这5个点为端点的所有线段长度的和为＿＿＿＿cm．（《中学生数理化》读刊用刊知识竞赛试题）4．平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为＿＿＿＿，最多为＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）5．直线，，，，共点O，直线与上述五条直线分别交于A，B，C，D，E五点，则上述图形中共有线段（）条．A．4 B．5 C．10 D．156．如图，点A，B，C顺次在直线上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，则只需条件（）A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2（海南省竞赛试题）7．如图，A，B，C，D四点在同一直线上，M是线段AB的中点，N是线段DC的中点，MN＝，BC＝则AD＝（）A． B． C． D．8．如图，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，则CE为AB长的（）A． B． C． D．9．已知线段AB＝6．（1）取线段AB的三等分点，这些点连同线段AB的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和．（2）再在线段AB上取两种点：第一种是线段AB的四等分点；第二种是线段AB的六等分点，这些点连同（1）中的三等分点和线段AB的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和．（湖北省武汉市武昌区期末调考试题）10．已知AB＝60cm，点C是直线AB上不同于A，B的点，M为AC中点，N是BC中点，求MN的长度．11．如图，已知点A，B，C是数轴上三点，点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12．（1）求点A，B对应的数；（2）动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在CQ上，且CN＝CQ，设运动时间（＞0）．①求点M，N对应的数（用含的式子表示）．②为何值时，OM＝2BN？B级1．把线段AB延长至D，使BD＝AB，再延长BA至C，使CA＝AB，则BC是CD的＿＿＿＿倍．2．如图，AB︰BC︰CD＝2︰3︰4，AB的中点M与CD的中点N的距离是3厘米，则BC＝＿＿＿＿厘米．3．如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上的一点，若所有线段的长度都是正整数，且线段AB的所有可能的长度数的乘积等于140，则线段AB的所有可能的长度数的和等于＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）4．如图，已知B，C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝，BC＝，则线段AD＝＿＿＿＿．5．如图，已知数轴上点A，B，C所对应的数，，都不为0，且C是AB的中点．如果＝0，那么原点O的位置在（）A．线段AC上 B．线段CA的延长线上C．线段BC上 D．线段CB的延长线上（江苏省竞赛试题）6．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN︰PQ等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．平面上有四个点，经过其中每两个点画一条直线，那么一共可以画直线（）A．6条 B．1条或3条或6条C．1条或4条 D．1条或4条或6条8．如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A，B，C，D，E，F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（）A．A处 B．C处 C．G处 D．E处城市城市（江苏省竞赛试题）9．电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB＝，AC＝，BC＝，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0＝，第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1＝CP0；第二步跳蚤从P1跳到边上P2点，且AP2＝AP1；第三步跳蚤从P2跳到BC边上P3点，且BP3＝BP2…跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落到P2001，请计算P0与P2001之间的距离．（“华杯赛”邀请赛试题）10．设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度为步行速度的3倍．现甲自A地去B地，乙、丙则从B地去A地，双方同时出发，出发时，甲、乙为步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又步行，三人仍按各自原有方向继续前进．问：三人之中谁最先到达自己的目的地？谁最后到达自己的目的地？（“华罗庚金杯”竞赛试题）11．已知数轴上A，B两点对应数分别为2和4，P为数轴上一点，对应数为．（1）若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．（3）若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，1个（长度单位/分），则第几分钟时，P为AB的中点？12．—条直线顺次排列着1990个点：P1，P2，…，P1990，已知点是线段的等分点当中最靠近巧的那个点（2≤≤1989），如P5是线段P4P6的5等分点当中最靠近P6的那个分点．如果线段P1P2的长度是1，线段P1989P1990的长度为．求证：＝．（浙江省竞赛试题）专题22直线、射线、线段例18或2例2D例3设，，则，，，，故图中所有线段长度之和为，即又为正整数，例4（1），，，，（3）设，则，又，，解得，即，例5（1）如图，两条直线因其位置不同，可以分别把平面分成3个或4个区域；如图，三条直线因其位置不同，可以分辊把平面分成4个，6个，7个区域（2）如图，四条直线最多可以把平面分成11个区域，此时这四条直线位置关系是两两都相交，且无三线共点。（3）平面上条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成个区域，平面本身就是一个区域，当时，；当时，；当时，；当时，，……由此可以归纳公式为……4DE=4（AB+DE）+6（BC+CD）=4（AE－BD）+6BD=4AE+2BD=4×8.9+2×3=41.6.4．1 28 5．D 6．A 7．D 8．C9．（1）6条，长度和为20.（2）36条，长度和为88.10．（1）当点C在点A左侧时，MN=NC－MC=cm.（2）当点C在点A、B两点之间时，MN=NC+MC=cm.（3）当点C在点B右侧时，MN=MC－NC=cm.综上所述：MN=30cm.11．（1）A、B两点对应的数分别为－10，2.（2）①AP=6t，CQ=3t，M为AP中点，CN=，则．∴点M对应的数为－10+3t，点N对应的数为6+t.②∵OM=|－10+3t|，BN=BC+CN=4+t，又∵OM=2BN，∴|－10+3t|=8+2t.则－10+3t=8+2t或－10+3t=－8－2t.解之得t=18秒或秒.B级1． 2． 3．24 4．2a－b 5．A 提示：6．B 7．D 8．B9．因BP0=4a，根据题意：CP0=10a－4a=6a，CP1=CP0=6a；AP1=9a－6a=3a；AP2=AP1=3a；BP2=8a－3a=5a，BP3=BP2=5a；CP3=10a－5a=5a，CP4=CP3=5a；AP4=9a－5a=4a，AP5=AP4=4a；BP5=8a－4a=4a，BP6=BP5=4a.由此可见，P6点与P0点重合，又因为2001=6×333+3，所以P2001点与P3点重合，P0与P2001之间的距离就是P0与P3之间的距离，积6a－5a=a.10．提示：如图，设甲、丙在C点相遇，同时乙整好走到D点，丙骑车的路程为整个BC，而甲骑车的路程不是整个BC（因为甲在途中遇到乙后即改为步行），所以丙骑车的路程比甲长，丙比甲先到目的地.因为甲乙步行速度相等，所以AC=BD.设甲、乙在C、D之间的E点相遇，则甲骑车的路程只有CE这一段，而乙骑车的路程是AE=EC+CA，所以乙骑车路程比甲长，乙比甲先到目的地.最后，比较一下乙、丙骑车的路程：因为AC=BD，所以丙骑车的路程BC=BD+DC=AC+DC=AD>EA，从而丙比乙先到达目的地.因此，丙最先到达目的地，甲最后到达目的地.11．（1）0或2. （2）当x=－4或6时，PA+PB=10.（3）设t分钟后，P为AB的中点，A、B、P运动t分钟后对应的数分别为－2－t，4－2t，－t，由．得t=2.12．由题设可知，P2是线段P1P3的中点，故P1P2=P2P3=1；P3是线段P2P4的3等分点当中最靠近P4的那个分点，故P3P4=P2P3=；一般地，Pk是线段PK－1Pk+1的k等分点当中最靠近Pk+1的那个分点，故PkPk+1=Pk－1Pk+1=Pk－1Pk+PkPk+1.于是有PkPk+1=Pk－1Pk.当k=4，5，6，…，1989时，P4P5==，P5P6=，P6P7=，…，P1989P1990=，所以专题23与角相关的问题阅读与思考角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角.角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按角的大小可以分成锐角、直角和钝角.由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注.两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.解与角有关的问题常用到以下知识与方法：1.角的分类；2.角平分线的概念；3.互余、互补等数量关系角；4.用方程的观点来进行角的计算.例题与求解【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出的值.【例2】如果与互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④.其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个（2013年浙江省衢江市数学竞赛试题）解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.【例3】已知，OC是不在直线OA，OB上的任一条射线.OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC.求∠MON的大小.（题目中考虑的角都小于平角）（湖北省武汉市武昌区调考试题）解题思路：因OC位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x的值.（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x的代数式表示，通过解方程求出x的值.【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1°.【例6】如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.（1）如图①，若，求∠DOE的度数；（2）在图①中，若，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置.①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由图①图②（湖北省武汉市模拟试题）解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出∠DOE的度数；（2）先根据∠DOE与∠COE的互余关系列出相应的关系式，然后用∠BOC表示出∠COE，再根据互补角的关系用α表示出所求角的度数；（3）①可设∠BOC为一个未知数，分别表示出∠AOC与∠DOE，可得相应关系；②结合①把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.能力训练A级1.已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.如图，，，那么不大于90°的角有个，它们的度数之和是.（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，，若，则等于.4.如图，O是直线AB上一点，，，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角有对.（北京市“迎春杯”竞赛试题）5.一个角的补角的是6°，则这个角是（）A.68°B.78°C.88°D.98°（“希望杯”邀请赛试题）6.用一副三角板可以画出大于0°且小于176°的不同角度有（）种A.9B.10C.11D.127.如图，若，∠1是锐角，则∠1的余角是（）A.B.C.D.（甘肃省兰州市竞赛试题）8.如图，，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设，则与α的余角相等的角是（）A.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9.如图，已知，OD平分∠AOB，且，求∠AOB的度数.（北京市“迎春杯”竞赛试题）10.如图，已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，，.求∠EOC的度数.11.已知，OC平分∠AOB，，OE平分∠COD.求∠AOE的大小.12.如图，已知OB，OC，OD为∠AOE内三条射线.（1）图中共有多少个角？（2）若OB，OC，OD为∠AOE四等分线，且图中所有锐角的和为400°，求∠AOE的度数.（3）若，，求图中所有锐角的和.B级1.已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10°，则这个角的度数是.（浙江省杭州市竞赛试题）2.α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了23°，24°，25°这三个不同的结果.其中只有一个是正确的答案，则.（江苏省竞赛试题）3.如图，点O在直线AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有个.（五城市联赛试题）4.如图，射线OC，OD，OE，OF分别平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若，则.（2013年“希望杯”数学邀请赛试题）5.4点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）A.60B.30C.40D.33（“五羊杯”竞赛试题）6.如图是一个3×3的正方形，则图中的和等于（）A.270°B.315°C.360°D.405°（广西省竞赛试题）7.已知，OM，ON，OP分别是∠AOB，∠BOC，∠AOC的平分线，则下列各式中成立的是（）A.B.C.D.以上情况都有可能8.如图，∠AOC是直角，，且OB，OD分别是∠AOC，∠BOE的平分线，则∠AOE等于（）A.111.5°B.138°C.134.5°D.178°（五城市联赛试题）9.如图，在直线AB上取一点O，在AB同侧引射线OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE.求证：.10.如图，∠A1OA11是一个平角，.求的度数.（山东省竞赛试题）11.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的选择中心）.若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？（“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）专题23与角相关的问题例1 45°提示：如图，通过拼补得∠1+∠2=45°.例2．B 提示：①（90°－∠）+∠=90°符合；②（∠－90°）+∠=∠+∠－90°=180°－90°=90°符合；③④符合.故①②④能表示的余角.13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOM=∠COM=，∠CON=∠BON=（1）如图①，若OC在∠AOB内，设∠BOC=x，则图图图例6（1），，且与互为相反数。且。，，即，（2）有两种情况，如图当在上时，；当在的延长线上时，，综上可知，作图如图，结论正确，设，则，，当然对于我们也不难找出其值不为定值的原因。，变化，其值也变化A级1或提示：当，在点两侧时，；当，在同一侧时，220341.6提示：所有线段长度总和为∠AOC＝80°－x，∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝40°．（2）如图②，若OC在A′OB内，设∠BOC＝x，则∠AOC＝80°＋x．∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝40°．（3）如图③，若OC在∠A′OB′内，设∠BOC ＝x，则∠AOC＝280°－x．∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝140°．（4）如图④，若OC在∠AOB′内，设∠BOC＝x，则∠AOC＝x－80°．∴∠MON＝∠NOC－∠MOC＝40°．综上所述：∠MON＝40°或140°．例4x＝提示：显然x的值大于1小于2，依题意得6x－360(x—1)＝360(x—1)—0.5x．例5提示：设“模板”角度为α，假设可由k个α角与t个180°角画出1°的角来，即k，t满足等式kα－180t＝1．（1）当α＝19°时，取k＝19，t＝2，即用模板连续画出19个19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角，即得1°的角．（2）当α＝17°时，即17k一180t＝1，此时，k＝53，t＝5是一组解，即用模板连续画53个17°的角，得到901°的角，除去两个周角和一个平角，即得1°的角．（3）当α＝21°时，即21k—180t＝1无整数解，不能用21°的模板与铅笔画出1°的角．例6(1)∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－30°＝150°．又∵QE平分∠BOC，∠COE＝∠BOC＝75°，∠DOE＝90°－75°＝15°．（2）∠DOE＝90°－＝α．（3）①∠AOC＝180°－2∠COE＝180°—2(90°—∠DOE)＝2∠DOE；②设∠DOE＝x，∠AOF＝y．则∠AOC－4∠AOF＝2∠DOE－4∠AOF＝2x－4y．2∠BOE＋∠AOF＝2∠COE＋∠AOF＝2(90°—∠DOE)＋∠AOF＝2(90°一x)＋y＝180°一2x＋y．故2x—4y＝180°—2x＋y，即4x—5y＝180°．所以4∠DOE－5∠AOF＝180°．A级1．72°2．10450°提示：一共有10个角，其中∠AOE＝90°，∠BOD＝45°，∠AOB十∠BOE＝90°，∠AOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠DOE＝90°，∠BOC＋∠COD＝45°．故这10个角的度数和为90°×4＋45°×2＝360°＋90＝450°．3．304．6提示：∠AOC和∠BOC，∠AOD和∠BOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE和∠DOE，∠AOE和∠COD，∠AOD和∠COE．5．B6．A7．C8．B9．114°提示：设∠AOC＝x°，是∠BOC＝2x°，∠AOD＝(x)°，∠COD＝(x)°，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝114°10．设∠AOD＝∠BOD＝x，则∠BOC＝180°—2x．又∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180°－2x)．又∵∠BOD＋∠BOE＝∠DOE＝72°，∴x＋(180°－2x)＝72°，解得x＝36°．则∠EOC＝∠BOC＝(180°—2x)＝72°．11．（1）如图①，若OD在∠A′OB内时，∵∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COE＝∠DOE＝∠COD＝30°，∴∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝70°．（2）如图②，若OD在∠AOB′内时，同理，∠AOC＝40°，∠OOE＝30°，∴∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10°．综上所述：∠AOE＝70°或10°．12．（1）共有：4＋3＋2＋l＝10个角．（2）∠AOE＝80°．（3）所有锐角度数和为：416°．B级1．50°2．345°3．154．64°提示：设∠EOF＝∠COF＝x，则∠AOE＝2x．∴∠BOC＝∠AOC＝2x＋x＋x＝4x，∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝2x，又∵∠FOD＝∠FOC＋∠COD＝x＋2x＝3x＝24°，x＝80°，∴∠AOB＝8x＝64°．5．D6．D沿AB对折，上下图形能够完全重合，则∠1＋∠9＝∠4＋∠8＝∠2＋∠6＝90°．7．B8．D9．提示：∠COE＋∠BOE＝90°，∠DOF＝45°，∠AOF＋∠BOD＝135°．10．由题中条件知∠A3OA2—∠A2OA1＝2°①，∠A4OA3—∠A3OA2＝2°②，∠A5OA4—∠A4OA3＝2°③，…，∠A11OA10－∠A10OA9＝2°⑨，以上9个等式相加得∠A11OA10—∠A2OA1＝9×2°＝18°．.即∠A11OA10＝∠A2OA1＋18°．由题设知，∠A1OA11＝∠A2OA1＋∠A3OA2＋∠A4OA3＋…＋∠A11OA10＝(∠A2OA1＋∠A11OA10)×10＝180°．∴∠A2OA1＋∠A11OA10＝36°，∴∠A11OA10＝27°．11．经过x秒时，OA与OB第一次垂直．由(6－0.1)x＝90得x＝15．专题24相交线与平行线阅读与思考在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行.当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键．两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据．1．平行线的判定(1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行；(2)平行于同一直线的两条直线平行；(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．2．平行线的性质(1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行；(2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；(3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直.熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】(1)如图①，AB∥DE，∠ABC＝，∠CDE＝，则∠BCD＝__________.（安徽省中考试题）(2)如图②，已知直线AB∥CD，∠C＝，∠A＝，则∠E＝___________.（浙江省杭州市中考试题）DECDECAB图1解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解.【例2】如图，平行直线AB，CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有()．A．4对B．8对C．12对D．16对（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手．例2题图例3题图【例3】如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，求证：∠EDF＝∠BDF.（天津市竞赛试题）解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形．【例4】如图，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠FCF＝∠ECD.求证：∠AFC＝∠AEC.（湖北省武汉市竞赛试题）解题思路：分别过点E，F作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系.FAFABC1DE2例4题图例5题图【例5】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F.解题思路：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，是解这类问题的基本思路.【例6】(1)已知平面内有4条直线a，b，c和d，直线a，b和c相交于一点，直线b，c和d也相交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由．(2)作第5条直线e与(1)中的直线d平行.说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：(1)先设直线a，b，c的交点为P，直线b，c，d的交点为Q，证得P与Q实为同一点，得出结论．(2)绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质.能力训练A级1．在同一平面内有，，…，十条直线，如果//，⊥，//，⊥，//，⊥，…，那么与的位置关系是____________.2．如图，已知AE∥BD，∠1＝，∠2＝，则∠C＝__________．（湖南省常德市中考试题）3．如图，直线a，b都与直线c相交，下列命题中，能判断a∥b的条件是_____________（把你认为正确的序号填在横线上）①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝．（陕西省中考试题）4.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2__________.（山东省烟台市中考试题）5．下面四个命题中正确的是()．A．相等的两个角是对顶角B．和等于的两个角互为邻补角C．连结两点的最短线是过这两点的直线D．两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直（“希望杯”邀请赛试题）6．下列命题①两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直．②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等．③两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直．④两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直．其中正确的有()．A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中与∠BFE相等的角(不包括∠BFE)的个数是()．A.2B．4C．5D．6（山东省菏泽地区中考试题）8．如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上，设与∠ɑ相等的角的个数为m（不包括∠a本身），与∠互补的角的个数为n．若a≠，则m＋n的值是()．A.8B.9C.10D.119．如图，已知AB∥ED，∠NCB＝，CM平分∠BCE，CN⊥CM，求∠B的度数．10.如图，已知E是AB，CD外一点，∠D＝∠B＋∠E，求证：AB∥CD.11.平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？（吉林省竞赛试题）12.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB//GF.（重庆市竞赛试题）B级1.如图，∠A＝，∠1＝∠2，则∠ADC的度数是___________.2．如图，直线a∥b，那么的度数是____________.（五城市联赛试题）3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置，若∠EFB＝，则∠AED'＝__________.（山东省中考试题）4．如图，已知DE∥BC，∠2＝，∠1＝，那∠EBA的度数是_____________.第4题图第5题图5.如图，直线∥，∠4－∠3＝∠3－∠2＝∠2一∠3＝d＞0．其中∠3＜，∠1＝，则∠4最大可能的整数值是()．A.1070B．1080C．1090D．11006.如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC＋∠ACE＋∠CEH等于()．A．1800B．2700C．3600D．4500(北京市竞赛试题）7．如图，两直线AB，CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝()．A．6300B.7200C．8000D.9000（“希望杯”邀请赛试题）第6题图第7题图8．两条直线a，b互相平行，直线a上顺次有10个点A1，A2…，A10，直线b上顺次有9个点B1，B2，…，B3，将a上每一个点与b上每一个点相连可得线段．若没有三条线段相交于同一点，则这些线段的交点个数是()A.90B.1620C.6480D.20069．如图，已知两条平行线AB，CD被直线EF所截，交点分别为G，H，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，求证：∠HOP＝∠AGF－∠HPO.10．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD.求FC的长．(2013年“《数学周报》”杯竞赛试题)11．平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于260．（莫斯科八年级竞赛试题）12．⑴如图①，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝_________.如图②，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝_________.如图③，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝_________.如图④，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A