2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题13 三角形的基本知识含答案

2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题13三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.【例4】在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A，∠C用∠B的代数式表示，建立关于∠B的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】（1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm的铁丝，要截成小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为，，，且，由条件及三角形三边关系定理可确定的取值范围，从而可以确定整数的值.对于（2），因段之和为定值150cm，故欲使尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A级1.设，，是△ABC的三边，化简=____________.2.三角形的三边分别为3，，8，则的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________.（“缙云杯“试题）（第4题）（第5题）（第6题）5.如图，已知AB∥CD，GM，HM分别是∠AGH，∠CHG的角平分线，那么∠GMH=_________.（第7题）（第9题）6.如图，△ABC中，两外角平分线交于点E，则∠BEC等于（）A.B.C.D.7.如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H.下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①②③D.①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）A.6个B.7个C.8个D.9个如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）A.∠A=∠1+∠2B.∠A=（∠1+∠2）C.∠A=（∠1+∠2）D.∠A=（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满足上述条件的三角形的个数是（）A.1个B.3个C.5个D.7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.（河南省竞赛试题）12.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小.（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC.图1图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上.（1）证明：AB+AE＞DB+DE；（2）证明：AB+AC＞DB+DC；（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论；（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）B级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B的最大值是，最小值是，则___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE=，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.（山东省竞赛试题）（第4题）（第5题）5.如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的大小是（）A.3°B.5°C.8°D.19.2°6.四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P.∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（）①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEB+∠PFC=136°.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④7.三角形的三角内角分别为，，，且，，则的取值范围是（）A.B.C.D.（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（）A.4个B.5个C.6个D.7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设，，均为自然数，满足且，试问以，，为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A为轴负半轴上一点，B为轴正半轴上一点，C（0，-2），D（-2，-2）.（1）求△BCD的面积；（2）如图2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交轴于P，交BC于Q.求证：∠CPQ=∠CQP；（3）如图3，若∠ADC=∠DAC，点B在轴正半轴上运动，∠ACB的平分线交直线AD于E，DF∥AC交轴于F，FM平分∠DFC交DE于M，的值是否发生变化？证明你的结论.图1图2图313.如图1，，.且，满足.图1图2（1）求A，B的坐标；（2）C为轴正半轴上一动点，D为△BCO中∠BCO的外角平分线与∠COB的平分线的交点，问是否存在点C，使∠D=∠COB.若存在，求C点坐标；（3）如图2，C为轴正半轴上A的上方一动点，P为线段AB上一动点，连CP延长交轴于E，∠CAB和∠CEB平分线交于F，点C在运动过程中的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.专题13三角形的基本知识例1130°或50°例2B例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC例4设∠C＝x°，则∠A＝(x)°，∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－x°由∠A＜∠B＜∠C，得x＜180－x＜x．解得70＜x＜84．∵x是整数，∴x＝77．故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．例5（1）不妨设a＜b＜c，则由，得10＜c＜15．∵c是整数，∴c＝11，12，13，14．当c＝11时，b＝10，a＝9．当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值为10.共有以下7种方式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.例6解法1我们不妨先考察三角形内有1个点、2个点、3个点…的简单情况，有下表所示的关系：三角形内点数1234…连线得到的小三角形个数3579…不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017（个）.解法2整体核算法设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.A级1.2（b＋c）2.－5＜a＜－23.钝角4.180°5.90°6.C7.D8.B9.B10.B11.提示：过G作GH∥EB，可推得BE∥CF.12.（1）∠AMC＝（∠ABC＋∠ADC）＝×（24°＋42°）＝33°（2）∵AN、CN分别平分∠DAE，∠BCD，∴可设∠EAN＝∠DAB＝x，∠BCN＝∠DCN＝y，∴∠BAN＝180°－x，设BC与AN交于S，∴∠BSA＝∠CSN，∴180°－x＋∠B＝y＋∠ANC，①同理：180°－2x＋∠B＝2y＋∠D，②由①×2－②得：2∠ANC＝180°＋∠B＋∠D.∴∠ANC＝（180°＋24°＋42°）＝123°.13.（1）（2）略提示：（3）DA＋DB＞AB，DB＋DC＞DC，DC＋DA＞CA，将三个不等式相加，得2（DA＋DB＋DC）＞AB＋CB＋CA.（4）由（2）知AB＋AC＞DB＋DC，同理BC＋BA＞DC＋DA，CA＋CB＞DA＋DB，故AB＋BC＋CA＞DA＋DB＋DCB级1.82.193.175提示：设∠A＝（2x）°，∠B＝（5x）°，则∠C＝180°－（7x）°，由∠A≤∠C≤∠B得15≤x≤204.2a5.A6.D7.D8.B9.提示：设长度为4和12的高分别是边a，b上的，边c上的高为h，△ABC的面积为S，则，，，由得，故.10.711.设锐角三角形最小角的度数为x，最大角的度数为4x，另一角为y，则，解得20≤x≤22.5，故x＝20或21或22.所有锐角三角形的度数为：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°).12.（1）S△BCD＝2（2）略（3）设∠ABC＝x，则∠BCF＝90°＋x，可证：∠E＝x，∠DMF＝45°.∴专题14多边形的边与角阅读与思考主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：设两个凸多边形分别有，条边，分别引出，条对角线，由此得，方程组．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于的不等式，通过求解不等式逼近求解．【例3】凸边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求的值．（山东省竞赛试题）解题思路：利用边形内角和公式，以及边数为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出的值．【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH的八个内角都相等，边AB，BC，CD，DE，EF，FG的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．（全国通讯赛试题）解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．【例5】如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．能力训练A级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．（重庆市竞赛试题）第1题第1题第2题如图，凸四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别为3，4，12和13，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为＿＿＿．3．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．第3题第3题第4题第7题4．如图，ABCD是凸四边形，则的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．9条 B．8条 C．7条 D．6条（“祖冲之杯”邀请赛试题）6．—个凸边形的内角和小于1999°，那么的最大值是（）（全国初中联赛试题）A．11 B．12 C．13 D．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（）个角．A．5个 B．5个或3个C．5个或3个或4个 D．4个8．—个凸边形，除一个内角外，其余个内角的和为2400°，则的值是（）A．15 B．16 C．17 D．不能确定9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和DC的长．10．—个凸边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11．平面上有A，B，C，D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有—个三角形的内角不超过45°．（江苏省竞赛试题）12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．（安徽省中考试题）B级1．一个正边形恰好被正边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是＝4，＝8的情况），若＝10，则＝＿＿＿＿．第1题第1题第2题第3题2．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，FACD＝3，则BC＋DE＝＿＿＿＿．（北京市竞赛试题）3．如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸边形（≥5）的各边相交，则得到的个角的和等于＿＿＿＿．（第十二届“希望杯”邀请赛试题）4．如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝1，CD＝3，∠B＝135°，∠C＝90°，则∠D＝（）A．60° B．67.5° C．75° D．不能确定（重庆市竞赛试题）第4题第4题第5题5．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是（）A．70° B．110° C．140° D．150°6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（）A．12 B．12或13 C．14 D．14或15（江苏省竞赛试题）7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．（全国通讯赛试题）8．一块地能被块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知及地砖的边长都是整数，求的值．（上海市竞赛试题）设有一个边长为1的正三角形，记作A1如下左图，将A1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A2（如下中图）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如下右图）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，求A4的周长．（全国初中数学联赛试题）10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456…正多边形每个内角的度数60°90°（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．（陕西省中考试题）专题14多边形的边与角例157例2B例3n＝17提示：设此角为x，则（n－2）×180°＝x＋2570°，得，x＝130°，此时n＝17.例4双向延长AB，CD，EF，GH得四边形MNPQ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为，每一外角均为45°，因此MNPQ为长方形，△BPC，△DQE，△FMG，△ANH都是等腰直角三角形.设GH＝x，HA＝y，由MQ＝NP，得MF＋FE＋EQ＝NA＋AB＋BP，∴，∴.∵MN＝QP，∴x＝3＋2，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋2＋3－＝32＋.例5将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M点时走的总路程是180米.A级1.7；540°2.363.540°4.1＜x＜135.D6.C7.C8.A9.BC＝10，DC＝610.n＝611.提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面,必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n×108°=360°的n值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面.⑵⑶略.B级1.5 2.143.180°;(n－4)180° 4.B5.D 由OA=OB=OC得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\150°四种可能,设这些角的个数分别为x,y,z,w,则解得x=y=0,z=1,w=10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.8.n=3249.提示：从A1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的倍.10.(1)108°;120°;(2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则即.因k为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得n=3,4或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有一组∴符合条件的图形只有一种.专题15多边形的边与角阅读与思考两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：例题与求解【例1】考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个（山东省竞赛试题）解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例．【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．（第十六届江苏省竞赛试题）解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠PAQ＝90°．【例3】如图，已知为AD为△ABC的中线，求证：AD＜．（陕西省中考试题）解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB，AC，AD集中到同一个三角形中，从构造2AD入手．【例4】如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E．求证：AB＝AC＋BD．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要证明FB＝BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等．【例5】如图1，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图2，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图3，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图4，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图1图1图2图3图4（台州市中考试题）解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE≌△CAF应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．【例6】如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝105°，∠ABC＝∠ADC＝45°．求证：CD＝AB．（天津市竞赛试题）解题思路：由已知易得∠CAB＝30°，∠GAC＝75°，∠DCA＝60°，∠ACB＋∠DAC＝180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．能力训练A级1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC︰DB＝3︰5，则点D到AB的距离是＿＿＿＿．第1题第1题第2题第3题第4题2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B，C作经过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝3cm，CE＝4cm，则DE＝＿＿＿＿．3．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外的等腰直角三角形，CE和BF相交于O，则∠EOB＝＿＿＿＿．4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD．有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）（天津市中考试题）5．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则（）A．△ABD≌△AFD B．△AFE≌△ADCC．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE第5题第5题第6题第7题6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm7．如图，从下列四个条件：①BC＝B'C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（北京市东城区中考试题）8．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，且BF＝AC．（1）求证：ED平分∠FEC；（2）如图2，若△ABC中，∠C为钝角，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明．图1图1图29．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，连AD，M为AD中点，连OM．（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．图1图1图210．如图，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M．求证：∠M＝．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，P为BE，CD的交点．求证：BD＋CE＝BC．12．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．（日照市中考试题）B级1．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝＿＿＿＿．（武汉市竞赛试题）2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是＿＿＿＿．（“希望杯”竞赛试题）第2题第2题第3题第4题第5题3．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分线，P是AD上任意一点，在ABAC与BPPC两式中，较大的一个是＿＿＿＿．4．如图，已知AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对5．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，则（）A．BE＋CF＞EF B．BE＋CF＝EFC．BE＋CF＜EF D．BE＋CF与的大小关系不确定（第十五届江苏省竞赛试题）6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）A．相等 B．不相等 C．互余 D.互补或相等（北京市竞赛试题）7．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（荆州市中考试题）8．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝，求∠ABC＋∠ADC的度数．（上海市竞赛试题）9．在四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝6，且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问与的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画出图形并证明你的结论．（河北省竞赛试题）10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE：分别平分∠BAC，∠ACB．求证：AC＝AE＋CD．（武汉市选拔赛试题）11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AP，CQ分别平分∠BAC，∠BCA．AP交CQ于I，连PQ．求证：为定值．12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD丄MN于O，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD＋BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝ADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．（海口市中考试题）图1图1图3图213．CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图1图1图2图3（台州市中考试题）