5.1 常量与变量（解析版）

5.1常量与变量1.了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在.2.能在简单的过程中辨别常量与变量.知识点一常量和变量在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量.注意：变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变；“常量”是已知数,是指在整个变化过程中保持不变的量,不能认为式中出现的字母就是变量,如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量;判断一个量是不是变量,关键是看在变化过程中其数值是否发生变化;变量、常量与字母的指数没有关系,如S=r²中,变量是“S和“r”（不能说r²）,常量是“n”.指出一个变化过程中的常量时,必须连同它前面的符号一起写出.即学即练球的体积是M，球的半径为R，则M=43πRA．变量是M，R；常量是43π B．变量是R，π；常量是C．变量是M，π；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是M【答案】A【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，根据常量和变量的概念解答即可．【详解】球的体积是M，球的半径为R，则M=4其中变量是M，R；常量是43故选：A．【点睛】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．题型1常量与变量例1每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中，是常量，是变量．【答案】电影票的售价电影票的张数，票房收入．【分析】根据常量，变量的定义进行填空即可．【详解】解：常量是电影票的售价，变量是电影票的张数，票房收入，故答案为电影票的售价；电影票的张数，票房收入．【点睛】本题考查了常量和变量，掌握常量和变量的定义是解题的关键．举一反三1购买单价为每支2元的圆珠笔，总金额y（元）与铅笔数n（支）的关系式可表示为y=，其中，是变量．【答案】2nn、y【分析】由总价等于单价乘以数量可得函数解析式，从而可得答案．【详解】解：由题意得：y=2n.其中n是自变量，y是因变量．故答案为：2n【点睛】本题考查的是函数的定义，考查对变量的理解，掌握以上知识是解题的关键．举一反三2（2022秋·安徽·八年级期末）下图是某地区一天的气温随时间变化的图象：(1)图中的变量是什么？(2)气温在哪段时间是下降的？(3)最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？【答案】(1)时间t小时与温度T°C；(2)0≤t≤4或14≤t≤22时间内(3)最高温度8°C，最低温度为-2°C【分析】（1）根据横轴与纵轴得出变量；（2）根据图像从左上到右下变化为下降，找出图像上起点与终点即可；（3）从函数图像找出最高点的纵坐标，与最低点的纵坐标即可【详解】（1）解：图中的变量是时间t小时与温度T°C；（2）解：在0≤t≤4或14≤t≤22时间内温度下降；（3）最高温度8°C，最低温度为-2°C【点睛】本题考查函数图像获取信息与处理信息，变量与常量，图像的下降变化范围，最值，掌握从函数图像获取信息与处理信息方法是解题关键，题型2用表格表示变量间的关系例2小颖在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度的关系的一些数据并制成如下表格，则下列说法错误的是：温度声速A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．在范围内，温度越高，声速越快C．温度每开高，声速提高D．当空气温度为时，声音在内可传传【答案】C【分析】根据函数的含义和表格中给出的规律逐项分析即可．【详解】解：A、温度的变化决定了声速的变化，故正确，不符合题意；B、由表中的数据分析可知，在范围内，声速随着温度的增加而加快，故正确，不符合题意；C、由表中的数据分析可知，温度每升高10°C，声速提高，故错误，符合题意；D、当空气温度为时，声音在内可传播，故正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查函数的表示方法，正确分析表中各数据反映出的规律是解题关键．举一反三1弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量之间有如下关系（其中）0123451010.51111.51212.5下列说法不正确的是（

）A．与都是变量，且是自变量，是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为C．所挂物体质量每增加，弹簧长度增加D．所挂物体质量为时，弹簧长度为【答案】D【分析】根据变量与常量，用表格表示变量之间的关系，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可．【详解】解：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此该选项不符合题意；B．弹簧不挂重物时的长度，即当时y的值，此时，是正确的，因此该选项不符合题意；C．物体质量x每增加，弹簧长度增加，是正确的，因此该选项不符合题意；D．根据物体质量x每增加，弹簧长度增加，可得出所挂物体质量为时，弹簧长度为，原选项错误，因此该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键．举一反三2某水果店每天售出某种水果的数量（单位：千克）与该水果的售价（单位：元/千克）之间的关系如下表所示，由表可知，当售价为2.2元/千克时，每天能售出千克．售价（元/千克）1.51.61.71.81.92.0…数量（千克）201918171615…【答案】13【分析】根据表格中的数据可知：售价每增加元/千克，数量就减少1千克，据此列式解答即可．【详解】解：由表可知，当售价为2.2元/千克时，每天能售出（千克）；故答案为：13．【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，得出售价每增加元/千克，数量就减少1千克是解题的关键．题型3用关系式表示变量间的关系例3在圆的面积计算公式中，表示半径，则变量是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查常量与变量，在圆的面积计算公式中，π是圆周率，是常数，变量为S，r．解题关键是熟练掌握圆的面积S随半径的变化而变化．【详解】在圆的面积计算公式中，π是圆周率，是常数，变量为S，r．故选：B．举一反三1一列火车从A站行驶3公里到B处以后，以每小时120公里的速度前进．则离开B处t小时后，火车离A站的路程s与时间t的关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是理解路程、速度、时间之间的关系．【详解】解：火车离A站的距离等于先行的3公里，加上后来t小时行驶的距离可得：，故选：A．举一反三2某超市销售一种饮料，每瓶进价为3元，当售价为5元时，每天可卖出100瓶，据调查若每瓶售价每涨0.5元，每天销量减少5瓶．设每瓶定价为x元，每天利润为y元，则下列表达式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了列函数表达式．设每瓶定价为元，根据题意表示出每瓶利润，日销售量，根据等量关系列出表达式即可．【详解】解：设每瓶定价为元，则每天可卖出瓶，根据题意得：，故选：B．题型4用图象表示变量间的关系例4在年的卡塔尔世界杯中，阿根廷守门员马丁内斯表现突出，他大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致是如图中的（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案【详解】解：足球守门员马丁内斯大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，即高度h先越来越大，再越来越小，故选：A．【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解题关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．举一反三1水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】判断各容器的水的高度随时间上升的快慢进行判断即可．【详解】解：根据图象，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，选项A、B、C中容器上下粗细均匀，水的高度随滴水时间变化，上升速度一致，不符合题意；选项D中容器下细上粗，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，从图象中得到水的高度随时间上升的快慢以及各容器的结构是解答的关键．举一反三2如图，一个动点P从点A出发，沿着弧线，线段，匀速运动到A，当点P运动的时间为t时，的长为s，则s与t的关系可以用图象大致表示为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分别判断出点P在弧线上时，点P在线段上时，点P在线段上时，的变化情况，然后可得答案．【详解】解：点P在弧线上时，的长不变；当点P在线段上运动时，的长逐渐变小；当点P在线段上运动时，的长逐渐变大；所以D选项的图象符合．故选：D．【点睛】本题考查了用图象表示变量间的关系，理清点P在各边时长度的变化情况是解题的关键．一、单选题1．如图是梦梦在超市购买苹果的销售标签，则在单价、重量、总价的关系中，常量是（

）苹果单价：5.60元/千克重量：2.8千克总价：15.68元A．单价 B．重量 C．总价 D．重量和总价【答案】A【分析】本题考查了常量与变量，理解保持不变的量称为常量，是解题的关键．【详解】解：由于重量与总价是一个量随另一个量的变化而变化的，只有单价是不变的，所以单价5.60元/千克是常量．故选：A．2．圆的周长C厘米与圆的半径r厘米之间的关系式为，在这个关系中，变量为(

)A．C，π，r B．π，r C．C，π D．C，r【答案】D【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，由此即可判断．【详解】解：圆的周长公式是：，那么在这个公式中，变量是C，r．故选：D．【点睛】本题考查常量与变量，关键是掌握常量与变量的定义．3．刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（

）

A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量【答案】B【分析】根据常量和变量的定义即可求解．【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量，∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化，故选：B．【点睛】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．4．睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据分钟，浴缸水位上升，分钟，浴缸水位保持不变，分钟后，水位略下降，进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，分钟，浴缸水位上升，分钟，浴缸水位保持不变，分钟后，水位略下降，故选：C．【点睛】本题考查了用图象表示变量间的关系．解题的关键在于理解题意．5．下列各图象中，y不是x的函数的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由函数的概念可知，在变化过程两个变量x、y，如果给x一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数；接下来对题目中给出的四个选项的图象进行判断，即可得到y不是x的函数的图象．【详解】解：选项A，根据图象，当时，y有两个值与之对应，因此不是函数，符合题目要求．选项B、C、D，根据图象，每一个x的值，都有唯一的y值与之对应，因此是函数，不符合题目要求．故选：A．【点睛】本题考查的是函数的概念，掌握函数的概念是解决本题的关键，根据函数的定义可知x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，根据上述特点即可进行判断出正确选项．二、填空题6．一个弹簧秤不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：cm）与所挂重物质量（单位：kg）的函数解析式是．【答案】【分析】此题考查函数解析式问题．根据题意可知，弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系，从而可求解．【详解】解：由题意得，弹簧总长y（单位：）关于所挂重物x（单位：）的函数关系式为，故答案为：．7．如果每盒圆珠笔有12支，每盒的售价是18元，那么圆珠笔的总售价y（元）与数量x（支）之间的函数关系式为．【答案】【分析】本题主要考查用变量间的关系列函数关系式，解题的关键是找出等量关系．根据题意先求出圆珠笔的单价，根据售价的单价数量即可列出函数解析式；【详解】根据题意可知圆珠笔的单价为(元)，根据售价单价数量可得．故答案为：．8．声音在空气中的传播速度与温度的关系如下表所示：温度05101520传播速度331334337340343则传播速度与温度之间的关系式为．【答案】【分析】本题考查了函数关系式，分析表格中的数据可得温度每升高，声音的传播速度增快，由此即可得到答案．【详解】解：由表格的数据可得：温度每升高，声音的传播速度增快，传播速度与温度之间的关系式为，故答案为：．9．一水池现蓄水，用水管以的速度向水池中注水，则水池蓄水量与注水时间之间的函数关系式是．【答案】/【分析】本题考查了函数关系式，根据“水池蓄水量”“原有水量”和“注入水量”之间的关系进行解答即可．【详解】解：根据水池蓄水量等于原有水量加注入水量可得：，故答案为：．10．小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，如表是小明测得的弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的几组对应值．所挂物体质量012345弹簧长度151821242730请写出y与x的函数关系式为．（不需要考虑自变量x的取值范围）【答案】【分析】根据表格中，弹簧的起始长度为，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加，即可求出与的关系式．【详解】解：根据表格可知，物体质量每增加，长度增加了，，故答案为：．【点睛】本题考查了函数关系式，理解给定表格中各组数据的含义是解题的关键．三、问答题11．按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子…，其中餐桌的数量用（张）表示，椅子的数量用（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化．

(1)题中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)请写出椅子的数量（把）和餐桌的数量（张）之间的关系式；(3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人？请说明理由．【答案】(1)题中反映了餐桌的数量和椅子的数量之间的关系，其中餐桌的数量是自变量，椅子的数量是因变量(2)(3)不能刚好坐80人，理由见解析【分析】（