专题03 等式性质与不等式性质（3知识点+2题型+3考法）（原卷版）

等式性质与不等式性质常考题型比较大小（证明不等式）不等式性质等式性质题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与证明不等式考法1等式性质与不等式性质常考题型比较大小（证明不等式）不等式性质等式性质题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与证明不等式考法1：利用不等式性质比较大小考法2：利用不等式性质求取值范围考法3：不等式的实际应用知识点一：知识点一：等式性质1.等式的基本性质（1）如果a＝b，那么b＝a.（对称性）（2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c.（传递性）（3）如果a＝b，那么a±c＝b±c.（同加（减）性）（4）如果a＝b，那么ac＝bc.（同乘性）（5）如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).（同除性）知识点二、不等式性质知识点二、不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正知识点三：比较大小（证明不等式）知识点三：比较大小（证明不等式）（1）作差比较法①理论依据：②一般步骤：ⅰ）作差，ⅱ）变形，ⅲ）判号，ⅳ）作结论。③作差变形的常用方法：ⅰ）将差式因式分解；ⅱ）将差式根式有理化；ⅲ）将差式配方。（2）作商比较法①理论依据：设。②一般步骤：ⅰ）考查两个数是否为正；ⅱ）作商；ⅲ）变形；ⅳ）与1比较大小；ⅴ)作结论。③当时，也可以用作商比较法，但结论相反（3）介值比较法①理论依据：若，其中是的中介值②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个适当的中介值。（4）平方比较法①理论依据：若③平方比较法通常应用于无理式的大小比较，且多与作差比较法连用即平法过后作差。题型一：不等式性质的应用考法1：利用不等式性质比较大小解题思路：利用不等式性质比较大小方法（1）判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．（2）充分利用基本初等函数性质进行判断．（3）小题可以用特殊值法做快速判断．例1．下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（

）A．若且，则B．若，则C．若且，则D．若，则例4．下列结论不正确的有（

）个①若，则

②若，则③若，，则

④若，则A．1 B．2 C．3 D．4变式训练5．已知，则（

）A． B． C． D．6．若a，b，c为实数，且，则下列命题中正确的是（

）A． B． C． D．7．（多选题）对于实数，正确的命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则， D．若，，则8．（多选题）如果，则下列选项不正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．（多选题）实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．考法2：利用不等式性质求取值范围解题思路：利用不等式的性质求取值范围的方法(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．例1．（多选题）已知，，则下列正确的有（

）A． B．C． D．例2．已知函数，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例3．（多选题）已知，，则下列说法正确的是（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为变式训练4．（多选题）已知，则（

）A．的取值范围为（－5，0） B．的取值范围为（4，7）C．的取值范围为（2，5） D．的取值范围为（－6，－1）5．已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知，则的取值范围为_________7．（多选题）已知实数x，y满足，，则（

）A． B．C． D．8．已知实数满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．考法3：不等式的实际应用解题思路：(1）根据实际情况列出不等式，注意各元的取值范围，在利用不等式性质求解例1．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，下面能符合这一事实的不等式为（

）A． B． C． D．例2．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（

）A．妈妈 B．爸爸 C．一样 D．不确定变式训练3．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为，地板面积为，(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．4．一般的人，下半身长x与全身长y的比在0.57~0.6之间，这个比值越接近黄金分割值0.618就越美，为了追求这个比值，女土们穿高跟鞋，而芭蕾舞演员在表演时脚尖立起以美的享受，用来解释这种现象的数学关系式为.5．甲乙两车主约定好同时到同一加油站为自己的小车加同一标号的汽油，受国际油价影响，汽油的价格是变化的（不是常数），而他们的加油方式又不一样，甲车主每次总是加200元的油，乙车主每次加30升汽油，则甲乙两种加油方式相比更合算的是（

）A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定题型二：比较数（式）的大小与证明不等式解题思路：比较或者证明两个数或代数式的大小的三种方法（1）作差比较法①理论依据：②一般步骤：ⅰ）作差，ⅱ）变形，ⅲ）判号，ⅳ）作结论。③作差变形的常用方法：ⅰ）将差式因式分解；ⅱ）将差式根式有理化；ⅲ）将差式配方。（2）作商比较法①理论依据：设。②一般步骤：ⅰ）考查两个数是否为正；ⅱ）作商；ⅲ）变形；ⅳ）与1比较大小；ⅴ)作结论。③当时，也可以用作商比较法，但结论相反（3）介值比较法①理论依据：若，其中是的中介值②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个适当的中介值。（4）平方比较法①理论依据：若③平方比较法通常应用于无理式的大小比较，且多与作差比较法连用即平法过后作差。例1．设，，则有（

）A． B．C． D．例2．，，，下列选项正确的是（

）A． B． C． D．的大小无法确定例3．（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．变式训练4．已知，，，则（

）A． B． C． D．5．比较下列各组中两个代数式，满足的是（

）A．与B．与C．当时与D．与6．（1）求证：；（2）求证：.一、单选题1．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（

）A．20 B．22 C．26 D．284．已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（

）A． B．C． D．5．已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．若，且a≠b，则中的最大值是（

）A． B． C． D．7．已知实数x，y分别是方程的解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．已知，则（

）A． B． C． D．的大小无法确定二、多选题10．下列说法中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则11．已知实数x，y满足，，则（

）A． B． C． D．12．若实数a，b满足，则下列说法正确的有（

）A．的取值范围为 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是三、解答题13．“绿水青山就是金山银山”．随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，2018年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭．一段时间内，