4.3 相似三角形（分层练习）（解析版）

第4章相似三角形4.3相似三角形分层练习1．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（

）A．1 B． C． D．5【答案】C【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答．【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得解得，经检验，是分式方程的解且符合实际意义，即P点表示的数为．故选：C．【点睛】本题考查平行线和分式方程，根据平行线的性质列出方程，再进行解答即可．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把放大到原来的2倍，则点A的对应点为（

）A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】D【分析】连接AO到A1，使A1O=2OA，即可得到A的对应点A1，同法得到其余点的对应点，顺次连接，即可得到把△ABC放大到原来的2倍的△A1B1C1．【详解】解：如下图，连接AO并延长到A1，使A1O=2OA，即可得到A的对应点A1，即点A的对应点为G点，故选：D．【点睛】本题考查了作图-位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．3．（2023秋·九年级课时练习）如图，，且，则与的相似比为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两个相似三角形的相似比等于这两个相似三角形的对应边的比，所以对于这道题，与的相似比只要找到即可．【详解】∵，∴，∴与的相似比为.故选项B正确.【点睛】此题考查的是相似三角形的相似比的概念，利用相似比是相似三角形的对应边的比，结合已知条件找到两条对应边的长度是关键．4．（2023春·八年级课时练习）如图，，，、分别交于点、，则图中相似的三角形有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据AB∥CD，AE∥FD可以判定图中所有的三角形相似，即可得出与△CEG相似的三角形．【详解】解：AB∥CD，AE∥FD∴△CEG∽△BAG，△CEG∽△CDH，∵△BFH∽△CDH，∴△CEG∽△BFH，∴与△CEG相似三角形有3对．故选B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的传递性，本题中求证△BFH∽△CDH三角形相似是解题的关键．5．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是．【答案】【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可．【详解】∵是斜边上的高，于点，∴，，在和中，∵，∴；在和中，∵，∴；∵，∴，∴；∵，，∴，在和中，，∴；∴图中与相似的三角形有个．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．6．（2022秋·九年级课时练习）ΔABC与△DEF中，，，，，，，，，，，则△DEF与△ABC【答案】相似【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可.【详解】∵，，∴∠C=180°-65°-42°=73°.∵，，∴∠A=∠D,∠C=∠F,∴△DEF与△ABC相似.故答案为相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.7．（2020秋·九年级课时练习）如图：点是的斜边上不与、重合的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与原相似，这样的直线共有条．【答案】【分析】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似，根据这个知识点作线即可.【详解】当过点M的直线平行于AB和AC时，所截的三角形与△ABC相似，当过M的直线垂直于AC时也相似，所以这样的直线共有三条.【点睛】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似.8．（2020秋·九年级课时练习）如图，E为▱ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有个．【答案】2【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得对边分别平行；根据平行于三角形的一边的直线截三角形的另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可得△ABF∽△ECF，△ECF∽△EDA，根据相似三角形的传递性即可求得．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AD∥BC,∴△ABF∽△ECF，△ECF∽△EDA，∴△ABF∽△EDA，∴与△ABF相似的三角形共有2个.故答案为2.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定.相似三角形的判定方法有：①对应角相等、对应边成比例；②平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似；③两角对应相等，两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；⑤三边对应成比例，两个三角形相似.9．（2023春·八年级课时练习）如图，AB、CD相交于点0，AO=4，BO=2，CO=6，OD=3，则△AOD与△COB相似吗?为什么?

【答案】不相似【分析】根据“两边及其夹角法”(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)进行证明.【详解】解:△AOD与△COB不相似.理由如下:∵AO=4，BO=2，CO=6，OD=3，∴AO:CO≠DO:BO,∴△AOD与△COB不相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似.10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．【答案】△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，证明见解析.【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有3对相似三角形；可以利用相似三角形的判定定理两组角对应相等的两个三角形相似来证明△AMF∽△BGM．【详解】图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM．以下证明△AMF∽△BGM．∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解答此题，要找出对应角相等来证明三角形相似．1．（2023·辽宁鞍山·校考一模）已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．【详解】如图，点E即为所求作的点．故选A．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】关键平行四边形性质可得，，故，，，，可得相似三角形.【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，所以，，，，所以，.故选B.【点睛】考核知识点：相似三角形的条件.利用平行四边形性质求出对应角的关系是关键.3．（2023春·八年级单元测试）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，且AP=2.8，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B【分析】分三种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到不同的剪法．【详解】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，故选B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB【答案】D【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE与△DCB不相似；正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；故选D．【点睛】考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．5．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，连接，过点G作于点T，然后设，，，，得出，由翻折的性质知，，，求出，接着推出，求出，，最后利用勾股定理求出，即可得出结果．【详解】如图，连接，过点G作于点T，设，，，设，则，点E是AD中点，，由翻折的性质知，，，，，，，，C，，共线，，，，，（舍去）或，，四边形是矩形，，，，，．故答案为：C．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分段成比例及勾股定理等知识，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．6．（2023春·湖北随州·九年级统考阶段练习）如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处，设，（1）若点恰为边的中点，则．（2）设，则关于的函数表达式是．【答案】2【分析】（1）根据折叠和矩形的性质，证出AF=AB=CD，由点B恰好落在CD边上的中点F处，得出DF=AF，得∠DAF=30°，再求出∠CFE=∠DAF=30°，即可得答案；（2）先证△AFD∽△FEC，得，由AB=AF=CD，BE=EF，得，，由，，得=x-1，可得答案．【详解】解：（1）由折叠，得AF=AB，BE=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠D=90°，∠C=90°，∵点B恰好落在CD边上的中点F处，∴DF=CD=AB=AF，在Rt△ADF中，由DF=AF，得∠DAF=30°，∵∠DAF+∠AFD=90°，∠AFD+∠CFE=90°，∴∠CFE=∠DAF=30°，所以在Rt△ECF中，，∴，∴x=2；（2）∵△AFE是由△ABE折叠而来的，∴△AFE≌△ABE，∴BE=EF，AB=AF=CD，∵∠EFC+∠AFD=90°，∠EFC+∠FEC=90°，∴∠AFD=∠FEC，∵∠ADC=∠BCD，∴△AFD∽△FEC，∴，∴，∵AB=AF=CD，BE=EF，∴，∴，∵，，∴1+=x，∴=x-1，∴y=(x＞1)．【点睛】本题考查了折叠和矩形的性质，在直角三角形中，30°的角对的边是斜边的一半，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证三角形相似．7．（2023春·八年级课前预习）如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是．【答案】（答案不唯一，也可以增加条件：或）．【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似．【详解】若增加条件：∠ACD=∠ABC，∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键．8．（2023秋·九年级课前预习）如图，相似的正方形共有个，相似的三角形共有个．【答案】516【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答．【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似，故答案为：5，16．【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键．9．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，在矩形中，，若分别是边上的动点，且，与交于点，连接．则的最小值为．

【答案】2【分析】通过证明相似得出，再确定点是在以为直径的上，进而确定当在同一直线上时，最小，再用直角三角形的性质和勾股定理求解即可.【详解】解：取的中点，连结，如图所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的中点，∴，在中，，∵，∴点在以为直径的上，∴，∴当在同一直线上时，最小，的最小值为：，故答案为：2.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，矩形的性质和直角三角形的性质，确定点在以为直径的上是解题的关键.10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．【答案】证明见解析.【分析】由∠BAE=∠CAD知∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，再根据线段的长得出，据此即可得证．【详解】∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，∴，∴△ABC∽△AED．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．（1）在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．（2）证明：△ABC∽△BDC．【答案】（1）见解析（2）证明见解析【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为AB的垂直平分线；（2）由线段垂直平分线的性质，得DA=DB，则∠ABD=∠BAC=40°，从而求得∠CBD=40°，即可证出△ABC∽△BDC．【详解】（1）如图，DE即为所求；（2）∵DE是AB的垂直平分线，∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝80°﹣40°＝40°，∴∠DBC＝∠BAC，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC．【点睛】本题考查了作图——基本作图，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质与判定定理是解题的关键.12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在

△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请证明你写出的两对相似三角形.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）∠BAD=∠CAE，在此等式两边各加∠DAC，可证∠BAC=∠DAE，再结合已知中的∠ABC=∠ADE，可证△ABC∽△ADE；利用△ABC∽△ADE，可得AB：AD=AC：AE，再结合∠BAD=∠CAE，也可证△BAD∽△CAE．【详解】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）①证△ABC∽△ADE，∵∠BAD=∠CAE，∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．②证△ABD∽△ACE，∵△ABC∽△ADE，∴．又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题利用了等量加等量和相等、相似三角形的判定和性质．13．（2023春·江苏常州·八年级期中）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，若BE=4，CE=2，求CD：BF；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，猜想∠BEC与∠A的数量关系；并说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠A=60°，试说明：BC=BF+CD．【答案】（1）1:2（2）∠BEC=90°+∠A（3）证明见解析【分析】（1）根据∠BEF=∠CED，∠BFE=∠CDE=90°可证明△BEF∽△CED，根据相似三角形的性质即可得答案；（2）根据角平分线的性质得到∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，根据三角形内角和定理即可得到结论；（3）在BC上截取BM=BF，连接EM，根据SAS可证明△BEF≌△BEM，可得∠BEF=∠BEM，由（2）可得∠BEC=120°，即可证∠∠BEF=∠BEM=∠CEM=∠CED=60°，即可证明△CEM≌△CED，进而可得CD=CM，即可证明BC=BF+CD.【详解】（1）∵∠BEF=∠CED，∠BFE=∠CDE=90°，∴△BEF∽△CED，∴∵BE=4，CE=2，∴CD：BF=1：2.（2）∠BEC=90°+∠A；理由如下：∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠BEC=180°-(∠ABC+∠ACB)，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠BEC=180°-（180°-∠A）=90°+∠A.（3）如图：在BC上截取BM=BF，连接EM，∵∠A=60°，∴由（2）可知∠BEC=90°+∠A=120°，∴∠BEF=60°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠EBM，∵BF=BM，∠FBE=∠EBM，BE=BE，∴△BEF≌△BEM（SAS），∴∠BEM=∠BEF=60°，∴∠CEM=60°，∴∠CED=∠CEN=60°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCE=∠MCE，∵∠CED=∠CEN=60°，CE=CE，∠DCE=∠MCE，∴△CEM≌△CED（ASA），∴CD=CM，∴BC=BM+CM=BF+CD.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，熟练掌握判定定理并正确作出辅助线构建全等三角形是解题关键.14．（2023·浙江·一模）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请用无刻度