北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题16难点探究专题：全等三角形中的动态问题(原卷版+解析)(3大动态)

专题16难点探究专题：全等三角形中的动态问题【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】 1【考点二利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】 7【考点三全等三角形中的动点综合问题】 13【典型例题】【考点一利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】例题：（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，当点P运动___________秒时，和全等．【变式训练】1．（2022·江苏·景山中学七年级期末）如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点从点出发以2cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．2．（2022·八年级单元测试）如图,在中,．点在直线上,动点从点出发沿的路径向终点运动;动点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以每秒和的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,分别过点和作直线于直线于．当点运动时间为___________秒时,与全等．3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．4．（2023春·七年级课时练习）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．(1)求证：；(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．【考点二利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】例题：（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为________．【变式训练】1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在等边中，是的平分线，点是的中点，点是上的一个动点，连接，，当的值最小时，的度数为__________．2．（2023春·七年级课时练习）如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则_____．4．（2023春·七年级课时练习）如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______．【考点三全等三角形中的动点综合问题】例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．【变式训练】1．（2022秋·江西新余·八年级校考阶段练习）等腰直角三角形ABC中，，，P为射线BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，使，连接CD．(1)如图①，当点P在线段BC上时，求证：；(2)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出线段BP和CD的数量关系与位置关系．2．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点是直线上的一动点（不和重合），于，交直线于．(1)当点在边上时，①证明：；②证明：；(2)点在的延长线上时，请你探索这三条线段之间的数量关系，画出图形并证明你的结论．3．（2022秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）如图，中，，E点为射线CB上一动点，连接AE，作且．(1)①如图1，过F点作交AC于D点，求证：；②如图2，在①的条件下，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：；(2)当直线BF与直线AC交于G点，若，请求出的值．专题16难点探究专题：全等三角形中的动态问题【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】 1【考点二利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】 7【考点三全等三角形中的动点综合问题】 13【典型例题】【考点一利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】例题：（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，当点P运动___________秒时，和全等．【答案】2或14##14或2【分析】分三种情况：点在上，点在上，点在上，分别进行求解即可．【详解】解：当点在上时，，，当时，，∴，当点在上时，不是直角三角形，∴和全等不可能成立，当点在上时，，，当时，，∴，故答案为：2或14．【点睛】本题考查全等三角形的判定．解题的关键是选择合适的方法证明三角形全等．【变式训练】1．（2022·江苏·景山中学七年级期末）如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点从点出发以2cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．【答案】0或2或4或6【解析】【分析】根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可．【详解】解：设点P的运动时间为t秒，由题意得：CP=2tcm，①当t=0时，即点C与点P重合，满足△ACB≌△NBP，②当点P在点B的左侧时，且满足AC=BP=2cm，∵，∴，∵CP=2tcm，∴，即，解得：；③当点P在点B的右侧时，且满足AC=BP=2cm，则，∴，即，解得：；④当点P在点B的右侧时，且满足BC=BP=6cm，则，∴，即，解得：；综上所述：当或0或4或6秒时，与全等．故答案为0或2或4或6．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2022·八年级单元测试）如图,在中,．点在直线上,动点从点出发沿的路径向终点运动;动点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以每秒和的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,分别过点和作直线于直线于．当点运动时间为___________秒时,与全等．【答案】2或6##6或2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：与全等，，，解得∶；如图2所示：点与点重合，与全等，，解得∶；故答案为∶或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．【答案】（1）见解析；（2）t=4或【分析】（1）利用直接证明△AED≌△AFD即可；（2）先求解再分三种情况讨论，①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，再利用全等三角形的对应边相等建立方程，解方程即可得到答案.【详解】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠BAD=∠CAD，AD=AD．∴△AED≌△AFD(AAS)．（2）∵△AED≌△AFD∴DE=DF，AF=AE=10．∴CF=6若△DEP与△DFQ全等，且DE=DF，∠DEP=∠DFQ=90°，∴EP=FQ，①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，∴EP=10﹣2t，FQ=6﹣t∴10﹣2t＝6﹣t，∴t=4；②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，∴EP=2t-10，FQ=6﹣t∴2t-10=6﹣t，∴t=

③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，∴EP=2t-10，FQ=t﹣6∴2t-10=t-6，∴t=4（不合题意，舍去）．综上所述，当t=4或时，△DEP与△DFQ全等．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，动态三角形全等问题，清晰的分类讨论是解题的关键.4．（2023春·七年级课时练习）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．(1)求证：；(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．【答案】(1)见解析(2)①；②存在，或【分析】（1）①先证Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，等量代换即可证明；（2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP与CQ的关系即可求解．【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，∴，在Rt△BDA和Rt△BDC中，∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），∴∠BAC＝∠BCA．∵AB平分∠MAN，∴∠BAM＝∠BAC，∴∠BAM＝∠BCA．（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．∵BH⊥AM，BD⊥AC，∴∠AHB＝∠ADB＝90°，在△AHB和△ADB中，∴△AHB≌△ADB（AAS），∴BH＝BD，∵S△ABP＝S△BQC，∴，∴，∴，∴．②存在，理由如下：当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，∵AB＝BC，又由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，∴，∴；当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，∴，∴．综上所述，当或时，△APB和△CQB全等．【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键．【考点二利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】例题：（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为________．【答案】【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案．【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，平分，，，∴，，，∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，，，即的最小值为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在等边中，是的平分线，点是的中点，点是上的一个动点，连接，，当的值最小时，的度数为__________．【答案】60°##60度【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠EPB＝60°，再通过△BPE≌△CPE得出∠EPC＝∠EPB＝60°．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，∴点D为AC的中点，BD⊥AC，∴点A、点C关于BD对称，如图，连接AE，交BD于P，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠PBE＝30°，∴∠BPE＝60°，∵在△BPE和△CPE中，，∴△BPE≌△CPE（SAS），∴∠EPC＝∠BPE＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．2．（2023春·七年级课时练习）如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．【答案】2【分析】连接，证明，得，从而点P在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题．【详解】解：连接,∵是等边三角形，∴，在和中，，∴,∴，∴，∴点P在射线上运动，∴当时，的值最小，∴故答案为：【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线上运动是解题的关键．3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则_____．【答案】【分析】作，交的延长线于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．【详解】解：作，交的延长线于H，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，设，则，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．4．（2023春·七年级课时练习）如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______．【答案】【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值．【详解】解：如图，取的中点G，连接，∵线段绕点逆时针旋转得到，∴，又∵是等边三角形，∴，即，∴，∵是等边三角形的高，∴，∴，又∵旋转到，∴，在和中，，∴（），∴，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，此时，∴，∴，∴．∴线段长度的最小值是．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．【考点三全等三角形中的动点综合问题】例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．【答案】(1)CE+CD=BC，证明见解析(2)CE=BC+CD，证明见解析(3)CE=4【解析】【分析】（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解决问题．(1)解：如图1，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD，(2)线段BC，CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-CD．理由：如图2中，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．(3)如图3，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∵CD=10，BC=6，∴DB=DC-BC=4，∴CE=4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．【变式训练】1．（2022秋·江西新余·八年级校考阶段练习）等腰直角三角形ABC中，，，P为射线BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，使，连接CD．(1)如图①，当点P在线段BC上时，求证：；(2)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出线段BP和CD的数量关系与位置关系．【答案】(1)见解析(2)；【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，用SAS即可进行证明；（2）证明，根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）解：∵在等腰直角三角形BAC与等腰直角三角形PAD中，·∴，∴在△CAD与△BAP中，∴．（2）∵在等腰直角三角形BAC与等腰直角三角形PAD中，·∴，∴在△CAD与△BAP中，∴，∴，∠PBA=∠DCA，∵∠PBA+∠BCA=90°，∴∠DCA+