北师大版七年级数学下册《同步考点解读-专题训练》专题1.4平方差公式(知识解读)(原卷版+解析)

专题1.4平方差公式（知识解读）【学习目标】1.掌握平方差公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差公式的逆运算解决问题【知识点梳理】知识1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2【典例分析】【考点1：平方差】【典例1】用平方差公式计算：（1）（1+x）（1﹣x）；（2）（a+3b）（a﹣3b）；（3）（3+2a）（3﹣2a）；（4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．【变式1-1】计算：（a﹣b）（a+b）．【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．【变式1-3】下列各式能用平方差公式计算的是（）A．（3x+5y）（3x﹣5y） B．（1﹣5x）（5x﹣1） C．（﹣x+2y）（x﹣2y） D．（x+y）（y+x）【典例2】若（3b+a）•（）＝a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（）A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a【变式2-1】（3x+4y）（3x﹣4y）的结果是哪两个数的平方差（）A．a，b B．x，y C．4y，3x D．3x，4y【变式2-2】若M（3a﹣b2）＝b4﹣9a2，那么代数式M应是（）A．﹣3a+b2 B．3a+b2 C．3a﹣b2 D．﹣3a﹣b2【典例3】用简便方法计算下列各题：（1）992；（2）1022﹣101×103．【变式3-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2×20212﹣1【变式3-2】简便计算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【考点2：平方差公式的几何背景】【典例4】【观察发现】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．【归纳结论】（1）上述操作，能验证的等式是；（直接写结果）【问题解决】利用（1）中的结论，计算：．【变式4-1】从图1到图2的变化过程可以发现的结论是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2【变式4-2】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．【变式4-3】如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝，S2＝；（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；（3）运用（2）中得到的公式，计算：20222﹣2021×2023．专题1.4平方差公式（知识解读）【学习目标】1.掌握平方差公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差公式的逆运算解决问题【知识点梳理】知识1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2【典例分析】【考点1：平方差】【典例1】用平方差公式计算：（1）（1+x）（1﹣x）；（2）（a+3b）（a﹣3b）；（3）（3+2a）（3﹣2a）；（4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．【解答】解：（1）原式＝1﹣x2；（2）原式＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2；（3）原式＝32﹣（2a）2＝9﹣4a2；（4）原式＝＝．【变式1-1】计算：（a﹣b）（a+b）．【解答】解：原式＝a2﹣b2．【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．【解答】解：（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2．【变式1-3】下列各式能用平方差公式计算的是（）A．（3x+5y）（3x﹣5y） B．（1﹣5x）（5x﹣1） C．（﹣x+2y）（x﹣2y） D．（x+y）（y+x）【答案】A【解答】解：A．（3x+5y）（3x﹣5y）＝9x2﹣25y2，故选项符合题意；B．（1﹣5x）（5x﹣1）＝﹣（1﹣5x）2＝﹣（1﹣10x+25x2）＝﹣1+10x﹣25x2，故选项不符合题意；C．（﹣x+2y）（x﹣2y）＝﹣（x﹣2y）2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣x2+4xy﹣4y2，故选项不符合题意；D．（x+y）（y+x）＝（x+y）2＝x2+2xy+y2，故选项不符合题意．故选：A．【典例2】若（3b+a）•（）＝a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（）A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a【答案】C【解答】解：∵a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）＝（3b+a）（﹣3b+a），故选：C．【变式2-1】（3x+4y）（3x﹣4y）的结果是哪两个数的平方差（）A．a，b B．x，y C．4y，3x D．3x，4y【答案】D【解答】解：（3x+4y）（3x﹣4y）＝（3x）2﹣（4y）2，故选：D．【变式2-2】若M（3a﹣b2）＝b4﹣9a2，那么代数式M应是（）A．﹣3a+b2 B．3a+b2 C．3a﹣b2 D．﹣3a﹣b2【答案】D【解答】解：M＝＝＝﹣b2﹣3a，故选：D．【典例3】用简便方法计算下列各题：（1）992；（2）1022﹣101×103．【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）2＝1002﹣2×100×1+1＝10000﹣200+1＝9801；（2）原式＝1022﹣（102﹣1）（102+1）＝1022﹣1022+1＝1．【变式3-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2×20212﹣1【答案】A【解答】解：原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．故选：A．【变式3-2】简便计算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【解答】（1）20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．（2）1882﹣376×88+882＝1882﹣2×188×88+882＝（188﹣88）2＝1002＝10000．【考点2：平方差公式的几何背景】【典例4】【观察发现】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．【归纳结论】（1）上述操作，能验证的等式是；（直接写结果）【问题解决】（2）利用（1）中的结论，计算：．【解答】解：（1）图①阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．【变式4-1】从图1到图2的变化过程可以发现的结论是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2【答案】A【解答】解：图1的面积为：（a+b）（a﹣b），图2的面积为：a2﹣b2．根据面积相等，可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故选：A．【变式4-2】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b．宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵a2﹣b2＝21，即（a+b）（a﹣b）＝21，而a﹣b＝3，∴a+b＝7；②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．【变式4-3】如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝，S2＝；（2）以