2024初一数学奥赛基础知识讲义

三元一次方程组分析：三元一次方程组转化消元转化消元消元消元一元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组二元一次方程组转化转化解：由（２）得：把（４）分别代入（1）、（3）得，由（6）得把（７）代入（５）得：把代入（７）得：把代入（4）得：∴9．字母系数的二元一次方程组（1）当为何值时，方程组有唯一的解分析：（2）×2：6x+2y=6(3)(3)-(1):(6-a)x=5当a≠6时，方程有唯一的解当为何值时，方程组有无穷多解分析：（1）×2：2x+4y=2(3)(3)-(2):(4-m)y=04-m=0即m=4，有无穷多解10．一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，若设的度数为x，的度数为y，则得到的方程组为A．B．C．D．11．为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同。第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍。为了计算两套楼房的面积，小亮设A套楼房的面积为x平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（）A．B．C．D．12．某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（千克）不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克价格6元5元4元张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？分析：由题意知，第一次购买香蕉数小于25千克，则单价分为两种情况进行讨论。解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克，由题意0<x<25，（1）当0<x≤20，y≤40时，由题意可得：，解得（2）当0<x≤20，y>40时，由题意可得：，解得(不合题意，舍去)（3）当20<x<25时，则25<y<30，由题意可得：，方程组无解由（1）（2）（3）可知，张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克。第十一讲：一元一次不等式一、知识链接：1．不等式的基本性质通过对比不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。若a>b，则a+c>b+c（a-c>b-c）。性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。若a>b且c>0，则ac>bc。性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。若a>b且c<0，则ac<bc。2．同解不等式如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。3．一元一次不等式的定义：像，等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。4．一元一次不等式的标准形式一元一次方程的标准形式：（）或（）。5．一元一次不等式组的解集确定若a>b则（1）当时，则，即“大大取大”（2）当时，则，即“小小取小”（3）当时，则，即“大小小大取中间”（4）当时，则无解，即“大大小小取不了”二、典型例题：1．下列关系不正确的是（）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则2．已知且，为任意有理数，下列式子中正确的是（）A．B．C．D．3．下列判断不正确的是（）A．若，，则B．若，则C．若，，则D．若，则4．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（）A、a≥0B、a≤0C、a＞0D、a＜05．解关于x的不等式解：6．解关于x的不等式。解：2-a>0，即a<2时，2-a<0，即a>2时，2-a=0，即a=2时，不等式即0x<3，不等式有任意解7．若不等式是同解不等式，求m的值。解：另解：因为方程3x-5=0的解是x=所以方程m(x-2)=x+1的解是x=将x=代入，解得m=-88．不等式组的解集为________________.解：9．若不等式组的解是x>3，则m的取值范围是（）A．B．C．D．分析：10．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．分析：不等式组可化为所以，解得：11．已知关于、的方程组的解适合不等式，求的取值范围.解法一：由方程组可得∴的取值范围是。解法二：（1）+（2）：2x-y=3a由题意：3a>1所以12．解下列不等式（1）（2）解：（1）不等式解集为：（2）不等式解集为思考题：解下列含绝对值的不等式。（1）（2）第十二讲：一元一次不等式（组）的应用一、能力要求：1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。3．能够用分类讨论思想解有关问题。4．能利用不等式解决实际问题二、典型例题1．m取什么样的负整数时，关于x的方程的解不小于－3.分析：解方程得：x=2m+2由题意：2m+2≥-3，所以m≥-2.5符合条件的m值为-1，-22．已知、满足且，求的取值范围.分析：解方程组得代入不等式，解得3．比较和的大小（作差法比大小）解：4．若方程组的解为x、y，且2<k<4，求x-y的取值范围。分析：用整体代入法更为简单5．取怎样的整数时，方程组的解满足.6．若2(a-3)＜，求不等式＜x-a的解集分析：解不等式2(a-3)＜得：a<由＜x-a得（a-5）x<-a因为a<所以a-5<0于是不等式＜x-a的解集为x>7．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.不等式的解的过程如下：解：根据题意，得eq\o\ac(○,1)或eq\o\ac(○,2)解不等式组eq\o\ac(○,1)，得；解不等式组eq\o\ac(○,2)，得所以原不等式的解为或请你按照上述方法求出不等式的解.分析：典型错误解法：由不等式得：或所以原不等式的解为或正确解法：由不等式得：或所以原不等式的解为或8．目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为和，请算一算，哪种对用户合算．解：若则解得：所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算。若则解得：所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同。若则解得：所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算。9．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？原料名称饮料名称甲乙A20克40克B30克20克分析：（1）据题意得：解不等式组，得因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。（2）由题意得：整理得：因为y随x的增大而减小，所以x=40时，成本额最低10．某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调器彩电冰箱工时（个）产值（万元/台）0.40.30.2问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？解：设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是台、台、台，设此时的产值为P万元。根据题意得：由（1）和（2）知……（5）把（5）代入（3）得：解得：＝＝要使P最大，只需最小当时P最大＝108－0.05×40＝106(万元)此时（台）（台）答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元第十三讲——方程与不等式的应用一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组是初一数学的重难点内容，也是数学学科的重要基础。本讲我们主要探究利用方程与不等式解决综合性问题，利用类比转化的思想研究不定方程（组）及含绝对值的一元一次方程问题。一、不等式与方程的综合题例1．已知关于x的方程组的解满足x＞y，求p的取值范围。解：（1）×3+（2）×（-2）：x=p+5，将x=p+5代入（1），得y=-p-7因为x＞y，所以p+5＞-p-7，解得p>-6另解：（整体代入）（2）-（1）：x+y=-2（3）把（3）代入（1），x=p+5，将x=p+5代入（1），得y=-p-7因为x＞y，所以p+5＞-p-7，解得p>-6例2．若，，、、皆为非负数，求的取值范围。解：（1）+（2）：4x+2y=80,y=40-2x（3）把（3）代入（1）：z=x-10（4）所以：M=-x+140即x=140-M（5）分别将（5）代入（3）（4）：解得所以二、不定方程（组）在实际生活中，我们还会遇到未知数的个数多于方程的个数的方程（组），这种方程（组）叫不定方程（组）不定方程或不定方程组若对解不加限制，则有无穷多个解，若对解加以限制，则不定方程（组）的解有三种可能：仍有无穷多解，只有有限个解、无解。我们常常研究不定方程（组）的整数解或正整数解的情况。例3．若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：设有只蟋蟀，只蜘蛛，则有：（称之为不定方程）……①下面求此方程的非负整数解由①得：……②∵∴∴用＝0，1，2，3，4，5代入②式：当＝0时，不为整数，舍去当＝1时，不为整数，舍去当＝2时，为非负整数，符合条件当＝3时，不为整数，舍去当＝4时，不为整数，舍去当＝5时，为非负整数，符合条件所以原不定方程的非负整数解为或例4．有一根长38米的铁丝，全部分成5米和3米长的铁丝，要求没有剩余，问有多少种不同的分法？解：设分成5米长的有条，分成3米长的有条，则有：（称之为不定方程）……①下面求此方程的非负整数解由①得：……②∵∴∴最大取7用＝0，1，2，3，4，5，6，7代入②式：当＝0时，不为整数，舍去当＝1时，为非负整数，符合条件当＝2时，不为整数，舍去当＝3时，不为整数，舍去当＝4时，为非负整数，符合条件当＝5时，不为整数，舍去当＝6时，不为整数，舍去当＝7时，为非负整数，符合条件所以原不定方程的非负整数解为，，例5．某人用15元钱买了20张邮票，其中有1元，8角，2角的邮票。问他可能有多少种不同的买法？解：设买一元邮票张，8角邮票张，2角邮票张。根据题意得：（此方程组称为不定方程组，即未知数的个数多于方程的个数）下面我们求此不定方程组的正整数解由（2）得：……（3）由（3）－（1）得：∵∴∴的最大整数取13经验证当＝1，4，7，10，13时，取正整数∴原方程组的正整数解为：，，，，所以共有5种不同的买法。三、含绝对值的一元一次方程：（一）形如方程的解法例6．解下列方程（1）解法1：（分类讨论）当5x-2>0时，即x>，5x-2=3，5x=5，x=1因为x=1符合大前提x>，所以此时方程的解是x=1当5x-2=0时，即x=，得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解当5x-2<0时，即x<，5x-2=-3，x=因为x=符合大前提x<，所以此时方程的解是x=综上，方程的解为x=1或x=注：求出x的值后应注意检验x是否符合条件解法2：（整体思想）联想：时，a=±3类比：，则5x-2=3或5x-2=-3解两个一元一次方程，方程的解为x=1或x=（2）解：即：所以，方程的解为x=6或x=-6例7．解方程解法1：当4x+20时，即x，4x+2=x-1，x=-1因为x=-1不符合大前提x>，所以此时方程无解当4x+2<0时，即x<，4x+2=x-1，x=因为x=不符合大前提x<，所以此时方程无解综上，原方程无解解法2：4x+2=x-1或4x+2=-1解得x=-1或x=因为x-10即x1所以原方程无解解法3：因为x-10即x1，此时4x+2>0所以4x+2=x-1，x=-1，不符合条件x1所以原方程无解例8解方程解：方法一：去掉绝对值符号，是解决这类问题的关键，而绝对值的中的代数式的值的正负性决定去掉绝对值后的形式，因而要分类讨论，两个绝对值分正负讨论，共有下面四中组合（1）且（2）且（3）且（4）且可见，即使不讨论绝对值等于0的情形，就已经很复杂。我们一般采用下面的方法（零点分段法）方法二：解：令解得：解得：表示－3和2的点把数轴分成三部分，如下图所示当时，，原方程可化为：解得：∵满足∴是原方程的一个解。当时，，原方程可化为：可化为：此方程无解当时，，原方程可化为：解得：∵满足∴是原方程的一个解。综上所述：原方程的解是或例9．解方程解法1：当时，原方程可化为：-（x-4）-(x+3)=7解得：x=-3，舍去当时，原方程可化为：-(x-4)+x+3=7即7=7所以当x>4时，原方程可化为x-4+x+3=7x=4舍去综上所述：原方程的解是解法2：利用绝对值与距离的关系即x与4的差的绝对值，它可以表示数轴上x与4之间的距离。即x与-3的差的绝对值，它可以表示数轴上x与-3之间的距离。因为-3与4之间的距离为7，所以当时，x与4之间的距离加上x与-3之间的距离等于7，所以原方程的解是第十四讲——含字母系数的一次不等式一元一次不等式（组）是我们熟知的内容，但对于含字母系数和含绝对值的不等式（组）还比较陌生，本讲我们将学习含字母系数的不等式（组）的解法。例1．解下列关于x的不等式（1）（2）解：（1）（2）因为所以因为所以所以例2．答案：（1）当时，此不等式解集为：（2）当时，此不等式解集为：（3）当时，原不等式可化为：，此时，原不等式无解。说明：解含字母系数的不等式欲解含数字系数的不等式的方法、步骤是一样的，所不同的是，前者在最后一步要根据题中附加条件、隐含条件去判断未知数系数的正负，从而确定不等号是否反向的问题。例3．下面四个结论中，正确的个数有（B）①，当时解为②，当时解为③，当时解集为④的解集是A．1个B．2个C．3个D．4个例4．（逆用不等式解集的定义）关于的不等式的解集有没有可能是（2）有没有可能是（3）有没有可能是分析：由得：（1）得：所以，没有可能；（2）得：所以，有可能；（3）得：所以，有可能；例5．讨论关于x的不等式的解的情况解：（3）（4）（5）类比：如何解关于x的不等式解：（1）（2）（3）（4）（5）思考：如何解关于x的不等式解：（1）（2）（3）（4）（5）例6．已知、是实数，若不等式和是同解不等式，则不等式的解是什么？解：解不等式，得由不等式得由题意解得：所以则：，因为a-4b>0所以得：例7.解关于解：（1）（2）（3）（4）（5）例8．如果适合不等式的正整数为1，2，3，那么k的取值范围是_______________.分析：解不等式得观察数轴得到所以第十五讲——含绝对值的一次不等式思考：联系你所学习的知识，试试你能解决下面的问题吗？（1）解关于的不等式（）（2）解关于的不等式（）例1．解下列不等式（1）（2）解：（1）当x>0时,x≤5，此时不等式的解集为0<x≤5；当x=0时，0≤5，此时x=0当x<0时,x≥-5，此时不等式的解集为-5≤x<0综上所述，不等式解集为：（2）当x>0时,x>2，此时不等式的解集为x>2当x=0时，0>2，此时不等式无解当x<0时,x<-2，此时不等式的解集为x<-2综上所述，不等式解集为：另解：我们还可以利用绝对值的几何意义得出上两题的解集。（1）不等式解集为：（2）不等式解集为说明：一般地，如果a>0，不等式的解集为x>a或x<-a，的解集为-a<x<a；如果a<0，不等式的解为有任意解，的解集为无解。例2．解下列含绝对值的不等式。（1）（2）（3）解：（1）当2x-1>0，即x>时,2x-1<3，x<2,此时不等式的解集为<x<2当2x-1=0,即x=时，0<3，此时x=当2x-1<0,即x<时,-(2x-1)<3，x>-1，此时不等式的解集为-1<x<综上所述，不等式解集为-1<x<2另解：因为，所以，解得说明：显然方法1较繁，方法2利用了绝对值的几何意义来解则十分简单。（2）当，即x>时,，,此时不等式的解集为当，即x=时,，此时不等式无解，当，即x<时,，,此时不等式的解集为综上所述，不等式解集为或另解：因为，所以或，解得不等式解集为或（3）由得当，即时，，，此时不等式的解集为当，即时，，此时当，即时，，，此时不等式的解集为综上所述，不等式解集为另解：由得，所以解得不等式解集为例3．解：当，即时，，，此时不等式的解集为当，即时，，此时当，即时，，，此时不等式的解集为综上所述，不等式解集为另解：由题意解得所以不等式解集为例4．解：当，即时，，，此时不等式无解当，即时，，此时不等式无解当，即时，，，此时不等式的解集为综上所述，不等式解集为例5．（利用“零点”分段法求解）解：当时，，，此时不等式无解当时，，，此时不等式解集为当时，，，此时不等式解集为综上所述，不等式解集为例6．解：当时，，，此时不等式解集为当时，，，此时不等式无解当时，，，此时不等式解集为综上所述，不等式解集为或另解：利用绝对值与距离的关系即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。即x与-1的差的绝对值，它可以表示数轴上x与-1之间的距离。因为-1与2之间的距离为3，所以当或时，x与2之间的距离加上x与-1之间的距离大于3，即原不等式的解集为或例7．解不等式组解：由（1）得：，即；由（2）得：或所以，原不等式组可化为两个不等式组：或解得原不等式组的解集为：或例8．解：当时，，，此时不等式无解当时，，，此时不等式解集为：当时，，，此时不等式解集为综上所述，不等式解集为初一数学竞赛培训第一讲：有理数的巧算方法一：把正、负数分别结合相加例1：计算：－25+29－26+17－33+34方法二：把相加得0的数分别结合相加例2：计算：=例3：计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+…+2005+2006-2007-2008+2009方法三：分数相加，凑整相加例4：计算：例5：计算：方法四：先适当变形，再结合相加例6：28+19-49-997+9996例7：11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999例8：方法五：巧添辅助数相加例9：或方法六：巧用和逆用乘法分配律例10：例11：第二讲有理数的运算要注意什么方法一：乘除做得好，需要讲技巧1.先观察有没有因数“0”2.先定、先写符号3.除法统一成乘法，小数化为分数，带分数化为假分数，然后整体运算4.运用乘法分配律简便运算方法二：混合运算要细心，顺序、符号要分清先看运算顺序：确定先算什么，后算什么，最好每一步用横线标记。其次看运算符号：(1)加减的符号：例：-8-6(2)乘除的符号：例：(3)幂的符号：例：与与一、要注意运算顺序：例1：计算：(1)(2)(3)(4)二、要注意运算符号：例2：计算：(1)(2)三、灵活运用运算律；(1)(2)(3)(4)第四讲有理数一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算：善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。三、例题示范1、数轴与大小例1.已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？例2.将这四个数按由小到大的顺序，用“”连结起来。提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。试确定三个数的大小关系。分析：由点B在A右边，知b-a0，而A、B都在原点左边，故abs0,又c10,故要比较的大小关系，只要比较分母的大小关系。在有理数a与b(ba)之间找出无数个有理数。提示：P=（n为大于是的自然数）注：P的表示方法不是唯一的。符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。3、算对与算巧计算123…200020012002提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)项数2。计算1+234+5+678+9+…2000+2001+2002提示：仿例5，造零。结论：2003。计算提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n1。计算提示：字母代数，整体化：令，则计算（1）；（2）提示：裂项相消。常用裂项关系式：（1）；（2）；（3）；（4）。例9计算（n为自然数）例10、计算1+2+22+23+…+22000提示：1、裂项相消：2n=2n+12n；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2SS=220011。例11、比较与2的大小。提示：错项相减：计算。第五讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999．例6计算103×97×10009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347．可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1)÷20=89.95．例12计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有S=500000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习：1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；(6)1+4+7+…+244；2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第六讲数学计算的智巧数学计算不仅要遵守四则运算法则，更重要的是要运用机智寻找到一种巧妙合理的算法.机智来自细心的观察和大胆的探索，因此在学习数学中要努力学会观察和分析，培养积极探索的精神.1．倒过来写例1求和1+2+3+…+999.分析在高速计算机上解决这个问题太容易了，但人不是计算机！你能找到一种巧妙的算法吗？观察公式:例2试证不等式.2.添加括号例3计算S=1-2+3-4+…+分析不难看出这个算式的规律——任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将1、2项，3、4项，…，分别编组的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯而取“加括号”之法得S=（1-2）+（3-4）+…+比“加括号”更一般的思想方法是“分组求和”.例4在七数-1，-2，-3，1，2，3，4中任选一个数、两个数手只、三个数的积、…、七个数的积，试求它们的和.解（1）任选一个数的和：1+（-1）+2+（-2）+3×(-3)+4=4.(2)任选二个数的积(由于4×(-3)与4×3,…成对出现,这些积的和为0)的和为:1×(-1)+2×(-2)+3×(-3)=-14.（3）.任选三个数的积(由于4×(-3)×(-2)与4×3×(-2),…成对出现，这些积的和为0)的和为：4×1×（-1）+4×2×（-2）+4×3×（-3）=-56.（4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：

1×（-1）×2×（-2）+2×（-2）×3×（-3）+1×（-1）×3×（-3）=49；1×（-1）×2×（-2）×4+2×（-2）×3×（-3）×4+（-1）×3×（-3）×4×1=1961×2×3×（-1）×（-2）×（-3）=-36；1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）×4=144.所以，所求的和为-1.3.一分为二例5（1978年上海中学生数学竞赛题）比较（n为任意自然数）与2的大小.分析关键是将写成宜于与2比较的简单的式子（直接的计算几乎不可能）.现依次称的各项分别为第1项，第2项，…，第n项，对第k项变形4.画一个图为了求和S＇=1+2+…+10，可作一个阶梯形（如图1-1中阴影部分），图中每个小方格为一个面积单位，可见S＇为阶梯形的面积，将两个同样的阶梯形拼在一起得一个11×10的矩形，此矩形面积的一半即S＇.仿此可以求例1中的S，画图的好处由此可见一斑.例6（第19届国际数学竞赛题）有限个实数（可以重复）按一定顺序排成一列，任意连续七个数之和为负，任意连续十一个数之和为正，确定这些实数最多有几个，分析文字信息有使人坠入五里雾中之感，将这有限个实数依次编号为①、②，…，如图1-2所示.把图中的数字同时向前挪一位，挪二位，…，便可以看出，从第12个数起，任意连续三数之和为负；从第15个数起，每一个数都为正，因编号为15、16、17的三个正数之和不可能是负的，故这些实数最多有16个，例如可以验证（）5，5，-13，5，5，5，-13，5，5，-13，5，5，5，-13，5，5这一列数满足题设条件，表可以看成是一种特殊的图.例7，对于n个连续的自然数1，2，3，…，n，作出其一切可能的和数（被加数的个数从1到n），证明得到的和数中至少有个两两互不相同，分析从联想到例1的推广了的结论，即=1+2+…+n，触发猜想：所述和数至少可以分成n批，第一批一个，第二批两个，…，第n批n个，则问题获得解决，注意到1＜2＜3＜…＜n-1＜n，取出若干和数列成下表：此表中恰有个和数，显然它们两两互不相等.练习：1.填空题（1）1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99等于_______.（2）1至100所有不能被9整除的自然数的和等于_______.（3）计算：（（4）计算：2.选择题(1)乘积等于().(A)(B)(C)(D)(2)(第36届美国中学数学竞赛题)从和式中,必须除去(),才能使余下的项的和等于1(A)(B)(3)设a、b、c为互相等的整数，满足的数组（a、b、c）有（）个.（A）2（B）无数多（C）1（D）3（4）分母是1001的最简真分数共有（）个.（A）720（B）693（C）692（D）7213.求和S=1·1+2·2·1+3·3·2·1+…n·n(n-1)…·2·1.4.一串数：中，（1）是第几个分数？（2）第400个分数是几分之几？5.（1）8个乒乓球队员进行循环赛，需要比赛多少场？（2）从全班50名学生中，选出三人分别担任班长、学习委员、文娱委员的选法有多少种？6.已知求的值.7.从1到100这100个自然数中取10个，使它们倒数和等于1.8.（第5届美国数学邀请赛）非负整数有序数对（m,n），若在求和m+n时无需进位（十进制下），则称它为“简单”的，求所有和为1492的简单的非负整数有序数对的个数.9.（“华罗庚金杯”全国第二届少年数学邀请赛（决赛）题）用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？10.数字3可以有四种表示为一个或多个正整数之和，即3，1+2，2+1，1+1+1，数n有多少种这样的表示法？初一数学竞赛培训第二讲绝对值知识要点1.绝对值的代数意义；2.绝对值的几何意义：（1）|a|、（2）|a-b|；3.绝对值的性质：（1）|-a|=|a|,|a|0,|a|a；（2）|a|2=|a2|=a2；（3）|ab|=|a||b|；（4）（b0）；4.绝对值方程：（1）.最简单的绝对值方程|x|=a的解：（2）解题方法：换元法，分类讨论法。二、绝对值问题解题关键：（1）去掉绝对值符号；（2）运用性质；（3）分类讨论。三、例题示范例1已知a0，化简|2a-|a||。提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。例2已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b=，满足条件的a有几个？例3已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。例4已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc0，求的值。注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。已知：例6已知，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。例7已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。提示：1、根轴法；2、几何法。例8是否存在数x,使|x+3|-|x-2|7。提示：1、根轴法；2、几何法。例9m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。提示：结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。结论：最小值为8。例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于___6_______.例11（1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？解由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.例12

若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证

设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.∴|b|-1=＞0，∴|b|＞1.同理可证|a|＞1.∴a、b都不在-1与1之间.例13某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？例14解方程（1）|3x-1|=8（2）||x-2|-1|=（3）|3x-2|=x+4（4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.例15（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.分析

解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1:a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2:设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3:已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5:若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6:若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，所以例8化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习:1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为()．(A)在A，C点的右边；(B)在A，C点的左边；(C)在A，C点之间；(D)以上三种情况都有可能．初一数学竞赛培训相反数和倒数一、有关知识与要点1.相反数指绝对值相同而符号相反的两个数，两个互为相反数的和等于0。2.1除以一个数（0除外）的商，叫做这个数的倒数，如果两个数互为倒数，则这两个数的积等于1。二、例题例1①你能找到两个数，它们互为相反数，它们的倒数也互为相反数吗？②你能找到两个有理数，它们既互为相反数，又互为倒数吗？如果两个数互为倒数，那么它们的和的倒数与它们的倒数的和也互为倒数吗？为什么？已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于1，求a+b+x2-cdx的值。若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a那么a+b+c+d的最大值是（）A、－1B、0C、1D－5设y=ax17+bx13+cx11－5，其中a、b、c为常数，已知当x=－7时，y=7则x=7时，y的值等于（）A、－17B、－7C、14D、21E、不能唯一确定若（x2-x+1）6=a12x12+a11x11+……+a2x2+a1x+a0,求a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0的值练习：一个有理数的相反数与自身的绝对值的和()A、可能是负数B、必为正数C、必为非负数D、必为0两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是()A、B、C、D、E、以上结论都不对一个数的倒数小于2，且大于－3，则这个数a的取值范围是()A、B、C、D、这样的a不存在若互为相反数，则x=,y=_________.若a>0，则的大小关系是_________________.若互为相反数，则mn=_________.若(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0－a1+a2－a3+a4－a5=已知y=ax5+bx3+cx+665，且当x=365时，y=－665，求x=－365时，y的值。已知：的值。初一数学竞赛培训第二章整式第一讲数与式1.已知:单项式是五次单项式,则m=_______2.当k=______时，-与的和是单项式.3.已知:单项式是一个关于x,y的单项式,且系数为2,次数为5,则a=_____,n=______4.已知:单项式是一个关于x,y的五次单项式,则m_____,n______5.如果多项式是关于x的三次多项式，那么a=___,b=___。6.如果多项式是关于x的三次三项式,则k=________7.如果多项式x4-(a-1)x3+5x2+(b+3)x-1不含x3和x项，则a=_____,b=___________.8.代数式-3+(x-a)2的最小值为_______，这时x=_______.9.如果0.65x2y2a-1与–0.25xb-1y3是同类项，求a,b的值.10.如果-4x2my3与2x4ym+n是同类项，求m,n的值.11.如果关于字母x的二次多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x无关，求m、n的值.12.如果关于字母x的多项式-mx4-2x3+2nx2+mx3+x2-3x+n合并后不含x3及x2项，求m、n的值.求当x=-1时多项式的值.13.已知:A=2x2+4xy-2x-3,B=-x2+xy+2且3A+6B的值与x无关，你能求出字母y的值吗?第二讲求代数式的值1.若a2+a=0则2a2+2a+2009=________2.代数式3x2-4x+6的值为9,则的值是_________3.若当x=1时,多项式ax3+bx+1的值是5,则当x=-1时,多项式ax3+bx+1的值是_____,多项式的值是____________.4.若当x=2时,多项式ax3+bx+4的值是8,则当x=-2时,多项式ax3+bx+4的值是_____,多项式2ax3+2bx+4的值是_________.5.若a2+bc=14,b2-2bc=-6,则3a2+4b2-5bc=______________6.若a+b+c=0,则(a+b)(b+c)(c+a)+abc=______________7.若a+19=b+9=c+8,则(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=________________8.如果关于x的多项式与3xn+5x是同次多项式，求的值.9.先化简，再求值.，其中a=-5,b=-3.10.在计算代数式（2x3－3x2y－2xy2）－(x3－2xy2+y3)+(-x3+3x2y－y3)的值，其中x=0.5,y=－1时，甲同学把x=0.5错抄成x=－0.5，但他计算的结果也是正确的.试说明理由，并求出这个结果.11.先化简，再求值：(4x2-3x)+(2+4x-x2)-(2x2+x+1),其中x=-2.12.已知x2+y2=7,xy=-2.求5x2-3xy-4y2-11xy-7x2+2y2的值.13.已知A=2x2+3xy-2x-1,B=-x2+xy-1,且3A+6B的值与x无关，求y的值.14.若，求：值.15.规定一种新运算：a＊b=ab+a-b,求a＊b+(b-a)＊b.16.已知多项式x2+2axy-xy2与多项式3xy-axy2-y3的和不含xy项,求多项式a3-2a2-a+1-2a3+a-5的值.17.已知代数式的值为7，求代数式的值.18.当时，求代数式的值.初一数学竞赛培训整体思想的应用重视基础知识，突出能力考察的一年一度的“希望杯”全国数学邀请赛，展示了许许多多活而不难，巧而不偏，富有创造性，有较宽的思维空间且不雷同的数学问题，对丰富学校的数学教学内容，提高同学们的思维和创造能力起了很好的作用。本文介绍在历届“希望杯”赛题(包括培训题)中如何运用整体思想的内容，以帮助同学们提高数学水平。1.凑整运算将算式中的分数凑成整数；整数凑成整十、整百、整千等进行运算。例1用简便方法计算：7+97+997+9997+99997。解原式=(10-3)+(100-3)+(1000-3)+(10000-3)+(100000-3)=111110-3×5=111095。2.整体求解视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得问题的答案。例2已知代数式当x=1时值为1，那么该代数式当x=-1时的值（）。（A）1（B）-1（C）0（D）2解因为当x=1时值为1，所以，即。那么，当x=-1时，原式=。故选(B)。3.整体代换巧设某整体为辅助元或未知元。例3一个六位数的3倍等于，则这个六位数是。解设=x，则3(200000+x)=10x+9，解得x=85713。故所求六位数是285713。4.整体代入据已知字母的值，先求其一中间代数式的值，再将该代数式的值，整体代入求值式中。例4已知x=-1,那么=_________________解因为x=-1，，所以。因此原式=。5.整体变形将条件等式整体相加减，得新的关系式，以助解题进行。例5已知a-b=2①，b-c=-3②，c-d=5③。则(a-c)(b-d)÷(a-d)=_______________解由已知条件，得a-c=-1，b-d=2，a-d=4。所以(a-c)(b-d)÷(a-d)=(-1)·2÷4=-。6.整体判断据已知条件整体判断出求值式中部分代数式的取值(范围)。例6角α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已给出，在计算(α+β+γ)的值时，全班得出23.5°、24.5°、25.5°这样三种不同结果，其中确有正确的答案，那么α+β+γ=_________________解不妨设0°<α<90°，0°<β<90°，90°<γ<180°，所以90°<α+β+γ<360°，所以6°<(α+β+γ)<24°。因为23.5°、24.5°、25.5°确有正确答案，所以(α+β+γ)=23.5°，所以α+β+γ=352.5°。 由上数例不难看出，用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性。练习：1．如果，则=．2.若则_______.3.代数式的值为9,则的值是_________.4.若当x=1时,多项式的值是5,则当x=-1时,多项式的值是_____,多项式的值是____________.5.若当x=2时,多项式的值是8,则当x=-2时,多项式的值是_____,多项式的值是_________.6.若a2+bc=14,b2-2bc=-6,则3a2+4b2-5bc=______________7.设，则（）A.-32B.32C.1024D.-10248.已知x2+y2=7,xy=-2.求5x2-3xy-4y2-11xy-7x2+2y2的值.9.当时，求代数式的值.10.已知代数式的值为7，求代数式的值.11.如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．12.已知ab=5，ab=1，求(2a+3b2ab)(a+4b+ab)(3ab+2b2a)的值。13.已知：，，求的值。14.已知：，求多项式的值。15.已知：，求的值。16.已知：.（1）求的值。（2）求的值。17.当时，多项式的值为7，求当时这个多项式的值。18.当时，关于小x的二次多项式的值为-17，试求x=-2时该代数式的值。初一数学竞赛培训零的特性一.零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。1.零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。2.零是判定正、负数的界限。若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作a＞0a是正数读作a＞0等价于a是正数b<0b是负数c≥0c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d0d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)e0e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3.在一切非负数中有一个最小值是0。例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。4.在一切非正数中有一个最大值是0。例如－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），－（X－2）20，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。二.零具有独特的运算性质1.乘方：零的正整数次幂都是零。2.除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。3.乘法：零乘以任何数都得零。即a×0＝0，反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。4.加法互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。即a、b互为相反数a+b=05.减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b;若a-b＞0,则a＞b;若a-b＜0,则a＜b。反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a<b时,a-b<0.三.在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下：1.55近似数1.6<1.651.595≤近似数1.60<1605例题：例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？例3．要使下列等式成立X、Y应取什么值？为什么？①X（Y－1）＝0，②｜X－3｜＋（Y＋2）2＝0练习：1.有理数a和b的大小如数轴所示:b0a比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接）2a0,－3b0,0,－0，－a20,－b30,a+b0,a－b0,ab0,(－2b)30,0,02.a表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。｜a|>a,a2>－a2,a>－a,a+1>a3.x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：＿＿句。①（x－2）2有最小值0，③－｜x+3|有最大值0，2－x2有最大值2，④3＋｜x－1｜有最小3。4.绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？5.要使下列等式成立，字母X、Y应取什么值？①＝0，②X（X－3）＝0，③｜X－1｜＋（Y＋3）2＝06.下列说法正确吗？为什么？①a的倒数是②方程（a－1）X＝3的解是X＝n表示一切自然数，2n－1表示所有的正奇数如果a>b,那么m2a>m2b(a、b、m都是有理数)7.X取什么值时，下列代数式的值是正数？①X（X－1）②X（X＋1）（X＋2）初一数学竞赛培训数学符号数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。数学符号一般可分为：1.元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等。2.关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。3.运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。4.逻辑符号：略5.约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a和b中，如果a除以b的商的整数部份记作Z（），而它的余数记作R（），那么Z（）＝3，R（）＝1；又如设表示不大于x的最大整数，那么＝5，＝－6，＝0，＝－3。注意：1.正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）2.对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。3.在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。例1设表示不大于Z的最大整数，＜n>为正整数n除以3的余数计算：①〔4.07〕＋〔－〕－〈13;〉＋〈2004〉②〈〔14.7〕〉＋〔〕。例2①求19871988的个位数②说明19871989－19931991能被10整除的理由解：设N（x）表示整数x的个位数，N（19871988）＝N（74×497