2020-2021学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.已知函数/（无）=cosx-sinx,则/（无）=（）

A.-siiu+cosxB.siiu--cosxC.sinx+cos尤D.-siiu-cos尤

2.设随机变量X服从正态分布N（3,16）,若尸（X>c）=P（X<3）,则c=（）

A.1B.2C.3D.4

3.A,B,C,D,E等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无

并列名次）.已知学生A和8都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不

同排列有（）

A.18种B.36种C.48种D.54种

4.某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的

概率分别为告和言，则恰有一套机制失效的概率为（）

45

3口9八7八1

AA.—B.~r--C."r--D.-r-~

5202020

5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.有一种“金钱起

卦法”，其做法为：取两枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下，再撒钱币到桌面或

平盘等硬物上，此为一爻，重复六次，得到六爻.两枚钱币全部正面向上称为变爻，若

每一枚钱币正面向上的概率为段,则一卦中恰有两个变爻的概率为（）

6.（xd）（2x1）5的展开式中常数项为（）

XX

A.-40B.-20C.20D.40

7.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间£（单位：天）满足函数

t

关系N（t）=N0e*其中M为片。时该同位素的含量.已知r=24时，该同位素含量

的瞬时变化率为-el则N（120）=（）

A.24贝克B.24/5贝克c.1贝克D.e-贝克

8.已知函数/（X）=*2,g（x）=l+/nr,若存在实数九，6使得/Gi）=g（fe）,则A

-h的最大值为（）

A.IrilB.1C.l+/〃2D.2+/〃2-e

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选

项在答题卡中的相应位置涂黑

9.下列结论正确的是（）

A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值M越接近于1

B.样本（xi，yi）,（X2,>2）,（X3,券），…，（X”%）的回归直线y=bx+a至少经

过其中一个样本点

C.在回归方程9◎中，当解释变量尤每增加1个单位时，预报变量’平均增加

y-0.2x+0.8y

0.2个单位

D.在线性回归模型中，用相关指数R2刻画拟合效果，R2的值越小，模型的拟合效果越

好

10.已知复数z满足|z|=l,贝”Z-1-i|的可能取值有（）

A.0B.1C.2D.3

11.如图是函数/（x）的导函数/（x）的图象，则下列结论正确的是（）

A.f（0）>f（1）B.x=l是/（无）的极小值点

C.x=-1是/（无）的极小值点D.x=-3是/（x）的极大值点

12.将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用S表示空盒子的个数，则下列结论正确

的是（）

A.P（^=1）=4B.P（g=2）=杀C.P（&=3）=心D.E（&）=M

O100410

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

13.在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件

下，第2次抽到女生的概率为.

14.若复数（z•是虚数单位）是纯虚数，则实数.

15.已知图1是“杨辉三角”，图2是“莱布尼茨三角”，两个“三角”之间具有关联性.已

知“杨辉三角”中第n行第r+1个数为C；,则“莱布尼茨三角”中第n行第r+1个数

为;已知“杨辉三角”中第n行和第"+1行中的数满足关系式

C：+C*=C即，类比写出“莱布尼茨三角"中第八行和第«+1行中的数满足的关系

式.

II

I2I

b

1331

1464520102()$

I51()105_LL_L_L!

V)60八

图1图2

16.若f(x)=ax与g(x)=亚的图象有且仅有两个公共点，则实数a的取值范围

x

为.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区

域内，超出指定区域的答案无效.

17.已知函数/(x)=x3+2x2+x+2.

(1)求函数/(x)的极值；

n

(2)若对任意的x£[-仔，1]都有/(x)<c成立，求c的取值范围.

18.已知复数21=〃+。，(mZ?GR),Z2=c+力(c,JGR).

(1)当Q=l,b=-1,C=l,d=2时，求|zi|,\Z2\,|zi*Z2|；

(2)根据(1)的计算结果猜想|Z1・Z2|与|Z1|・|Z2|的关系，并证明该关系的一般性；

(3)结合(2)的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质(不用证明).

19.为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层

抽取了100名员工进行调查.调查结果如图4所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”

和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.

(1)现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X,

求X的分布列及数学期;

(2)若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样

本数据完成2X2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员

工长假的出游意愿与年龄段有关？

有出游意愿无出游意愿合计

青年

中年

合计

附:

P(02%0)0.0500.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

„2_______n(ad-bc)?______

其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

出加京配调介结果

20.已知函数/(x)—lnx+ax.

(1)讨论函数/(无)的单调性；

(2)若a>0,且g(x)—f(尤)-sin%在2兀)上有且仅有1个极值点，求。的

取值范围.

21.共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力

手段.某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果

如下：

季度序号X12345

使用次数y11.21.51.82.2

（万次）

（1）（i）根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使

用次数y与季度序号尤之间的关系，如果能，求出y关于x的线性回归方程；如果不能,

请说明理由.

（拓）如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由.

（2）为进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：A型单车每辆500元,

第一年收入500元，以后逐年递减80元；8型单车每辆300元，第一年收入500元，以

后逐年递减100元.经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如表：

车型,使用寿1年2年3年4年总计

命

A10203040100

B10353025100

不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计

概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择

哪款车型？

5--5一、2

参考数据：£(xx-x)(y--y)=3,£(x「x)=10.

i=li=l

-£(x.-x)(y--y)

J-1*

n

i=l

♦”HZ0八，.八♦

22.已知函数/(x)=x2-x-xlnx,g(x)=x3-3ax+e.

(1)证明/(x)三0恒成立；

一f(x)

(2)用根QX{M,及}表示如〃中的最大值.已知函数h(x)=-----x+2，记函数(p(x)

X

=max[h(x),g(x)},若函数cp(x)在(0,+°°)上恰有2个零点，求实数〃的取

值范围.

参考答案

一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分).

1.已知函数/'(x)=cosx-sinx,则f(x)=()

A.-sinx+cosxB.sinx-cos尤C.sinx+cosxD.-siiu--cosx

【分析】由导数运算公式可解决此题.

解：f(x)=(cos无)'-(sinx)'="siiu--cosx.

故选：D.

2.设随机变量X服从正态分布N(3,16),若尸(X>c)=P(X<3)，则c=()

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用正态分布曲线的对称性以及参数小，。的含义进行分析求解,即可得到答

案.

解：因为尸(X>c)=P(X<3),

所以等=3,解得c=3.

故选：C.

3.A,B,C,D,E等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次(无

并列名次).已知学生A和8都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不

同排列有()

A.18种B.36种C.48种D.54种

【分析】先排乙，有3种情况；再排甲，有2种情况；余下3人有A33种排法，最后相乘

即可求解.

解：由题意，甲、乙都不是第一名且不是最后一名；

故先排乙，有3种情况；

再排甲，有2种情况；

余下3人有A33种排法.

故共有3X2X43=36种不同的情况.

故选：B.

4.某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的

概率分别为'和《，则恰有一套机制失效的概率为（

【分析】利用分类计数原理以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可.

解：因为两套机制是相互独立的，且两套机制失效的概率分别为4■和

故选：C.

5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.有一种“金钱起

卦法”，其做法为：取两枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下，再撒钱币到桌面或

平盘等硬物上，此为一爻，重复六次，得到六爻.两枚钱币全部正面向上称为变爻，若

每一枚钱币正面向上的概率为处，则一卦中恰有两个变爻的概率为（）

【分析】先求出变爻的概率，利用六爻实际为6次独立重复试验，由此求出一卦中恰有

两个变爻的概率即可.

解：由题意可知变爻的概率为高义《金，

因为六爻实际为6次独立重复试验，

5

所以一卦中恰有两个变爻的概率为。X弓）2X（*）4=青＞.

故选：A.

6.（xJ）（2x」）5的展开式中常数项为（）

XX

A.-40B.-20C.20D.40

5-rr5-r5-2r

【分析】由（2x1）5的通项公式Tr+i=C^（2x）（-）r=（-l）'2'C5X,

求出其含有X与工的项，进而得到常数项.

X

解：由⑵二）5的通项公式r+LC葭Zx）5"，上）r=（-DJzAJCgxS-Zr,

X°X0

①当5-2r=-1即r=3时,（-1）°•22•C看•x-40.

②当5-2厂=1即r=2时，—•(-1)2-23•Cr'x=80.

X0

•••(x」)(2x二)5的展开式中常数项=-40+80=40.

XX

故选：D.

7.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间，（单位：天）满足函数

关系N（t）=N其中No为t=。时该同位素的含量•已知1=24时，该同位素含量

的瞬时变化率为-*1,则N（120）=（）

A.24贝克B.24e'5贝克C.1贝克D.-5贝克

【分析】先求出N⑺,然后利用利用N（24）=-"i,求出M,再求解N（120）即

可.

解:因为N（t）=N（je击'

24,

则『（t）=-安・e•No

因为/=24时，该同位素含量的瞬时变化率为--1,

_24_

则N'（24）=-24pNQ=-e"

所以M）=24,

120

故N（120）=叱乂°一b7八一5贝克.

故选：B.

8.已知函数/（X）=^一2,g（x）=1+加X,若存在实数力，段使得了（力）=g（方2）,则人

-t2的最大值为（）

A.In2B.1C.1+历2D.2+历2-e

【分析】设/（力）=g（力）=3用t表示出ti-ti,构造函数h⑺=2+lnt-el~1（r>0）,

利用导数研究力（/）的单调性以及最值，即可得到答案.

2=

解：设/"）=g5）=t,贝Ue%=l+lnt2t（t>0），

t

所以九=2+/*t2=eL故t[-t2=2+lnt-etL

令hG)=2+lnt-e，1G>0),

则h'⑺=恒成立，

It

则〃（f）在（0,+8）上单调递减，且〃（1）=0,

当0<7<1时，/（f）>0,则/?G）单调递增，

当t>l时，h（?）<0,则h（?）单调递减，

所以〃。）在r=i处取得极大值，即最大值，

故/7G）的最大值为/7（1）=2+加1-e-i=l,

所以t\-h的最大值为1.

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选

项在答题卡中的相应位置涂黑

9.下列结论正确的是（）

A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值IH越接近于1

4AA

B.样本（xi，M）,（X2,丁2），（X3，丁3），…，为）的回归直线至少经

y-bx+a

过其中一个样本点

C.在回归方程9n父中，当解释变量％每增加1个单位时，预报变量u平均增加

U・4X+十U・o

0.2个单位

D.在线性回归模型中，用相关指数R刻画拟合效果，用的值越小，模型的拟合效果越

好

【分析】根据线性相关性判断4回归直线方程的性质判断2；回归直线方程的性质判断

C；根据相关指数甯越大拟合效果越好，可判定D

解：两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数厂的绝对值IH越接近于1,

满足相关关系的性质，所以A正确；

AAA

样本（尤i,第），（X2,>2）,（尤3,>3），（X",yn'）的回归直线y=bx+a不一定经

过其中一个样本点，故B不正确；

在回归方程9£中，当解释变量了每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2

y-0.2x+0.8y

个单位，满足回归直线方程的性质，故C正确;

R2越大拟合效果越好，故2不正确，故。不正确；

故选：AC.

10.己知复数z满足|z|=l,则|z-1-i|的可能取值有()

A.0B.1C.2D.3

【分析】由已知可得iz-1-a的几何意义是单位圆上的点与a,1)的距离之和，进而可

以求解.

解:复数Z满足|0=1,则|z-1的几何意义是单位圆上的点与(1,1)的距离之和，

所以和的最大值为原点与(1,1)的距离加半径，即，j+j+iw^+i,

和的最小值为原点与(1,1)的距离减去半径，即JF+J十收1,

所以iz-1-»的取值范围为［&T,我+1，

故1,2满足题意，0,3不满足，

故选：BC.

11.如图是函数/G)的导函数/(%)的图象，则下列结论正确的是()

A.f(0)>f(1)B.x=l是/(无)的极小值点

C.尤=-1是/(x)的极小值点D.x=-3是/(%)的极大值点

【分析】根据导数值与0的关系判断各个选项即可.

解：由图象得：-3<x<-1Bt,f(x)<0,-f(x)20,其中尸(1)

=0,

：.f(x)在(-3,-1)递减，在(-1,+8)递增，

f(0)<f(1),所以A不正确；

x=l不是/(x)的极小值点，所以8不正确；

x=-1是/(x)的极小值点，所以C正确；

x=-3是/(x)的极大值点，所以。正确；

故选：CD.

12.将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用己表示空盒子的个数，则下列结论正确

的是(

22197

A.P（g=l）=dB.P（=2）=-j-r-C.p（g=3）=弁D.E（g）=w

8166416

【分析】分别计算出孑=1，f=2,孑=3的概率，再结合期望公式，即可求解.

解：当？=1时，把三个小球放在4个不同的盒子里，3个小球恰在3个不同的盒子内的

方法有A：=24种，

将三个不同的小球随意放入4个不同的盒子里的所有方法有4X4X4=64种，

则3个小球恰在3个不同的盒子内的概率为名4，即尸（《=1）=v，故选项正确，

当孑=3时，即表示三个不同的小球同时放入其中的一个盒子中，共有4种情况，

则尸9=3）=2=上，故C选项错误，

6416

；己的取值只可能为1,2,3,

，尸（m=2）=—故8选项错误，

81616

□Q107

E（Q=1X曰+2><4+3乂/专，故。选项正确.

8161616

故选：AD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

13.在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件

下，第2次抽到女生的概率为4.

一4一

【分析】利用条件概率的含义结合古典概型的概率公式求解即可.

解：因为第一次抽到的是男生，

所以还剩下1名男生和3名女生，

故第2次抽到女生的概率为弓.

4

故答案为：43，

4

14.若复数学是虚数单位）是纯虚数，则实数。=1.

【分析】先利用复数的除法运算进行化简，然后由纯虚数的定义求解即可.

解：复数等=（胪总空?=2a-2+£+4）i为纯虚数,

所以2〃-2=0且〃+4W0,所以〃=1.

故答案为：1.

15.已知图1是“杨辉三角”，图2是“莱布尼茨三角”，两个“三角”之间具有关联性.已

知“杨辉三角”中第n行第什1个数为C；，则“莱布尼茨三角”中第n行第r+1个数为

,；己知“杨辉三角”中第〃行和第n+1行中的数满足关系式C：+C*=C霜，

(n+l)C：—nn什1

类比写出“莱布尼茨三角”中第n行和第n+1行中的数满足的关系式

141=1

(n+2)C：+i'(n+2)C：：；(n+l)C^--

图1图2

【分析】对照图1和图2,可得图2中的每一数的分母即为图1中的对应数的2倍,3倍,...，

(n+l)倍，第n行第什1个数即为第n+1行第r+1个数和第什2个数的和.可得所求结

论.

解：对照图1和图2,可得图2中的每一数的分母即为图1中的对应数的2倍，3倍，...，

(n+1)倍,

1

所以“莱布尼茨三角”中第n行第r+1个数为,,、厂「；

(n+1)Cn

由图2可得，第n行第什1个数即为第n+1行第共1个数和第什2个数的和.

1_________]]

即为(n+2)C：+i+(n+2)=(n+1)C；

,、1]_________]]

故答案为：(n+l)C<(n+2)C：+i+(n+2)C*；=(n+l)C「

16.若f(x)=ax与8&)=@的图象有且仅有两个公共点，则实数a的取值范围为

X

S,击)—.

【分析】若f(x)=ax与g(x)=』空的图象有且仅有两个公共点，。=号有两个根，

lnx

令g（x）=一葭，（x＞0）,求导分析单调性，最值，作出g（x）大致图象，结合图象

X

即可得出答案.

解：若/（X）=依与86）=处的图象有且仅有两个公共点,

X

则以=1也有两个根，

x

lnx

即a—鼠有两个根，

x

lnx

令Ag(x)=2~,(x>0)

x

12

,,、一•x-2xlnxl-21nx

g'(%)=x=---g-,

4x

x

所以在(0,ej-)上，g'(x)>0,g(x)单调递增,

在(ey,+8)上，g'(x)<0,g(x)单调递减,

1

2

所以g(X)max=g(6；)=。。与~~^-=4,

已X2e

(e2)2

又在（0,1）上g（无）＜0；在（1,+8）上g（尤）＞0,

故答案为：（0,.

Ne

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区

域内，超出指定区域的答案无效.

17.已知函数/（x）—x3+2x2+x+2.

（1）求函数/（x）的极值；

（2）若对任意的1］都有/（x）<c成立，求c的取值范围.

【分析】（1）求出导函数，求解极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的极值即可.

（2）由（1）求出函数的极值以及端点值，即可得到函数的最值，然后推出c的范围即

可.

解：（1）因为/（无）=x3+2x2+x+2,所以/（x）=3N+4X+1,..........................................

（1分）

令f（X）=0,解得x=-^■或X=-1，

当/（%）>0,即或xV-1；当/（x）<0,即

o

-1<x<4•.................................................

故f（无）的单调递增区间为（-8,-1）和-HOO）,单调递减区间为

O

所以，x=-1时,/（无）有极大值/（-1）=2,...........................................................................

当x="时，/（彳）有极小值f（4）嘏.........................................

（2）由（1）知f（尤）在（一T）上单调递减，在（A，1）上单调递

OOO

增，.....................

又f（42）嗡52/（1）=

O乙t

6,,..........................................................

n

所以X€［一可，1］时,f（X）max=

6,.................................................................................................................

n

因为对任意的x€［-y.1］都有y（x）<c成立，所以C>

6.

18.已知复数zi=a+bi(a,b&R),z^—c+di(c,d6R).

(1)当a=l,b=-1,c=l,d=2时，求|zi|,阂，|z「Z2|;

(2)根据(1)的计算结果猜想|Z12|与㈤・阂的关系，并证明该关系的一般性；

(3)结合(2)的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质(不用证明).

【分析】(1)把a=l,b=-1,c=l,1=2代入，利用复数模的计算公式求同，㈤，

利用复数代数形式的乘除运算求Z1-Z2,再由复数模的计算公式求|Z「Z2|；

(2)直接求|Z1・Z2|与厄卜㈤,即可得结论；

(3)类比(2)中的结论，可得复数商的模等于模的商(或三个及三个以上复数乘积的

模等于模的乘积).

22

解：(1)由题知|zi|=41+(-1)2=6，Iz2|=^1+2=V5-

:z「22=(1-z)x(l+2z)=3+i,

=22

Izrz2lVs+iVio；

(2)猜想|zi・Z2|=|Z1卜㈤,

22=22

证明：v|Zj|=Va+b>IZ2lVc+d>

=222222222222

IztMz2।Va+bVc+d=Vac+ad+bc+bd-

Vzi-Z2=(a+bi)X(c+成)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

ZI•z2I=V(ac-bd)2+(ad+bc)2=7a2c2+a2d2+b2d2+b2c2-

故区磔尸忸卜㈤成立:

IZ][IZ]I_

(3)||=-j------P或|ZI-Z2，Z3|=|Z1|,区卜或|Z「Z2,,…Z〃|=|zi|,•…|z„|.

z2।z2।

19.为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层

抽取了100名员工进行调查.调查结果如图4所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”

和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.

(1)现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X,

求X的分布列及数学期；

(2)若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样

本数据完成2X2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员

工长假的出游意愿与年龄段有关？

有出游意愿无出游意愿合计

青年

中年

合计

P（蜉/）0.0500.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

n(ad-bc)2

，其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【分析】（1）抽到“无出游意愿”的人数X的所有可能取值为0,1,2,求出概率，随

机变量X的分布列，然后求解随机变量X的期望.

（2）推出2X2列联表，求出即可判断不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认

为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关.

解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数m=100X10%=10人，.....................

（1分）

由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，

从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X的所有可能取值为0,1,

2）.....................................

Co7CoCi7CjCn1

P(X=0)=o=->P(X=1)=o=1K，P(x=2)=o=1K，

「J1l(blblb

^10A0

随机变量X的分布列为

X012

p771

151515

随机变量X的期望

771?

E(X)=OX*+1X±+2X卷*...............

lblblbb

(2)由题知，样本中中年员工占比为1-10%-30%=60%,人数«2=100X60%=60人,

青年员工人数加=100X40%=40

人，.......................

结合图3得到如下2X2列联表,

有出游意愿无出游意愿合计

青年301040

中年402060

合计7030100

假设“有出游意愿与年龄段无关"，则N=

100X(30x20-40x10)...........................

70X30X40X6063

不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有

关.............

20.已知函数/(x)=lnx+ax.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若。＞0,且g(x)=f(x)-sinx在(?*，2兀)上有且仅有1个极值点，求。的

取值范围.

【分析】(1)求出函数的导数，通过①当。20时，②当。<0时，判断导函数的符号,

判断函数的单调性即可.

1TT

(2)通过g'(%)=0,得一+a二CQSX，g(X)在(-k，2兀)上有且仅有1个极值点，

x2

1TT

推出y=—+a(a>0)与y=cos%在(二丁，2兀)的图象有且仅有一个交点，通过①当

x2

手<x<等时，②当等<x<2兀时，判断交点个数，推出〃的取值范围.

解：(1)由题得，函数定义域为(0,+8),f'(x)=—•........................

X

(1分)

①当°20时，f(尤)>0在(0,+8)上恒成立,

所以函数无)在(0,+8)上单调递

增；................................

1

②当。<。时，由f，(x)=—+a=0)得x：—,

Xa

当了(x)>0时，0<x<-。；当/(x)<0时，X〉」，

aa

所以/(x)在(0,-工)上单调递增，在(」，XQ)上单调递

aa

减,...............................

综上所述，当〃20时，f(x)在(0,+8)上单调递增；

当a<0时，f(x)在(0,-上)上单调递增，在(二，Q)上单调递

aa

减.........................

(2)由题得g'(x)=--cosx+a(a^>0),令g'(x)=0,得

x

1

—+软=cosx，•.............

x

TT、

因为g(x)在(一，2兀)上有且仅有1个极值点，

ITT

所以y=—+a(a>0)与y-cosx在(-丁，2兀)的图象有且仅有一个交

x2

点,.......................

①当二时，—+a>0>cosx,此时y」+a与y=cosx没有交

22xx

点，...................

②当芳Yx<2几时，由前面的分析得，两个函数图象在（等，2冗）上有且仅有一

个交点，则不开-+a<cos2兀=1,

即............................................

2兀

综上所述，。的取值范围为

（°，卜普................................

21.共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力

手段.某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果

如下：

季度序号X12345

使用次数y11.21.51.82.2

（万次）

（1）（力根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使

用次数y与季度序号尤之间的关系，如果能，求出y关于x的线性回归方程；如果不能,

请说明理由.

（方）如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享