5.3.1 正方形的判定 浙教版八年级数学下册素养提升练习(含解析)

第5章特殊平行四边形5.3正方形第1课时正方形的判定基础过关全练知识点1正方形的定义1.如图,在平行四边形ABCD中,AB=BC,则下列条件中,能使四边形ABCD是正方形的是()A.AC与BD互相平分B.AB∥CDC.AB=ADD.AB⊥BC第1题图第2题图2.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=BC=CD,试补充一个条件:,使四边形ABCD是正方形.

知识点2正方形的判定3.(2023浙江杭州上城东城实验中学期中)下列命题错误的是()A.如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形B.如果一个四边形的对角线互相垂直平分,那么它一定是菱形C.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形D.四条边相等,且有一个角是直角的四边形是正方形4.【一题多变·线段垂直且相等,证正方形】【十字架模型】已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边CD、AD上的点,AE⊥BF,且AE=BF.求证:矩形ABCD是正方形.[变式1·角平分线+垂直,证矩形内正方形]如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,与AD相交于点E,EF⊥BC,垂足为F.求证:四边形ABFE是正方形.[变式2·角平分线+垂直,证矩形外正方形]如图,在矩形ABCD中,AE平分∠DAB交DC的延长线于点E,过点E作EF⊥AB,垂足F在边AB的延长线上.求证:四边形ADEF是正方形.5.【教材变式·P124例1】如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(E与A,D不重合),G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.连结EF,若BE⊥EC,EF⊥BC,说明:四边形EGFH是正方形.6.如图,已知菱形ABCD,E、F是对角线BD所在直线上的两点,且∠AED=45°,DF=BE,连结CE、AE、AF、CF.求证:四边形AECF是正方形.能力提升全练7.(2022浙江绍兴中考,8,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,BC上的动点.下列四种说法:①存在无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.48.如图,AD是△ABC的中线,过点A、B分别作BC、AD的平行线,两平行线相交于点E.(1)求证:AE=CD.(2)当AB、AC满足什么条件时.①四边形AEBD是矩形?请说明理由.②四边形AEBD是菱形?请说明理由.③四边形AEBD是正方形?请说明理由.素养探究全练9.【推理能力】如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由;(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请说明理由.

第5章特殊平行四边形5.3正方形第1课时正方形的判定答案全解全析基础过关全练1.D∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,在平行四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,∴四边形ABCD是正方形.故选D.2.答案AB∥CD(答案不唯一)解析答案不唯一.补充条件为AB∥CD.∵AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠A=90°,AB=BC,∴▱ABCD是正方形.3.C对角线相等的菱形是正方形,所以A正确,不符合题意;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,所以B正确,不符合题意;一组对边平行,另一组对边相等的四边形,不能保证两组对边分别平行或两组对边分别相等,所以这个四边形不一定是平行四边形,所以C错误,符合题意;四条边相等的四边形是菱形,有一个角是直角的菱形是正方形,所以这个四边形是正方形,所以D正确,不符合题意.故选C.4.证明∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAF=∠ADE=90°,∴∠ABF+∠AFB=90°,∵AE⊥BF,∴∠DAE+∠AFB=90°,∴∠ABF=∠DAE,在△ABF和△DAE中,∠∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.[变式1]证明∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AD∥BC,∵EF⊥BC,∴EF⊥AD,∴∠AEF=∠BFE=90°,∴四边形ABFE是矩形,∵AE∥BF,∴∠AEB=∠EBF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBF,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∴四边形ABFE是正方形.[变式2]证明∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠DAB=90°,∵AE平分∠DAB,∴∠EAF=45°,∵EF⊥AB,∴∠D=∠DAF=∠F=90°,∴四边形ADEF是矩形,∵∠EAF=45°,∴∠AEF=45°,∴∠EAF=∠AEF,∴AF=EF,∴矩形ADEF是正方形.5.证明如图,连结GH,∵G、F分别是BE、BC的中点,∴GF∥EC,同理可证FH∥BE,∴四边形EGFH是平行四边形,∵G、H分别是BE、CE的中点,∴GH∥BC,∵EF⊥BC,∴EF⊥GH,又∵四边形EGFH是平行四边形,∴四边形EGFH是菱形,∵BE⊥EC,∴菱形EGFH是正方形.6.证明如图,连结AC,交BD于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,∵BE=DF,∴BE+OB=DF+DO,∴EO=FO,∴EF与AC垂直且互相平分,∴四边形AECF是菱形,∴∠AEF=∠CEF,又∵∠AED=45°,∴∠AEC=90°,∴菱形AECF是正方形.能力提升全练7.C如图,连结AC交BD于点O,过点O作直线MN,交AD于点M,交BC于点N.序号理由判断①∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,易证△DOM≌△BON,∴OM=ON,∴四边形MENF是平行四边形,∵点E,F是BD上的动点,点M,N分别是边AD,BC上的动点,∴存在无数个平行四边形MENF正确②当MN=EF时,四边形MENF是矩形,∵点E,F是BD上的动点,点M,N分别是边AD,BC上的动点,∴存在无数个矩形MENF正确③当MN⊥EF时,四边形MENF是菱形,∵点E,F是BD上的动点,∴存在无数个菱形MENF正确④当MN=EF,MN⊥EF时,四边形MENF是正方形,易知只存在一个正方形MENF错误故选C.8.解析(1)证明:∵AE∥BD,AD∥BE,∴四边形AEBD是平行四边形,∴AE=BD,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∴AE=CD.(2)①当AB=AC时,四边形AEBD是矩形.理由如下:∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC,∴∠BDA=90°,∵四边形AEBD是平行四边形,∴四边形AEBD是矩形.②当AB⊥AC时,四边形AEBD是菱形.理由如下:∵AB⊥AC,AD是△ABC的中线,∴BD=AD,∵四边形AEBD是平行四边形,∴四边形AEBD是菱形.③当AB=AC,且AB⊥AC时,四边形AEBD是正方形.理由如下:∵AB=AC,且AB⊥AC,∴△ABC是等腰直角三角形,∵AD是△ABC的中线,∴BD=AD,BD⊥AD,∵四边形AEBD是平行四边形,∴四边形AEBD是正方形.素养探究全练9.解析(1)OE=OF.理由如下:∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠BCE,∵MN∥BC,∴∠NEC=∠ECB,∴∠NEC=∠ACE,∴OE=OC,∵CF是∠ACD的平分线,∴∠OCF=∠FCD,∵MN∥BC,∴∠OFC=∠FCD,∴∠OFC=∠OCF,∴OF=OC,∴OE=OF.(2)当点O运动到AC的中点,且△A