《量子力学教程》苁姥玙课后答案

量子力学课后习题详解

第一章量子理论基础

1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对

应的波长心与温度T成反比，即

4T=b（常量）；

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式

(1)

ekT-1

以及Av-c)

(2)

pvdv=-pvdk，(3)

有

这里的0的物理意义是黑体内波长介于人与人+d人之间的

辐射能量密度。

本题关注的是入取何值时，⑶取得极大值，因此，就得

要求0对人的一阶导数为零，由此可求得相应的人的值，

记作（。但要注意的是，还需要验证外对人的二阶导数在乙

处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的4.就是

要求的，具体如下：

如果令x二篇,则上述方程为

5(1—1)=》

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：X=0,但经过

验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或

者数值计算法获得：x=4.97,经过验证，此解正是所要求的,

这样则有

中弋

xk

把X以及三个物理常量代入到上式便知

4/=2.9x10-3

这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，

辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据

热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1.2在OK附近，钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意

波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知

E=hv,

如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动<<"2）,那么

E上

如果我们考察的是相对性的光子，那么

E=pc

注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于

电子的质量与光速平方的乘积，即OSIxUeV,因此利用非相

对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有

一

P

h

一7W

he

1.24x10-6

=-j一.m

V2X0.51X106X3

=0.71x10-9机

=0.71rlm

在这里，利用了

he=1.24x10^eV-m

以及

“2=0.51xl06eV

最后，对

._he

作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个

粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性

较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越

短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观

世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都

是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微

观世界才能显现。

1.3氢原子的动能是£b（k为玻耳兹曼常数），求T=1K

2

时，氮原子的德布罗意波长。

解根据

\kK=lQ-3eV,

知本题的氢原子的动能为

33

E=-kT=-kK=1.5xW-3eV,

22

显然远远小于〃核‘2这样，便有

2-he

核。之一

1.24x10-6

=/"2

V2x3.7xl09xl.5xl0*3

=0.37x10-机

=0.37m?i

这里，利用了

〃核=4x931xl06eV=3.7xl09eV

最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由

某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数

量级为kT,这样，其相庆的德布罗意波长就为

几_he_he

^2/JC2Ey)2/jkc2T

据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越K,

这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子

间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这

时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须

用量子的描述粒子的统计分布一一玻色分布或费米公布。

1.4利用玻尔一一索末菲的量子化条件，求：

(1)一维谐振子的能量；

(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H=10T,玻尔磁子%=9X1O-24J.TT,试计算

运能的量子化间隔△£,并与T=4K及T=100K的热运动能量

相比较。

解玻尔——索末菲的量子化条件为

qpdq-nh

其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义

动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。

(1)设一维谐振子的劲度常数为k,谐振子质量为

于是有

2.

E=^-+-kx2

2〃2

这样，便有

p=±^2^(E-^kx2)

这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方

向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，

根据

E^-kx2

2

可解出住

这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔

索末菲的量子化条件，有

-^kx2)dx+[(-)^2^(£~^kx2)dx=nh

=[-gkx2)dx+[，2〃(E—gkx2)dx=n力

[C\2//(E--kx2)dx=-h

=>去V22

为了积分上述方程的左边，作以下变量代换;

―陛sin，

这样,便有

TC_____________________”sin6n,

1、2〃ECGS2Od—h

kJ2

n________

£yj2/.iEcos0--cos6d0=-h

k2

=>2

n

B2£-^cos26dd=-h

2k2

这时,令上式左边的积分为A,此外再构造一个积分

B二^2£.psin2Odd

'?*k

这样,便有

7C

A+8=2E出d®=2E兀

£U

2(1)

7t

A-B=E2E.痔cos26k/e

2

=cos2/(29)

EA-cos(pd(p.

这里夕=29,这样，就有

A-B=1-舟sin0=U(2)

根据式（1）和（2）,瓯

7£

A=ETC.

这样，便有

〃储

其中

2%

最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量

被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。

(2)当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有

N/=quB

p-/AV=qBR

这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为

qBRd(RB)=nh

qBR2-2乃=nh

又因为动能耐E=*，所以，有

„(qBR)2q2B2R2

E=---------=-----------

2〃2〃

其中，Ms=◎是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等

间隔的，而且

△E=BMnR

具体到本题，有

△E=10X9X10&J=9x10-23J

根据动能与温度的关系式

E^-kT

2

以及

M-K=10"=i6x10-22j

可知，当温度T=4K时，

E=1.5x4x1.6x10-22/=96x10-22j

当温度T=100K时，

£=1.5xl00xl.6xl0-22J=2.4X10-20J

显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子

化的能量的间隔。

1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果

两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是

多少？

解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如

两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来

说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到

这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不

需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量

相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最

小，因而所对应的波长也就最长，而且，有

2

E=hv=piec

此外，还有

lhe

E=pc=7

A,

于是，有

he2

A

2.=­heF

1.24x10"

=-----------Tin

0.51X106

=2.4x10小〃？

=2.4xl0~3nm

尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，

也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的

粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒

子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义

上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一

般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就

越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越

来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物

理。

第二章波函数和薛定谓方程

2.1证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令

/(f,t)=〃⑺f(t)

_/Et

=t/(r)e卜

・a.

了=也(内仁-/*▽/)

2m

Itj—jEt-，Et-，Et-jEl

=——L^(r)e-V(〃(f)e/)*一〃*(f)e'「▽(^(r)e)J

2m

=畀[〃0)▽〃*(f)—〃*(『)▽〃(亍)]

2m

可见7与，无关。

2.2由下列定态波函数计算几率流密度：

(1)入=-eikr(2)%」e-ikr

rr

从所得结果说明弘表示向外传播的球面波，巴表示向内(即

向原点)传播的球面波。

解：［和占只有八分量

1a

在球坐标中V=i^—+e--+e

°dr0r80中rsin。d(p

—»1fl**

(1)4=丁(〃丫-一〃I

2m

=-[-ikr—(-e-ikr)--e-ikr-(-eikr)]r

2mredrrrdrr0

ihA.1.,1、11I、、-

=-[-(—£7kf——(z—+ik-)]r

2mrrrrrTr()

hk_hk_

r

=-mr7^=mr-

入与亍同向。表示向外传播的球面波。

一i方**

⑵JfM-M

业[-e-ikr—(1eikr)--eikr—(-e*)用

2mrdrrrdrr

\+ik-)—(—f-ik

2mrrrrr

力k一力k一

/。=

可见，入与尸反向。表示向内（即向原点）传播的球面波。

补充：设以x）=*,粒子的位置几率分布如何？这个波函数

能否归一化？

•/［夕*y/dx=［dx=oo

•二波函数不能按W（x）/dx=l方式归一化。

其相对位置几率分布函数为

0=|/=］表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3一粒子在一维势场

oo,x<0

U(x)=<0,0<x<iz

oo,x>a

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：U(x)与t无关,是定态问题。其定态S—方程

方2»2

-----V叭x)+U(x)”(x)=E"(x)

2mdx-

在各区域的具体形式为

方2>2

x<0茄而巴(x)+U(x)%(x)==(x)①

II:0<x<a②

21nax~

方2i2

III:x>a茄而%(x)+U(x)%(x)=E%(x)

由于(1)、(3)方程中,由于U(x)=8,要等式成立，必须

弘(x)=0

〃2(x)=°

即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

d2i//(x)+2mE

方程(2)可变为2勿2(x)=0

dx2方2

令尸=坐，得

tr

^^+加)=。

dx~

其解为(x)=Asinfcx+Bcoskx④

根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件，得

/2(0)=%(0)

〃2(。)=匕⑷⑥

=>6=0

⑥=>Asinka=0

•••AH0

sinka=0

=>ka=nji(〃=1,2,3,・・・)

由归一化条件

2I-2〃

得A4Isin——4xa1x=1I

J)a

m兀,a

由[sinx*sin—xax=­oe

aa2mn

…誓(―可见E是量子化的。

对应于E„的归一化的定态波函数为

'2.〃)~Et

—sin——xe"n0<x<

匕(x,f)=<aa

0,x<a,x>a

#

2.4.证明(2.6-14)式中的归一化常数是A，=3

1a

A，.n兀,、

Asin——(x+a),x<a

证a

0,|x|>a

(2.6-14)

由归一化，得

1=j]Af2sin2+a)dx

Af2f—[l-cos-^(x+(7)]6k

J"2a

A'2_A2_

------Xcos——(x-^a)dx

2aa

-a

,,2A”anTU/、

=A~a---------sin--(X+Q)

2n7ta-a

=A,2a

••・归一化常数4=」#

yja

2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

解：力熹；

2a2ax

a)}(x)=阮(%)「=4a•-xe~

2〃

_2a3

-x2e~a2x2

五

¥二筌2心2”，

令小0=0,得

dx

x=0x=±-x=±co

a

由q(x)的表达式可知，x=0,%=±8时，例(x)=0。显然不是最

大几率的位置。

而右昔)='[(2—6a2x2)-2a2武2》—2。2/)k一小：

=隼[(1-5a2,_2a。4)味.一

d'ay(x)04a'1

dxx=±+—i7V兀e

2

可见X=±[=±|A是所求几率最大的位置。#

a\

2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称:

U(-x)=U(x),证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

方2d2

—T以x)+U(x)"(x)=Ei//1x)

2〃dx

①

将式中的X以(T)代换，得

-Uw(-x)+U(—x)w(—x)=Ew(—x)②

2//dx

利用U(-x)=U(x),得

力2d-

--—"(-X)+U(x)“(-x)=Ew(—x)

2judx

比较①、③式可知，以-x)和“(X)都是描写在同一势场作

用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，

因此"(T)和以X)之间只能相差一个常数C。方程①、③可相互

进行空间反演(X-T)而得其对方，由①经XfT反演，可得

③，

=>=cy/(x)

④

由③再经TfX反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即

是完全等价的。

=>y/(x)=ci//(-x)

⑤

④乘⑤，得

/(X)♦(-X)=cV(x>(-x)

可见，C2=1

C=±1

当C=+1时，^(-x)="(x),=>以x)具有偶宇称，

当C=-1时，M~x)=,(x),=>夕⑶具有奇宇称，

当势场满足U(-x)=U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的

宇称。#

2.7一粒子在一维势阱中

t/0>0,|x|>a

U(x)=<

0,|x|<a

运动，求束缚态(0<E<U。)的能级所满足的方程。

解法一：粒子所满足的S-方程为

方2d2

--^)+f/(xW)=£^)

按势能U(x)的形式分区域的具体形式为

T力2d2

1:1/2-(x)+UoHi(x)=E，|(x)-CD<x<a

2〃dx

①

h1d2

II:匕(x)=E%(x)

2〃dx2

-a<x<a②

力2^2

HI：一丁7T”3(X)+UO/3(X)=E73(X)6Z<X<00

2/Jdx

整理后，得

T,,2〃(U0-E)④

1:W\-------Ti------W\=0

n

II:.+2〃,Ew、=0

h2

in：明一哈斗3=0

_2〃(U°-E)

令k;-

则

I：叫-k：i//[=0⑦

II:.W；-2=。⑧

III:=0⑨

各方程的解为

%=Ae*，x+Bek|X

k=Csink2x+Dcosk2x

kx

忆=Ee+ix+Fe''

由波函数的有限性，有

〃[(一8)有限=>A=0

〃3(°°)有限=>£>=()

因此

%=Bek'x

忆=Fe-k|X

由波函数的连续性，有

k(-a)=〃2(—a)，=Be-"=-Csink2a+Dcosk2a(10)

必(一a)=必(一a),=>1<再6一"=k2Ccosk2a+k2Dsink2a(11)

k,a

“2(a)=^3(a),=>Csink2a+Dcosk2a=Fe~(12)

k,a

必(a)=k2Ccosk2a-k2Dsink2a=-kjFe-(13)

整理（10）、（11）、（12）、（13）式，并合并成方程组，得

k,a

e~B+sink2aC-cosk2aD+0=0

kje^^B-k2cosk2aC-k2sink2aD+0=0

k,a

0+sink2aC+cosk2aD-e-F=0

k,a

0+k2cosk2aC-k2sink2aD+k,e-F=0

解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具

体形式，要方程组有非零解，必须

e-k|a

sink2a-cosk2a0

k,e-k'a-kcoska-ksinka0

2222=0

e-k,a

0sink2acosk2a

k,Be-k,a

0k2cosk2a-k2sink2a

-k2cosk2a~k2sink2a0

ka-ka—

0=e-'sink2acosk2a-e'

ka

k2cosk2a-k2sink2akte-'

sink2a-cosk2a0

-k,a

_（e知sink2acosk2a-e

k2cosk2a-k2sink2a

k,ak,a2

=e~[-k1k2e-cosk^a+kjefsink2acosk2a+

-k,a2-113

+k1k2esink2a+k^e"sink2acosk2a]-

k,a2

一k】e"[Ke艰sink2acosk2a+k2ecosk2a+

k,a2

+1<2一小sink2acosk2a-k2e-sink2a]

=e2k叫一2k]k2cos2k2a+k；sin2k?a-kJsin2k2a]

2k,a

=e-[（k2-k；）sin2k2a-2kjk2cos2k2a]

产.工o

（k；-）sin2k2a-2k}k2cos2k2a=0

即麻-⑹次25_2块2=0为所求束缚态能级所满足的方程。

#

解法二：接（13）式

kk

-Csink2a+Dcosk2a=—Ccosk2a+—Dsink2a

K%

kk

Csinka+Dcoska=——-Ccoska+-Dsinka

22K2%2

—coska+sinka—sinka-caska

]22k1]22

=0

kk

—2cosAra+sinka-(—2sinA：a-cos/a)

A】22h2

-(—cosJt,a+sinJt,a)(—sinJl2a-cosk2a)

*%

kk

-(—2coska+sinka)(—2sinka-coska)=0

*22k[22

k,k

(—cosfctz+sinA:a)(—sinfc^-cosfca)=0

*22%2

k?kk

~^sinkacoska+—sin2ka-----cos2ka-sinAcosA2a=0

k122k12k'J2

&22k

(—14—y)sin2k2。---cos2k—0

*%

(k；-fcf)sin2k2a-2kxk2cos2k2a=0

#

解法三:

11

(11)-(13)=>2k2Dsink2a=k^'(B+F)

-k,a

(10)+(12)z=>2Dcosk2a=e(B+F)

(11)-(13)1,

-------------nk9tgk9a=k(a)

(10)+(12)------22

(11)+(13)=>2kzecosA2a=一3(F-B)e~Uc,a

(12)-(10)n2Csink2a=(F—B)eTW

色3nkctgka=-k

(12)-(10)，，

令=k2a,77=k2a,贝

Jtgj=〃(c)

或JctgJ=-77(d)

产+〃2=（1+月）=警£

(f)

n

合并(a)、(b):

__lkxk2利用-M

*

解法四：(最简方法-平移坐标轴法)

Ttj2

1：_『W\+UoW[=Eyf[(xW0)

2"

TT力,

n：-产〜(0<x<2«)

IH：一富步；+Uo〃3=E犷3

(x>2Q)

2H

心〃3)

%=0

方2

度

=4出2匕一n

〃。一£)

20匕

K-力2=0

V7]-k；%=0(1)k；=2〃(Uo-E)/力2

*+kM=0(2)k；=2〃E"2束缚态0VEVU°

嫉—kM=o(3)

%=Ae+k,x+Be~k,x

Wi=Csin^2x+DCOSA^2X

+k,xk,x

^3=Ee+Fe~

%(-00)有限=>5=0

〃3(oo)有限=>E=0

因此

由波函数的连续性,有

%(0)=〃2(0)，nA=D(4)

归(0)=必(0),nk1A=k2C(5)

2k,a

必(2a)=〃；(2a),=>k2Ccos2k2a-k2Dsin2k2a=-k^e(6)

2k,a

(2a)=〃3(2a),=>Csin2k2a+Deos2k2a=Fe_(7)

⑺代入⑹

k、k

Csin2k2a+Dcos2k2a=——-Ccos2k2a+—£)sin2k2a

k1%

利用(4)、(5),得

kk

-Asin2k?a+Acos2k9a=-Acos2k?a+—Dsin2k9a

k2k.

kk

A[(--------)sin2ka4-2cos2ka]=0

k2ki22

・・,Aw0

kk

/.(—?------)sin2k2a+2cos2k2a=0

k?k1

两边乘上(-显1<2)即得

(k；-k；)sin2k2a-2k]k2cos2k2a=0

#

2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为

oo,x<0,

UQ<x<a

U(x)=<°9

-[/),a<x<b,

0,b<x,

求束缚态的能级所满足的方程。

解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。

定态S-方程为

+U(x)y/{x)=E甲(x)

2〃dx2

对各区域的具体形式为

力2

I:一「巴"+U(x)%=Ey/\(x<0)

2〃

h2〃

II:——“2+〃o”2=EW?(0<x<«)

2〃

力2,〃„

III:一3一U|夕3=E〃3(a<x<b)

2〃

方2

IV:+0=(b<x)

2〃

对于区域I,U(x)=8,粒子不可能到达此区域，故

%(x)=o

①

而.“2=0

稻

2〃W+E)

r3十人=0②

方2

川+,心=。

对于束缚态来说，有-U<E<0

22〃(U°—E)

••_kfi//2~01④

方2

,22屋5+E)

+女;犷3=03⑤

方2

+后沙4=。k：=—2〃£/力2⑥

各方程的解分别为

夕2=Aek'x+Be~k'x

=CsinA:x+

忆2Dcosk2x

夕4=Ee+kiX+Fe-kiX

由波函数的有限性，得

九(8)有限,nE=0

••-4=Fe-"

由波函数及其一阶导数的连续，得

%(0)=匕(0)n8=—A

.2A(e""k,x)=Csincos

(。)=%3)=-e~k2a+Dk2a

⑦

(a)=(a)=A%(*"+cossin

必《e)=Ck2k2a-Dk2k2a⑧

%3)=〃43)=>sincosk3b

Ck2b+Dk2h=Fe~

⑨

6)=>sincoskib

必(〃)=〃；(Ck2k2b-Dk2k2b=-Fk3e~

⑩

巾⑦(8).彳早kH+e%=Ceos七a-Deos七a(口)

kakia

k2e'-e~CsinA^a+OcosA2a

2

由⑨、⑩得(k2cosk2b)C一(々sink2b)D=(-k3sink2b)C-(k3cosk2b)D

(12)

cosk2b+sink2b)C=(-—cosk2b+sink2b)D=0

士3

令”第箸A则①式变为

11

e—eK2

(夕sinA2a-cosk2a)C+(夕cosA2a+sink2a)D=0

联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须

(—cos42〃+sinA2〃)(——-sink2b+cosk2b)

儿343=0

(gsinA2a-cosk2a)cosA:2A+sinA;2a)

即(J3cosA2a+sink2a)(—cosk2b+sink2b)一(夕sin42a—cos七。)・

k3

k

•(一,sin@+c°s3)=0

k3

k、k、

/3—cosk2bcosk2a+—sink2bsink2a+/3sink2bcosk2a+

"无3

k,k、

+sink2bsink2a+P-sink2bsink2a----sink2bcask2a)-

-J3cosk2bsink2a+cosk2bcosk2a=0

sink2(b-a)(j3———)+cos-«)((/7—+1)=0

kig

tgk2(b-a)=(l+^-j3)I/一0

把£代入即得

…kek'a+e-k'\Lkkk'a+e'k'\

2—7-----)/(#2--x7-e------7—)

tgk22(b-a)=(l+—kakaka0

k3e'-e-'/gk2e'-e^

此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。

#

附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。

kaka

(e'-e-')-sink2a-cosk2a0

(ek'a+e~k'a)k-kcoskaks\nka0

22222=0

0sinA2〃cosA2〃-e*。

0k2cosfc2^-k2sink2bge"招

一A2cos七。々2sin々2〃0

kakitt

0=(e*,"-e-')sink2bcosAr26-e~

kia

k2cos/k2b-k2sink2bk3e~

一sinA2a-cosA:2a0

_左】（小+产")=ka

sink2bcos々2》一e-'

k3

k2cosk2b-k2sink2bk3e~0

=（*。_e如kya

)(—k2k3e~cosA2。cosA2〃一sinA2a

kyakya

cosk25-k2kye~sinA2asink2b-k\e~cosfc2asin右))

klbkbkibkyb

-kl(e+e~')(.k2k3e^sink2acosk2b-k2e~cosfc2a

cos々28+k3e2cosk2asink2b+k2e-的"sink2asink2b})

=(*照—e知)[-k2k3cosk2(b-a)+kjsink2(b-a)]e…

一(e"一«如)伏/3sin-2(--。)+欠止2cosMS-a)-—"#

=/悭[一(阳+k3)k2cosk2(b-a)+(k；-k出3)sink2(b-a)]e-2

kiak3h

e-[{k}-k3)k2cosk2(b-a)+(k^kxk3)sink2(b-a)]e

=0

[-(A]+3)42+(左；-4*3)tg%2(》-a)NA"

kyb

-[(k{-k3)k2,Ar3)tgk2(b-a)]e~=0

2kia2k

[(A；-k{k3)e-(k；+k[k3)]tgk2(b-a)-(k{+k3)k2e^

-(k}-k3)k2=0

此即为所求方程。#

补充练习题一

1、设以x）=AJ5**（a为常数），求A=?

解：由归一化条件，有

l=A2「e5x2d(x)=A2，「e-aMd(ax)

=A2—Te-ydy=A