2020-2021学年固原市隆德县高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年固原市隆德县高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1,已知久eR,命题“若/>o,贝卜>0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

xx

2.已知命题p：3x0G（-co,0）,2°<3°,命题q：VxGcosx>3,则下列命题为真命

题的是（）

A.pAqB.pV（-Q）C.（*）AqD.pA（-q）

3.给定两个命题p,q.若"是q的必要而不充分条件，贝加是飞的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列关于向量的概念叙述正确的是（）

A.方向相同或相反的向量是共线向量

B.若■〃-b//c，贝曝〃』

C.若万和b都是单位向量，则反=b

D.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

5.已知双曲线l（a>0,6>0）的左右焦点分别为Fi，F2,过左焦点且倾斜角为30。直线与

右支交于点4,则双曲线离心率取值范围是（）

A.（1,竽）B.（1,2）C.（言,+8）D.（2收）

6.已知非零向量五、石满足五1B，|五一石|=4|方|.设3与另一方的夹角为仇贝hose=（）

A.-B.--C.虎D.-叵

4444

7.如果椭圆有两个顶点为（3,0）,（0,-4）,则其标准方程为（）

丫2-,2丫2.,22.,2丫2.,2

A.上+匕=1B.上+匕=1C.Y^+匕=1D.±+匕=1

4316934916

22

8.双曲线标—左=1缶〉0"〉0）的离心率为声，则它的渐近线为（）

A.y=+xB.y=+V2xC.y—+2xD.y=+V3x

9.在△48C中，已知。是边BC上一点，且CD=28。，设通=优XC=K，用区3表示而=（）

9_^1—1__1—>_^1—1_.?—*

A.-a+-bB,-a+-bC.a--bD.-a+-b

3322333

10.下列给出的命题中：

①如果三个向量落b，己不共面，那么对空间任一向量力，存在一个唯一的有序数组X,y,Z使方=xa+

yb+zc-

②已知。(0,0,0),X(l,o,o),B(0,l,0),C(l,1,1).则与向量四和云都垂直的单位向量只有元=

(展V6_展、

(6，6，3

③已知向量就，OB,而可以构成空间向量的一个基底，贝!1向量瓦5可以与向量而-方和向量力5-

至构成不共面的三个向量.

④已知正四面体。ABC,M,N分别是棱。a,BC的中点，则MN与OB所成的角为?

是真命题的序号为()

A.①②④B.②③④C.①②③D.①④

11.空间直角坐标系。一xyz中，有四个点，4(1,0,0),B(0,l,0),C(0,0,1),£>(3,4,5),则。至U平面力BC

的距离为()

A.3V3B."C.改D.4V3

33

x

12.设集合M={x\2-1>3},P={x|log2x<2},那么“xeM或xeP”是“久eMClP”的()

A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件

C.充分必要条件D.非充分条件，也非必要条件

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.过抛物线y2=6x焦点作直线I,交抛物线于4B两点.若线段48中点M的横坐标为2,则|4B|等

14.在正方体2BCD-&B1C14中，M,N分别是棱CD,CC1的中点，则

异面直线与DN所成的角的大小是.

15.13.过点(2,-2)且与1一/=1有共同渐近线的双曲线方程为

2-

16.已知五=(一2,1,3),b=(3,-4,2)，c=(7,A,5),若五,b，E共面，则实数4=

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.己知椭圆C短轴的一个端点为(0,1),离心率为半.

(I)求椭圆C的标准方程；

(□)设直线y=久+ni交椭圆C于/1、B两点，若|4B|=W，求m.

18.如图，在三棱柱4BC-2/16中，侧面力BB1&是矩形，ABAC=90。，

AAr1BC,AA±=4C=2AB=4,且BQ1A±C

(1)求证：平面4BQ1平面44CC1

(2)设。是&Q的中点，判断并证明在线段BBi上是否存在点E,使DE〃平面

ABCr,若存在，求点E到平面ABC1的距离.

19.如图所示，三棱锥P-4BC放置在以AC为直径的半圆面。上，。为圆心,

8为圆弧4C上的一点，。为线段PC上的一点，且48=BC=PA=3,PB=

3a,PA1BC.

(I)求证：平面B。。1平面H4C；

(II)当二面角D—AB—C的平面角为60。时，求黑的值.

20.已知过抛物线f=2px(p〉0)的焦点，斜率为2a的直线交抛物线于力，B两点，且|明=:

(1)求该抛物线的方程；

(2)过抛物线上的一个点MQ2)作两条垂直的直线MP,MQ分别交抛物线于P,Q两点，试问：直线PQ

是否过定点，并说明理由.

⑶求原点。到直线PQ的最大距离.

21.已知四边形2BCD为平行四边形，BD1,AD,BD=AD,AB=2,四边形

2BEF为正方形，且平面48EF1平面4BCD.

(1)求证：BD_L平面4DF；

(2)若M为CD中点，证明：在线段EF上存在点N,使得MN〃平面4DF,并求

出此时三棱锥N-4DF的体积.

22.已知椭圆M:/+2y2=2.

(I)求知的离心率及长轴长；

(U)设过椭圆”的上顶点4的直线/与椭圆”的另一个交点为8,线段的垂直平分线交椭圆M于

两点.问：是否存在直线Z使得C,。,。三点共线(。为坐标原点)？若存在，求出所有满足条件的

直线I的方程；若不存在，说明理由.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：命题“若久2>0,则X>0”的逆命题是“若X>0,贝卜2>0”，是真命题；

否命题是“若<0,贝卜W0“，是真命题；

逆否命题是“若xW0,则/《0"，是假命题；

综上，以上3个命题中真命题的个数是2.

故选：C.

根据四种命题之间的关系，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假.

本题考查了四种命题之间的关系的应用问题，解题时应弄清四种命题之间的关系，是基础题.

2.答案：C

解析：解：命题p：3x0E(—co,0),2%。<3、。，为假命题，则”为真命题，

命题q：XfxG[-14]，COSX>为真命题，则飞为假命题，

所以pAq为假命题，pV(-iy)为假命题，"Aq为真命题，pA(%)为假命题.

故选：C.

由指数函数y=2"与y=3"的图象易知％E(一8,0)时，2X>3%,贝Up是假命题；由余弦函数y=cosx

的值域易知xe[-1,1]时，cosx>|,贝叼是真命题，然后根据复合命题的真假关系即可作出判断

本题主要考查复合命题的真假关系，同时考查指数函数的图象与余弦函数的值域.

3.答案：A

解析：

本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是「p的

充分不必要条件，是解答的关键，属于基础题.

根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是「p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充

分必要条件的定义得到答案.

解：•・・-)p是q的必要而不充分条件，

・•.q是-ip的充分不必要条件，即q=-ip,但「p不能nq,

其逆否命题为pn-IQ,但不能=>p,

则p是的充分不必要条件.

故选：A.

4.答案：A

解析：解：方向相同或相反的向量是平行向量，也叫做共线向量，所以A正确；

当另=6时，五与?不一定平行，B错误；

单位向量只是定义其模长为1,方向没有要求，所以C错误；

两个向量相等，其起点和终点不一定重合，D错误；

故选：A.

利用平面向量的概念进行判断.

本题考查平面向量的基础知识，考查命题真假性判断的方法，属于基础题.

5.答案：C

解析：

本题考查双曲线的简单性质，属于中档题.

过左焦点且倾斜角为30。直线与右支交于点力，即2>1加30。=更，即b>渔a,c>辿a，从而求出

a333

离心率的范围.

解：过左焦点且倾斜角为30。直线与右支交于点4即=立，

a3

••b>—CL,

3

b=7c2—\2,

・•・Vc2—a2>—a,

3

整理得：c>越a,

3

c2V3

•••e=->—，

a3

・•.e的范围是（竽,+8）

故选C.

6.答案：A

解析：

本题考查了平面向量的数量积运算与夹角公式的应用问题，是基础题目.

根据平面向量的数量积运算与夹角公式，代入计算即可.

解：非零向量五、E满足有1石,\a-b\=4|Kp

・•・方•b=0，

设3与3-方的夹角为氏

\b\x\b-a\\b\x\a-b\4\b\x\b\4

故选:A.

7.答案：D

解析:解：•・•椭圆有两个顶点为(3,0),(0,-4),

•••a=4,b=3,

22

椭圆的标准方程为二+匕=1.

916

故选：D.

椭圆有两个顶点为(3,0),(0,-4),可得a=4,b=3,从而可得椭圆的标准方程.

本题考查椭圆方程，考查学生的计算能力，比较基础.

8.答案：B

解析：

运用离心率公式，再由双曲线的a,b,c的关系，可得a,b的关系，再由渐近线方程即可得到.

本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法.

解：由双曲线的离心率为百，

则e=(=H,即c=ba，

b=Vc2—a2=V3a2—a2=V2a>

由双曲线的渐近线方程为y=±^x,

即有y=±V2x,

故选：B.

9答案:A

•・•CD=2BD；

CD=2DB;

：.AD-AC=2(^45-AD);

AD=-AB+-AC=-a+-b.

3333

故选：A.

可画出图形，根据CD=28。结合图形即可得出方=2而，从而有而-元=2(荏-瓦办从而可

求出而.

考查向量减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算.

10.答案：D

解析：解：①如果三个向量优b，及不共面，由空间向量基本定理可得：对空间任一向量力，存在一

个唯一的有序数组x,y,z使方=xW+yB+zm.

②已知。(0,0,0),4(1,0,0),5(0,1,0),C(l,1,1).则与向量近和死都垂直的单位向量只有元=

士(彳，彳，—彳)，因此不正确.(

③已知向量就，OB，元可以构成空间向量的一个基底，向量雨-话；\

和向量市-南共线，则向量可以与向量市-南和向量瓦？-说不\

能构成不共面的三个向量./,

④已知正四面体。ABC,M,N分别是棱。4BC的中点，如图所示，A--------J--------

不妨设4B=2.取力B的中点为P,连接MP,PN.

可得PM=PN=1,MN=7AN2—AM2=立,；•APMN=.则MN与。B所成的角为£

综上可得：真命题的序号为①④.

故选：D.

①利用空间向量基本定理即可判断出；

②与向量荏和双都垂直的单位向量只有元=±(?,彳,-净.

③由于向量耐-质和向量示-荏共线，则向量力?可以与向量示-话和向量-标不能构成

不共面的三个向量.

④如图所示，不妨设4B=2,取4B的中点为P,连接MP,PN.可得PM=PN=1,MN=

y/AN2-AM2=V2，可得NPMN=%

4

本题综合考查了空间向量基本定理、正四面体的性质、空间角、共线向量等基础知识与基本技能方

法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11.答案：c

解析：

本题考查利用向量法求点到平面的距离，考查运算求解能力，是基础题.

求出平面48C的法向量，利用向量法能求出。到平面ABC的距离.

解：••・空间直角坐标系。-xyz中，有四个点，

2(1,0,0),5(0,1,0),C(0,0,l),D(3,4,5),

•••AD=(2,4,5)，AB=(-1,1,0)，AC=(-1,0,1)，

设平面ABC的法向量元=(x,y,z),

则归里=T+y=0,取元=(1,1,1),

In-AC=—x+z=0

・•.O到平面ABC的距离为：

,\n-AD\1111V3

d=k=古丁

故选C.

12.答案：B

解析：解：2X-1>3,即2*>4=22,解得x>2.

集合M={x|2*-1>3}=(2,+8),

同理可得P={x|log2x<2}=(0,4)>

M\JP=(0,+oo),MCP=(2,4),

那么“XeM或XeP”是“XeMnP”的必要不充分条件.

故选:B.

利用函数的单调性分别化简集合M,P,利用MUP与MCP的关系即可得出.

本题考查了函数的单调性、集合的运算性质及其之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能

力与计算能力，属于基础题.

13.答案：7

解析：解：由题意知，P=3,

•••线段AB中点M的横坐标为2,

**,=2=4,

・,・由抛物线的定义知，［4引=马+%+0=4+3=7.

故答案为：7.

结合中位线的性质和抛物线的定义，即可得解.

本题考查抛物线的定义，熟练利用抛物线解决焦点弦长问题是解题的关键，属于基础题.

14.答案：90°

解析：以。为原点，DA,DC,DA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设48=1,则。(0,0,0),

f工飞f1飞

NM<-©；i,4(1,0,1),

k,K&/

••・磁=：1%*,璃=：工-彳,』‘；，•,•磁•璃=lxO+lxt-i+^xl=0,

•••'藏］璃'，二41M与DN所成的角的大小是90。.

15.答案：———=1

24

解析：设双曲线方程为d-V=喊哪F咻:管-黛鹭V=硼二嬲=

所以双曲线方程为二-三=1.

24

16.答案：—詈

解析：解：由五=(-2,1,3),另=(3,—4,2)，c=(7,A,5),

且落后,不共面，所以存在实数m,n,使得N=7nW+7iB,

即(7,A,5)=m(-2,l,3)+43,-45)，

(—2m+3n=7

列方程组，得加一4九=4，

3m+2n=5

解得772=套,n=~

所以I\IAn=-1--4Ax—31=--1-2-3.

131313

故答案为：一詈.

由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数a的值.

本题考查了空间向量的共面定理应用问题，也考查了解方程组的问题，是基础题.

22

17.答案：解：⑴由题意可设椭圆C的标准方程为京+会=l(a〉6〉0).

,•椭圆C短轴的一个端点为(0,1),离心率为斗.

b=1

£=—,解得口2=9,b=l,c2=8.

a3

a2=b2+c2

.•椭圆C的标准方程为昔+y2=I.

(2)设4(X1，%),B(x2,y2).

y=x-Vm

联立•X2《，

万+y2=]

得10/+18mx+97n2—9=0,

.99m2-9

Xi+x2=--m,X1x2=f-,

2

•••\AB\=V27(%1+%2)-4%I%2=匈T-4x=券

解得m=2.

解析：(1)由题意可设椭圆C的标准方程为真+《=l(a>b>0>由于椭圆C短轴的一个端点为(0,1),

(b=1

离心率为延.可得，解得即可.

3Ia3

Va2=b2+c2

y=x+m

2/消去y得到关于％的一元二次方程，得到根与系数的关

{万+y=1

系，再利用弦长公式即可得出.

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、弦长公式，属于中档题.

18.答案：(1)证明：在三棱柱ABC-ABiG中，侧面4BB14是矩

形，

•••AAr1AB,又441IBC,ABC\BC=B,

•••AA11平面4BC,

AA-^±AC,又441=AC,■-A^C1AC1,

又BC1J.A1C,BCrClAC1=Cr,

&C_L平面4BQ,又4。u平面AiACCi，

平面力BCi1平面44CC1；

(2)解：当E为的中点时，连接4E,EC1，DE,

如图，取的中点F,连接EF,FD,

■■■EF//AB,DF//ACr,

又EFCDF=F,ABCiA^=A,

平面EFD〃平面ABCI,又DEu平面EF。，

•••DE〃平面ABC1，

=

又，^E-ABC1%I-ABE，CI^I_L平面ABE,

设点E到平面ABC1的距离为d,

|x|x2x4V2xd=|x|x2x2x4,得d=V2,

•••点E到平面ABC1的距离为鱼.

解析：（1）在三棱柱ABC-AiBiQ中，由侧面4BB141是矩形，可得A4i1AB,又人人11BC,可得4411

平面2BC,得到力41AC,进一步有21C14G，结合BG1&C,可得&C_L平面ABC1，由面面垂

直的判定得平面ABC】J_平面aacQ；

（2）当E为BBi的中点时，连接4E,EC。DE,取441的中点F,连接EF,FD,由面面平行的判定和

性质可得DE〃平面2BQ,咋爱优等体积法可求点E到平面4BQ的距离为.

本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的

体积，是中档题.

19.答案：（/）证明：•••PA=AB=3,PB=3V2,PAIAB,「1*

又P41BC,4BGBC=B,\\L

PA又B。u平面ABC,\

••PA_LB。，彳）

•.TB=BC,0是ac的中点，

ABO1AC,y.PAC\AC=A,dx

B。_L平面PAC,又BOu平面B。。，

平面BOD1平面PAC.

（〃）解：以。为原点，以08,。。和平面ABC过点。的垂线为坐标轴建立空间坐标系。-孙z,

AB=BC=PA3,PB=3鱼，OA=OB=OC=

2

.•.4（0,一誓,0）,B（呼,0,0）,C（0,誓,0）,P（0,一誓,3）,

...南=（苧，军,0）,正=（0,3&,_3）,而=（0,0,3）,

设器=2（OW2<1）,则丽=2定=（0,3/尢一3；1），：.AD^AP+PD^（0,3722,3-32）,

「一一*(越义出-n

设平面ABD的一个法向量为访=Qy,z),则小,竺=°,即""十三"一口

^m-AD=0(3V22y+(3-3A)z=0

令x=1可得沅=(L-1,若)，

又平面力BC的一个法向量为元=(0,0,1),

__

,•-cos<^,n>=^==^2^+1，

・・・二面角。-AB-C的平面角为60。，

.•.乃占=%解得％=等或％=年(舍)，

.\PD\_

••|PC|-2・

解析：(/)证明。B1AC,OB1P力得出。81平面P4C,故平面BOD1平面P4C；

(〃)设黑=九建立空间坐标系，求出平面4BD和平面ABC的法向量，令法向量的夹角的余弦值的

rLI

绝对值等于I计算;I的值.

本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.

20.答案：解：(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点在久轴的正半轴，焦点尸©,0),

・•・直线力B的方程是y=2A/2（X-9,

5）,整理得：4%2—Spx+p2=0,

\y2—2px

由韦达定理可知：久1+久2=当

4

•••|715|=%1+x2+P=y+P=|>

•••p=2,

••・抛物线方程为必=4%；

22

（2）设P月），Q谶,月），

则丽=（亨一1/1-2）,丽=（学―1/2—2），

由丽•丽=0.

；•瓷一1，为一2）,售一1,%-2）=0，

•••（Yi-2）（为一2）[（乃+2）（y2+2）+16]=0,即为为+2（%+y2）+20=0,

直线PQ的方程：4=言=,广；;比、，

y2~yiZ2-Zi(yz+yi)(y2~yi)

44

..1+4=上+一2(%+及)-20=」2,

yz+yiyz+yiyz+yiyz+yiyz+yi

故直线PQ必过定点(5,-2).

(3)由(2)可知原点。到直线PQ的最大距离为d=J52+(-2尸=V29.

解析：本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查

直线方程的应用，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题.

21.答案：解：(1)证明：正方形4BEF中，AF1AB,

••,平面48£771平面48。。，又ZFu平面48EF,

平面ABEFn平面力BCD=AB,

AF