《电路分析基础(第三版)》(沈元隆-刘栋-编著)-第8章

8-4.理想变压器和全耦合变压器理想变压器的电路符号如以下图，在如图同名端、电压和电流参考方向下，理想变压器的伏安关系为：理想变压器的唯一参数是变比(或匝比):n+u1-**n:1i1+u2-i2有理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：+u1-**n:1i1+u2-i2+－+u1-+u2-i1i1理想变压器可以看成是耦合电感或空芯变压器在理想条件下的极限情况:(1)耦合电感无损耗，即线圈是理想的；(2)耦合系数k=1，即是全耦合；(3)自感系数L1和L2均为无限大，但L1/L2等于常数，互感系数也为无限大。由于同名端的不同，理想变压器还有另一个电路模型，其伏安关系为当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，这两种VCR仅差一个符号。+u1-**n:1i1+u2-i2先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理想变压器的VCR：当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况:耦合线圈的总磁链=自磁链+互磁链，或自磁链-互磁链。8-4-1理想变压器伏安关系推导这里仅讨论第一种(相加的)情况。当耦合系数k=1时，电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈相交链，即：φ11=φ21,φ22=φ12

假设初、次级线圈的匝数分别为N1和N2，那么两线圈的总磁链分别为：Ψ1=Ψ11+Ψ12=N1(φ11+φ12)=N1(φ11+φ22)=N1φΨ2=Ψ22+Ψ21=N2(φ22+φ21)=N2(φ11+φ22)=N2φ式中，φ=φ11+φ22称为主磁通，由电磁感应定律，初、次级电压分别为故得：由耦合电感VCR：从-∞到t积分，有得：由自感、互感的定义：N1φ11=L1i1，N1φ12=Mi2

N2φ21=Mi1，N2φ22=L2i2得：得：**保持不变，即由于u1为有限值，当满足理想化的第三个条件，有类此，可以推导出同名端不同的另一种情况。由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变压器是一种无记忆元件，也称即时元件。如代入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：可见：理想变压器既不耗能，也不储能。由于同名端不同而引起的两种伏安关系不同。两线圈的电压(标同名端处假设为正极)、电流(一侧流入另一侧流出)应如以下图假设：那么不带负号。+u1-**n:1i1+u2-i2-u2+**n:1i1ni1+nu2--u2+**n:1i1i2+u1-+nu2-**n:1i1+u2-ni18-4-2全耦合变压器的电路模型实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而不满足第三个条件，那就是全耦合变压器。两线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有**式，有全耦合变压器的初级电流有两局部组成，其中i称为激磁电流。等效电路模型如下图。+u1-**n:1+u2-i2i1上图中，L1称为激磁电感。这也说明理想变压器由于L1为无穷大(极限情况)，故不需要激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。工程上为了近似获得理想变压器的特性，通常采用导磁率

很高的磁性材料做变压器的芯子。而在保持匝比不变得情况下，增加线圈的匝数，并尽量紧密耦合，使k接近于1。同时使非常非常大，认为增大到无限大。8-5含理想变压器电路的分析计算由于全耦合变压器的等效电路中同样含有理想变压器，激磁电感(即初级电感)可以认为是外接电感，故本节也包括了全耦合变压器电路的分析计算。8-5-1理想变压器的阻抗变换由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以以n倍的关系变换电压、电流外，还可以有n2倍的关系变换阻抗。如：从初级看进去的等效电阻为+-+-+-**RLn:1显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无关。对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：+-+-**n:1+--+**n:1假设次级接负载阻抗，那么从初级看进去的等效阻抗为Zi=n2ZL上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：1.并联阻抗可以从次级搬移到初级；2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。+-+-**n:1adcbN+-+-**n:1adcbN1.并联阻抗可以从次级搬移到初级；(a)(b)由图(a)：得图(b)。上式中：2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。(a)(b)由图(a):得图(b)。+-+-**n:1adcbN+-+-+-**n:1adcbN应该指出：阻抗的n2倍与元件的n2倍是不一样的。电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反:n2×R=(n2R)n2×(j

L)=j

(n2L)利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。例如：ac简化为+-**n:1adcbN+-**n:1dbN电源也可以“搬移”。不过，电源搬移与同名端有关。ac*dbN+-*n:1dcN+-由理想变压器的VCR，简化成没有变压器的电路。理想变压器还可由一个初级线圈与多个次级线圈构成。在图示电压，电流参考方向下，有即：***N1+u1-n1:1i1n2:1+u2-+u3-i2i3由N1i1-N2i2-N3i3=0,或p=u1i1-u2i2-u3i3=0,得从初级看入的等效电导即,有多个次级线圈时，次级阻抗可以一个一个地搬移。其实，多个次级的理想变压器电路，可以认为初级是双线(或多线)并绕，这样就更易理解。-+-*+-*+*****N1+u1-n1:1i1n2:1+u2-+u3-i2i3利用上述结论可以巧妙的计算如下例题：＝1，求ab端的输入阻抗。解：由KVL：等效电路如左图，输入阻抗为：a3:2**3:1*c-j1Ω4Ω+Ů1-3:1**1Fbac4Ω+Ů2-Ω例8-4含理想变压器电路如图，试求和。解：将次级折合到初级**+-+-1:10100

j200

由理想变压器的伏安关系解：将次级折合到初级，根据最大功率匹配条件有+-例8-5,内阻RS=2，负载电阻RL=8，求n=?时，负载电阻与电源到达最大功率匹配？此时，负载获得的最大功率为多少？**+-n:1RSRL时，到达最大功率匹配。理想变压器既不能耗能也不能储能，故等效电路中n2RL吸收的功率就是原电路RL获得的功率:例8-6要使负载获得最大功率，求：n,Pmax。解：将次级折合到初级:**+-n:13

j4

500+-3

j4

500n2

RL’RL’与ZS=3+j4不可能到达共轭匹配。这时可变化的只是变比n，这就是“模匹配”的情况。一般地，理想变压器内阻ZS=RS+jXS，变换后的阻抗，当仅负载阻抗的模可变时，不可能到达共轭匹配，求负载获得最大功率的条件：负载中电阻吸收的功率：要使P到达最大，必须这时，负载获得最大功率。这种情况称为“模匹配”。模匹配时负载中电阻吸收的功率一般比到达共轭匹配时的功率小。这时n=0.1[例8-7]

ωL1=2

，ωL2=8

，ωM=4

，R1=1

，R2=8

，ŮS=4/0˚V。求Ì2+-..ŮSjωL1jωL2R1R2jωMÌ2解：是全耦合理想变压器。+-..ŮSjωL1R1R2n:1Ì2n=√L1/L2=0.5阻抗搬移Ì2/n+-..ŮSjωL1R1n2R2Ì2=0.63/18.4

˚A例8-8：求流过R2的电流I。n=0.5,R1=R2=10,8-5-2含理想变压器电路的一般分析方法列写网络方程和应用戴维南定理是常用的方法。+-n:1+-+-**解：理想变压器没有接成初、次级的形式，故只能列写网孔方程。按照前面的方法假设电压、电流。网孔方程代入数据得例8-9求A、B以左电路的戴维南等效电路。+-+-+-+-+-****ABn2:1n1:1解：含有两个理想变压器，先搬移第一个：ZL**+-+-+-ABn2:1Z2+-AB再搬移第二个：则电阻上没有电流。解：运用VCR：例8-10+-+-3:1**例8-11

解：由VCR和KCL：1:2**解上两式，得例8-12：电路初始状态为零，t=0开关闭合，试求t>0时的电流i(t)解：由参数，全耦合变压器，其等效电路为：2H+2V-**i(t)1H4Hi2(t)4Ωn:1+2V-**i(t)1Hi2(t)4Ω1Ωi1(t)将理想变压器次级搬移到初级，得等效电路，利用一阶电路的三要素法求解。+2V-i(t)1H1Ω1Ωi1(t)iL(t)思考：假设需求i2(t)，应如何求解？i(t)与i2(t)是不是n倍的关系？解：按图所示假设电压、电流。例8-13：求输入阻抗。n:1*+-+-+-*法一：列方程法二:例8-14求输入阻抗:解：按图所示假设电压、电流。由上题完全类似，可得：n:1*+-+-+-*8-6一般变压器的电路模型一般变压器可以用电感或空芯变压器的分析方法，也可以用含有理想变压器的等效电路的方法来分析。这其实也就是变压器电路分析的两种方法。一般变压器的初、次级电感不会是无限大，耦合系数k也小于1。一般的互感线圈(见图a)，由于存在漏磁通，可以想象为如图(b)所示的全耦合电感和漏磁通组成；再运用理想变压器的等效电路，即可得到一般变压器的含理想变压器的等效电路(见图c)。(a)(b)(c)**+u1-+u2-**+u2-+u1-**++－－n:1+u1-+u2-由图(a):由图(c):**++－－n:1+u1-+u2-式中应用了：**++－－n:1+u1-+u2-这两种方法可以相互等效：当取时：**++－－**++－－n:1+u1-+u2-如果还需考虑线圈的绕线电阻和铁芯损失，铁芯变压器