相交线（2个知识点+5类热点题型练）（解析版）-七年级数学下册

第01讲相交线（2知识点+5类热点题型练习）课程标准学习目标①邻补角及其性质②对顶角及其性质掌握邻补角与对顶角的定义，能够准确的判断邻补角与对顶角。掌握邻补角与对顶角的性质，能够熟练的运用性质进行计算。知识点01邻补角及其性质邻补角的概念：如图：像∠AOC与∠AOD这样，有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角是邻补角。邻角的性子：互为邻补角的两个角之和等于180°，即邻补角互补。【即学即练1】1．（2023春•铁西区期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（）A． B． C． D．【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A选项不符合题意；B．∠1与∠2是邻补角，故B选项符合题意；C．∠1与∠2不存在公共边，不是邻补角，故C选项不符合题意；D..∠1与∠2是同旁内角，故D选项不符合题意；故选：B．【即学即练2】2．（2023•青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由邻补角的性质：邻补角互补，即可求解．【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°．故选：A．知识点02对顶角及其性质对顶角的概念：如图：像∠AOC与∠BOD这样，有公共顶点，且一个角的两边两边均与另一个角的两边互为反向延长线，具有这样关系的两个角是对顶角。对顶角的性质：互为对顶角的两个角相等。即对顶角相等。【即学即练1】3．（2023春•阿荣旗期末）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】根据对顶角的概念判断即可．【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角；B、∠1与∠2是对顶角；C、∠1与∠2不是对顶角；D、∠1与∠2不是对顶角；故选：B．【即学即练2】4．（2023春•白银期末）如图，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．145°【分析】根据对顶角相等求解即可．【解答】解：∵∠1＝35°，∠1和∠2是对顶角，∴∠2＝∠1＝35°．故选：A．题型01邻补角的认识【典例1】（2023春•路北区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A． B． C． D．【分析】根据邻补角的定义作答即可．【解答】解：由题意知，C中∠1与∠2是邻补角，故选：C．【变式1】（2023春•闽侯县期末）如所示四个图形中，∠1和∠2是邻补角的是（）A． B． C． D．【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．【解答】解：A、∠1和∠2是对顶角，故A不符合题意；B、∠1和∠2是邻补角，故B符合题意；C、∠1和∠2没有公共顶点，故C不符合题意；D、∠1和∠2是同旁内角，故D不符合题意．故选：B．【变式2】（2023春•晋江市校级期中）下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A． B． C． D．题型02利用邻补角的性质计算【典例1】（2023春•夏邑县期中）已知∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，则∠2＝120°．【分析】根据邻补角的定义求解即可．【解答】解：∵∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，∴∠2＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．【变式1】9．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（）A．30° B．50° C．60° D．80°【分析】由对顶角的性质得到∠AOD＝∠1＝80°，即可求出∠AOE的度数．【解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．故选：B．【变式2】10．（2023春•云浮期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝3∠AOC，则∠BOD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由题意求得∠AOC的度数，继而求得∠BOD的度数．【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∠AOC+∠AOD＝180°，∴4∠AOC＝180°，∴∠AOC＝45°，∴∠BOD＝∠AOC＝45°，故选：D．题型03对顶角的认识【典例1】11．（2023春•莲池区期末）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．【解答】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故A不符合题意；B、∠1与∠2是对顶角，故B符合题意；C、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故C不符合题意；D、∠1与∠2的两边不互为反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故D不符合题意；故选：B．【变式1】12．（2023春•谷城县期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】根据对顶角的定义，结合各个选项中的图形中的∠1、∠2，进行判断即可．【解答】解：由对顶角的定义可知，选项B图形中的∠1与∠2是对顶角，故选：B．【变式2】13．（2022秋•社旗县期末）下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可．【解答】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合，故选：D．题型04利用对顶角的性质计算【典例1】14．（2023秋•南岗区校级期中）如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝60°，则∠2＝30度．【分析】根据对顶角相等结合题意计算即可．【解答】解：∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠2＝60°，∴∠2＝30°，故答案为：30．【变式1】15．（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】根据邻补角的性质以及角平分线的定义即可解决问题；【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝40°，故选：C．【变式2】16．（2023春•阜南县校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，则∠BOD的大小变化是（）A．减少12°27′ B．增大167°33′ C．不变 D．增大12°27′【分析】根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，∴∠BOD的大小变化是12°27′，故选：D．题型05利用邻补角与对顶角的性质综合计算【典例1】17．（2022秋•秀英区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（）A．66° B．76° C．90° D．144°【分析】根据条件∠AOE＝2∠AOC、对顶角相等和补角的定义可得答案．【解答】解：如图，∠1＝∠AOC＝38°．∵∠AOE＝2∠AOC，∴∠AOE＝76°．∴∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠AOE＝180°﹣38°﹣76°＝66°．故选：A．【变式1】18．（2023春•陈仓区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠COB＝110°，则∠BOE的度数是（）A．55° B．70° C．125° D．145°【分析】由角平分线定义得到∠AOE＝∠AOD，由对顶角的性质得到∠AOD＝∠BOC＝110°，因此∠AOE＝55°，由邻补角的性质得到∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．【解答】解：∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD，∵∠AOD＝∠BOC＝110°，∴∠AOE＝55°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．故选：C．【变式2】19．（2023秋•香坊区校级期中）如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数．【分析】根据∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，求出∠EOC30°，根据对顶角的性质得∠BOC＝∠AOD＝80°，即可求出∠EOB的度数．【解答】解：∵∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，∴∠EOC＝×90°＝30°，∵∠AOD＝80°，∴∠BOC＝∠AOD＝80°，∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°．【变式3】20．（2022秋•金凤区校级期末）已知：∠EOC是直角，直线AE、BF、DG交于点O，OD平分∠EOC，∠AOB＝40°，求：∠1和∠BOD、∠EOG的度数．【分析】利用角平分线的定义可得∠DOE＝∠EOC＝45°，从而利用对顶角相等可得∠1＝∠DOE＝45°，然后再利用平角定义求出∠BOD和∠EOG的度数，即可解答．【解答】解：∵∠EOC＝90°，OD平分∠EOC，∴∠DOE＝∠EOC＝45°，∴∠1＝∠DOE＝45°，∴∠EOG＝180°﹣∠1＝135°，∵∠AOB＝40°，∴∠BOD＝180°﹣∠DOE﹣∠AOB＝95°，∴∠1的度数为45°，∠BOD的度数为95°，∠EOG的度数为135°．1．（2023秋•道里区校级期中）在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论．【解答】解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有选项B．故选：B．2．（2023秋•珠海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，则∠COE的度数为（）A．145° B．150° C．155° D．160°【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到，然后根据平角的概念求解即可．【解答】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OE平分∠BOD，∴，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝160°．故选：D．3．（2023春•招远市期末）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（）A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断．【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．故选：B．4．（2023春•茶陵县期末）如图，直线a、b相交，∠1＝130°，则∠2+∠3＝（）A．50° B．100° C．130° D．180°【分析】根据图形及∠1＝130°可求出∠2和∠3的值，进而能得出∠2+∠3的值．【解答】解：由图形可得：∠2＝∠3＝180°﹣∠1＝50°，∴∠2+∠3＝100°．故选：B．5．（2023春•威县校级期末）如图，直线a，b相交，∠1：∠2＝2：7，则∠3的度数是（）A．20° B．40° C．45° D．60°【分析】根据∠1+∠2＝180°，∠1：∠2＝2：7，即可求出∠1的度数，再根据对顶角相等即可得出∠3的度数．【解答】解：∵∠1：∠2＝2：7，∴设∠1＝2x，∠2＝7x，∵∠1+∠2＝180°，∴2x+7x＝180°，∴x＝20°，∴∠1＝40°，∴∠3＝∠1＝40°，故选：B．6．（2023春•泾阳县期中）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（）A．72° B．90° C．108° D．144°【分析】根据邻补角的概念求出∠AOD，根据角平分线的定义求出∠DOE，再根据邻补角的概念计算，得到答案．【解答】解：∵∠1＝36°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOD＝72°，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝108°，故选：C．7．（2023•江油市开学）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是（）A．∠BCD B．∠FDB C．∠BDN D．∠CDB【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解．【解答】解：观察图形可知，∠PDM的对顶角是∠BDN．故选：C．8．（2023春•和平区校级月考）如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系不一定成立的是（）A．∠1+∠2＝180° B．∠1﹣∠3＝90° C．∠2＝∠3 D．∠3+∠1＝180°【分析】根据邻补角的定义和对顶角的性质分别判断即可．【解答】解：由图可知：∠1和∠2为邻补角，∠1和∠3为邻补角，∠2和∠3为对顶角，∴∠1+∠2＝180°，∠3+∠1＝180°，∠2＝∠3，∴选项A，C，D成立，选项B不一定成立．故选：B．9．（2023春•川汇区期中）如图，直线BD，CE相交于点O，OB平分∠AOC，若∠AOE＝112°，则∠DOE＝（）A．34° B．35° C．36° D．39°【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，然后根据角平分线的定义求出∠BOC，再根据对顶角相等求出∠DOE即可．【解答】解：∵∠AOE＝112°，∴∠AOC＝68°，∵OE平分∠AOC，∴∠BOC＝34°，∴∠DOE＝∠BOC＝34°．故选：A．10．（2023春•威县期末）如图，为测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，甲、乙两人的测量方案如表：方案一方案二甲：分别作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，就得到∠AOB的度数．乙：作BO的延长线OD，量出∠AOD的度数后可通过180°﹣∠AOD得到∠AOB的度数．下列判断正确的是（）A．甲能得到∠AOB的度数，乙不能 B．乙能得到∠AOB的度数，甲不能 C．甲、乙都能得到∠AOB的度数 D．甲、乙都不能得到∠AOB的度数【分析】根据对顶角相等，邻补角互补，进行判断作答即可．【解答】解：由题意知，方案一，由对顶角相等可得∠AOB＝∠COD，甲能得到∠AOB的度数；方案二，由邻补角互补可得，∠AOB＝180°﹣∠AOD，乙能得到∠AOB的度数；故选：C．11．（2023•高台县开学）两直线相交，若∠1和∠2是一对对顶角，且∠1+∠2＝280°，则∠2＝140度．【分析】根据对顶角相等进行计算即可．【解答】解：∵∠1和∠2是一对对顶角，∴∠1＝∠2，又∵∠1+∠2＝280°，∴∠2＝，故答案为：140．12．（2023春•鄄城县期中）如图是一把剪刀示意图，∠AOB+∠COD＝80°，∠AOC＝140°．【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝80°，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＝40°，∵∠AOC+∠AOB＝180°，∴∠AOC＝140°，故答案为：140°．13．（2023•南岗区校级开学）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE：∠BOE＝2：5，则∠EOD的度数为120°．【分析】根据已知∠COE：∠BOE＝2：5，从而根据∠COE和∠DOE为邻补角即可求出两角的度数；要求∠BOD的度数，结合对顶角相等可知直线求出∠AOC的度数，则此时结合上述所求，根据角平分线的定义即可解答．【解答】解：∵∠COE：∠BOE＝2：5，∴设∠COE＝2x，∠BOE＝5x，∵OA平分∠COE，∴∠AOE＝∠AOC＝x，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴x+5x＝180°，∴x＝30°，∴∠BOE＝5x＝150°，∵∠BOD＝∠AOC＝30°，∴∠EOD＝120°，故答案为：120°．14．（2023春•泗水县期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝∠BOC，∠AOD的度数是135°．【分析】设∠1＝∠2＝x，根据得出∠BOC＝3x，根据∠1+∠BOC＝180°列出关于x的方程，解方程即可．【解答】解：设∠1＝∠2＝x，∵，∴，∴∠BOC＝3x，∵∠1+∠BOC＝180°，∴x+3x＝180°，解得：x＝45°，则∠BOC＝3x＝135°．故答案为：135°．15．（2023春•遵义期末）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角；如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角；如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角；则n条直线相交于一点，有2n（n﹣1）组不重复的邻补角．【分析】结合已知条件及图形总结规律即可．【解答】解：由①得4＝2×1×2，由②可得12＝3×2×2，由③可得24＝4×3×2，那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有2n（n﹣1）组，故答案为：2n（n﹣1）．16．（2023春•榆林期末）如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2＝80°，求∠AOE的度数．【分析】根据∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2（对顶角相等）得出∠1＝∠2＝40°，进而求出∠AOD＝140°，再利用角平分线的定义求解即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝40°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOD，∴．17．（2023春•渭南期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠DOE＝2：3，若∠AOC＝70°，求∠AOE的度数．【分析】根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．【解答】解：∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠AOC＝70°，∵∠BOE：∠EOD＝2：3，∴∠BOE＝×70°＝28°，∴∠AOE＝180°﹣28°＝152°．18．（2023春•南丹县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；（2）若∠BOE：∠EOC＝1：3，求∠AOC的度数．【分析】（1）根据补角的定义可以求出∠EOD，再根据角平分线的性质即可求解；（2）根据平角的定义和题中角的比可求出∠BOD，再根据对顶角相等即可求解．【解答】解：（1）∵∠EOC＝110°，∴∠EOD＝180°﹣∠EOC＝70°，∵OB平分∠EOD，∴；（2）∵OB平分∠EOD，∴，∵∠BOE：∠EOC＝1：3，∴∠EOC＝3∠BOE＝3∠BOD，∵∠EOC+∠DOE＝180°，∴3∠BOD+2∠BOD＝18