2015年浙江省高考数学卷(理科)真题

2015年浙江省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一

考试（浙江卷）数学（理科）

1.（5分）（2015•浙江）已知集合P={xlx2-2x20},Q={xll<x<2},则（CRP）DQ=（）

A[0,1）B（0,2]C（1,2）D[1,2]

2.（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）

主视图侧视图

2

俯视图

A8cm3B12cm3C323D403

丁cm

3.(5分)(2015•浙江)已知｛an｝是等差数列,公差d不为零,前n项和是S,1，若a3,明,

as成等比数列，则()

Aaid>0,dS4Ba|d<0,dS4Caid>0,dS4Daid<0,dS4

.>0.<0.<0.>0

4.(5分)(2015•浙江)命题"VneN*,f(n)eN*且f(n)4n”的否定形式是()

AVnGN,f(n)BVnGN,f(n

.£N*且f(n).£N*或f(n)

>n>n

*

C3noGN,fDSnoEN,f

.(n0)0N*且.(no)CN*或

f(n())>n0f(n0)>n0

5.（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为E不经过焦点的直线上有三个不

同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则4BCF与4ACF的面积之

比是（）

c|BF|+I

|BF|2+i

.|AF|+1

|AF|2+i

6.(5分)(2015•浙江)设A,B是有限集，定义：d(A,B)=card(AUB)-card(AAB),

其中card(A)表示有限集A中的元素个数()

命题①：对任意有限集A,B,"AxB"是"d(A,B)>0"的充分必要条件；

命题②：对任意有限集A,B,C,d(A,C)<d(A,B)+d(B,C)

A命题①和命B命题①和命

.题②都成立题②都不成

C命题①成立,D命题①不成

.命题②不成立，命题②成

立立

7.(5分)(2015•浙江)存在函数f(x)满足，对任意X6R都有()

Af(sin2x)=sinxBf(sin2x)Cf(x2+l)=lx+llDf(x2+2x)

2

..=x+x.・=lx+ll

8.(5分)(2015•浙江)如图，已知△ABC,D是AB的中点，沿直线CD将4ACD折成

△A'CD,所成二面角A'-CD-B的平面角为a,贝ij()

ANA'DB<aBNA'DB>aCNA'CB<aDNA'CB>a

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

2、

9.(6分)(2015•浙江)双曲线二-yZl的焦距是，渐近线方程

2y

是.

x+^-3,x》l

10.（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）={x，则f（f（-3））=,

lg（x2+l）>x<l

f（x）的最小值是.

11.（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+l的最小正周期是,单

调递减区间是.

12.（4分）（2015•浙江）若a=log43,贝lj2a+2一，.

13.（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点

M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.

14.（4分）（2015•浙江）若实数x,y满足x2+y2q,则I2x+y-21+16-x-3yl的最小值

是.

15.（6分）（2015•浙江）已知々，，4c是空间单位向量，e,若空间向量芯满足

口1'02122

b*ej=2>b*e且对J.任意x,yeR,

-

Ib（xej+yeg）l>lb-（XQe1+y0e2）1=1（XQ>yQ€R）,则

xo=，yo=，Ibl=

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（14分）（2015•浙江）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A*TT,

4

,2212

b-a=^c.

2

（1）求tanC的值；

（2）若AABC的面积为3,求b的值.

17.（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC-A|BiCi中，ZBAC=90°,AB=AC=2,A|A=4,

Ai在底面ABC的射影为BC的中点，D是B]Q的中点.

（1）证明：AiDL平面AiBC；

(2)求二面角Ai-BD-Bi的平面角的余弦值.

18.(15分)(2015•浙江)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bGR).记M(a,b)是If(x)I

在区间［-1,1］上的最大值.

(1)证明：当碓2时,M(a,b)>2；

(2)当a,b满足M(a,b)42时，求lal+lbl的最大值.

19.(15分)(2015•浙江)已知椭圆a+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+>|对

称.

(1)求实数m的取值范围；

(2)求aAOB面积的最大值(O为坐标原点).

20.(15分)(2015•浙江)已知数列闻｝满足且a»产an-a5(nCN*)

a*

(1)证明：-2-<2(nGN)；

an+l

s

(2)设数歹ij｛a2｝的前n项和为Sn，证明，1、<一<,1、(n6N*).

2(n+2)*n(n+1)

2015年浙江省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一

考试（浙江卷）数学（理科）

1.（5分）（2015•浙江）已知集合P={xlx2-2x20},Q={xll<x<2},贝lj（CRP）CQ=（）

A10,1）B（0,2]C（1,2）D[1,2]

考点：交、并、补集

的混合运算.

专题：集合.

分析：求出P中不等

式的解集确

定出P,求出

P补集与Q的

交集即可.

解答：解：由P中不

等式变形得：

x(x-2)>0,

解得：X40或

X22,即P=(-

8,0]U[2,

+00),

/.CRP=(0,

2),

VQ=(1,2],

(CRP)

CQ=(1,2),

故选：C.

点评：此题考查了

交、并、补集

的混合运算，

熟练掌握运

算法则是解

本题的关键.

2.（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）

主视图恻视图

2

俯视国

A8cm3B12cm3

C323D403

.~3CTD

考点:由三视图求

面积、体积.

专题:空间位置关

系与距离.

分析:判断几何体

的形状，利用

三视图的数

据，求几何体

的体积即可.

解答:解：由三视图

可知儿何体

是下部为棱

长为2的正方

体，上部是底

面为边长2的

正方形奥为2

的正四棱锥，

所求几何体

的体积为：

2^+AX2X2X2=

3

323

3cm-

故选：C.

点评:本题考查三

视图与直观

图的关系的

判断，几何体

的体积的求

法，考查计算

能力.

3.（5分）（2015•浙江）已知｛an｝是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3,

ag成等比数列，则（）

Aaid>0,（IS4Baid<0,dS4Ca|d>0,dS4Daid<0,dS4

.>0.<0.<0.>0

考点：等差数列与

等比数列的

综合.

专题：等差数列与

等比数列.

分析：由a3，34,ag

成等比数列，

得到首项和

公差的关系，

即可判断aid

和dS4的符

号.

解答：解：设等差数

列—的首项

为ai，则

a3=ai+2d,

a4=ai+3d,

ag=ai+7d,

由a3，曲，ag

成等比数列，

得

（aj+3d）2

,整理得：

3ajd=-5d2

Vd#0,

二d=--A

5al

_-32

a产df1

dS4=-_5al

■■lal(4al

<0.

故选：B.

点评:本题考查了

等差数列和

等比数列的

性质，考查了

等差数列的

前n项和,是

基础题.

4.(5分)(2015•浙江)命题"VneN",f(n)GN*(n)4n"的否定形式是(

AVnGN.f(n)BVn6N*,f(n)

.任N*且f(n).CN*或f(n)

>n>n

C3n0GN*,fD3n()GN,f

•(n0)CN*且.(n0)CN*或

f(no)>n0f(n0)>n0

考点:命题的否定.

专题:简易逻辑.

分析:根据全称命

题的否定是

特称命题即

可得到结论.

解答:解：命题为全

称命题，

则命题的否

定为：

3n0GN*,f

(n0)CN*或

f(no)>no>

故选:D.

点评:本题主要考

查含有量词

的命题的否

定，比较基

础.

5.（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不

同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上，点C在y轴匕则4BCF与4ACF的面积之

比是（）

|AF|2-1|AF|2+1

考点:直线与圆锥

曲线的关系.

专题:圆锥曲线的

定义、性质与

方程.

分析:根据抛物线

的定义，将三

角形的面积

关系转化为

典斗的关系

|AC|

进行求解即

可.

解答:解：如图所

示，抛物线的

准线DE的方

程为x=-1,

过A,B分别

作AE_LDE

于E,交y轴

于N,

BD±DE于

E,交y轴于

M,

由抛物线的

定义知

BF=BD,

AF=AE,

则IBMI=IBDI

-1=IBFI-1,

IANI=IAEI-

1=IAFI-1,

则

,△BCF=

SAACF

IBCLIBMI

IACIIANI

_BF|-1

""AFI-f

点评:本题主要考

查三角形的

面积关系，利

用抛物线的

定义进行转

化是解决本

题的关键.

6.(5分)(2015•浙江)设A,B是有限集，定义：d(A,B)=card(AUB)-card(AAB),

其中card(A)表示有限集A中的元素个数()

命题①：对任意有限集A,B,"AHB"是"d(A,B)>(T的充分必要条件;

命题②：对任意有限集A,B,C,d(A,C)<d(A,B)+d(B,C)

A命题①和命B命题①和命

.题②都成立.题②都不成

、/.

C命题①成立,D命题①不成

.命题②不成.立，命题②成

考点：复合命题的

真假.

专题：集合；简易逻

辑.

分析:命题①根据

充要条件分

充分性和必

要性判断即

可，

③借助新定

义，根据集合

的运算，判断

即可.

解答:解：命题①：

对任意有限

集A,B,若

〃AxB〃，则

AUBMAB,

则card

(AUB)>

card(AAB),

故"d(A,B)

>0〃成立，

若d(A,B)

>0〃，贝Ijcard

(AUB)>

card(AClB),

则

AUBxAAB,

故A/B成立，

故命题①成

立，

命题②,d(A,

B)=card

(AUB)-

card(AClB),

d(B,C)=card

(BUC)-

card(BAC),

Ad(A,B)

+d(B,C)

=card(AUB)

-card

(AAB)

+card(BUC)

-card

(BAC)

=lcard

(AUB)

+card

(BUC)]-

[card(AAB)

+card

(BPC)]

>card(AUC)

-card

(ADC)=d

(A,C),故

命题②成立，

故选：A

点评：本题考查了，

元素和集合

的关系，以及

逻辑关系，分

清集合之间

的关系与各

集合元素个

数之间的关

系，注意本题

对充要条件

的考查.集合

的元素个数，

体现两个集

合的关系，但

仅凭借元素

个数不能判

断集合间的

关系，属于基

础题.

7.(5分)(2015•浙江)存在函数f(x)满足，对任意X6R都有()

Af(sin2x)=sinxBf(sin2x)Cf(x2+l)=lx+llDf(x2+2x)

2

..=X+X..=1x4-11

考点：函数解析式

的求解及常

用方法.

专题：函数的性质

及应用.

分析：利用X取特殊

值，通过函数

的定义判断

正误即可.

解答:解：A.取

x=0,则

sin2x=0,/.f

(0)=0：

取x』，则

2

sin2x=0,/.f

(0)=1；

/.f(0)=0,

和1,不符合

函数的定义；

・••不存在函

数f(x),对

任意XGR都

有f(sin2x)

=sinx；

B.取x=0,

则f(0)=0；

取X=TG则f

o

(0)=TT+TI；

：.f(0)有两

个值，不符合

函数的定义；

.•.该选项错

误；

C.取x=l,

则f(2)=2,

取x=-1,则

f(2)=0；

这样f(2)有

两个值，不符

合函数的定

义；

,该选项错

误；

D.令x+H=t,

t>0,则f(t2

-1)=t;

令t?-1=X,

则t=Vx+l；

f(X)=Vx+：

即存在函数f

（x）=Vx+l，

对任意xGR,

都有f

（X2+2X）

=lx+ll；

・••该选项正

确.

故选：D.

点评:本题考查函

数的定义的

应用，基本知

识的考查，但

是思考问题

解决问题的

方法比较难.

8.（5分）（2015•浙江）如图，已知aABC,D是AB的中点，沿直线CD将4ACD折成

△A'CD,所成二面角A'-CD-B的平面角为a,贝U（）

ANA'DB<aB/A'DB>aCZAZCB<aDNA'CB>a

考占.二面角的平

面角及求法.

专题：创新题型；空

间角.

分析：解：画出图

形，分

AC=BC,

ACwBC两种

情况讨论即

可.

解答：解：①当

AC=BC时，

NA'DB=a；

②当AOBC

时，如图，点

A'投影在

AE±,

a=NA'OE,

连结AA',

易得

NADA'<

NAOA',

二/A'DB

>/A'OE,

即NA'DB

>a

综上所述，

NA'DB>a,

点评:本题考查空

间角的大小

比较，注意解

题方法的积

累，属于中档

题.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

9.（6分）（2015•浙江）双曲线号-y^=l的焦距是，遥渐近线方程是丫=士亭

考占•

V八、、•双曲线的简

单性质.

专题:计算题；圆锥

曲线的定义、

性质与方程.

分析:确定双曲线

中的几何量，

即可求出焦

距、渐近线方

程.

解答:解：双曲线

中，a=五,

b=1,0=5/3,

焦距是

2c=2y[s，渐

近线方程是

y=±^x.

2

故答案为：

273；

y=±^x.

2

点评:本题考查双

曲线的方程

与性质，考查

学生的计算

能力，比较基

础.

x--3,

10.(6分)(2015•浙江)已知函数f(x)=1x，贝ijf(f(-3))=0

lg(x2+l),X<1

f(x)的最小值是

考点:函数的值.

专题:计算题；函数

的性质及应

用.

分析:根据已知函

数可先求f

(-3)=1,

然后代入可

求f(f(-3))；

由于x>l时,

f(X)

-xLJ，

x

当X<1时，f

(x)=Ig

(x2+l),分

别求出每段

函数的取值

范围，即可求

解

解答:解：Vf(x)

x+^-3,xa

.X

lg(x2+l)

：.f(-3)

=lglO=l,

则f(f(-3))

=f(1)=0,

当x"时,f

(x)

x+~-3,2y

x

，即最小值

2近~3,

当X<1时，

x2+l>l>(x)

=lg(x2+l)>0

最小值0,

故f(x)的最

小值是

2近~3.

故答案为：0；

2近~工

点评：本题主要考

查了分段函

数的函数值

的求解，属于

基础试题.

11.(6分)(2015•浙江)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+l的最小正周期是n,单调递减区

间是[kn+卫,kn+-I2L|(keZ).

88

考占・

V，、、、•两角和与差

的正弦函数;

三角函数的

周期性及其

求法：正弦函

数的单调性.

专题:三角函数的

求值.

分析:由三角函数

公式化简可

得f(X)

-^^sin(2x

2

-2L)出

42

易得最小正

周期，解不等

式

TT

2kn+—<2x

2

玉2kn+空

42

可得函数的

单调递减区

间.

解答:解：化简可得

f(x)

.2,.

=sinx+sinxco

sx+1

=A(i-

2

cos2x)

+-isin2x+I

2

=A/^sin(2x

2

-2L)W

42

...原函数的

最小正周期

为丁卫£=兀，

2

由

TT

2kli+——<2x

2

2L<2kn+12L

42

可得

kn+空4x4k

8

7兀

n+-!—,

8

.•.函数的单

调递减区间

为[kn+卫，

8

kn+I2L]

8

(kGZ)

故答案为：71；

[kn+12L,

8

k.n+-7——兀1

8

(kez)

点评：本题考查三

角函数的化

简，涉及三角

函数的周期

性和单调性，

属基础题.

(2015•浙江)若a=log43,则2。2%=_或1_

12.(4分)

考V占AV、.•对数的运算

性质.

专题：函数的性质

及应用.

分析：直接把a代入

2a+23然后

利用对数的

运算性质得

答案.

解答：解：

*.*a=log43,可

知4a=3,

即2a=V3，

所以2a+2-

4M

~~3~'

故答案为：

延

点评:本题考查对

数的运算性

质，是基础的

计算题.

13.（4分）（2015•浙江）如图,三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点

M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是工.

考点：异面直线及

其所成的角.

专题：空间角.

分析：连结ND,取

ND的中点

为：E,连结

ME说明异面

直线AN,CM

所成的角就

是NEMC通

过解三角形，

求解即可.

解答：解：连结ND,

取ND的中

点为：E,连

结ME,则

ME〃AN,异

面直线AN,

CM所成的角

就是NEMC,

：AN=2近，

•,.ME=A/2=E

N,MC=2M，

又

VEN±NC,

：.EC=

VEM+NC*

V3.

.'.cosZEMC

EM2+MC2-E

2EM-MC

2+8-3

2X&X2M

_7

下

故答案为：」.

8

点评:本题考查异

面直线所成

角的求法，考

查空间想象

能力以及计

算能力.

14.（4分）（2015•浙江）若实数x,y满足x2+y2q,贝lj|2x+y-21+16-x-3yl的最小值是3.

考点:函数的最值

及其几何意

义.

专题:不等式的解

法及应用；直

线与圆.

分析:根据所给x,y

的范围，可得

16-x-3yl=6

-x-3y,再

讨论直线

2x+y-2=0将

圆X?+y2=l分

成两部分，分

别去绝对值，

运用线性规

划的知识，平

移即可得到

最小值.

解答:解：由

x?+y2sl,可得

6-x-3y>

0,BPI6-x-

3y1=6-x-

3y-

如图直线

2x+y-2=0将

圆x2+y2=l分

成两部分，

在直线的上

方(含直线),

即有2x+y-

2>0,即12+y

-2l=2x+y-

2,

此时I2x+y-

21+16-x-

3yl=(2x+y-

2)+(6-x-

3y)=x-

2y+4,

利用线性规

划可得在A

(旦当处

55

取得最小值

3；

在直线的下

方(含直线),

即有2x+y-

2<0,

即12+y-21=

-(2x+y-

2),

此时I2x+y-

21+16-x-

3yl=-(2x+y

-2)+(6-x

-3y)=8-3x

-4y,

利用线性规

划可得在A

(殳,i)处

55

取得最小值

3.

综上可得，当

x],y]时,

I2x+y-21+16

-x-3yl的最

小值为3.

故答案为：3.

点评:本题考查直

线和圆的位

置关系，主要

考查二元函

数在可行域

内取得最值

的方法，属于

中档题.

15.（6分）（2015•浙江）已知％,,4c是空间单位向量，A,•Z--，若空间向量含荫足

匕］，口2122

b•e1=2,b•巳小盘且对于任意x,y£R,

1/Q

-

Ib(x1>1b-(x0e1+y0e2)1=1(x0.yQ€R)，则X()=_1_>

V()=2,|bl=_2V2_.

考点：空间向量的

数量积运算;

平面向量数

量积的运算.

专题：创新题型；空

间向量及应

用.

分析：由题意和数

量积的运算

可得<

』，不妨设

3

-iVs

122

0),e^=(I,

0,0),由已

知可解!>=

可得lb-

/~*—1,

'xe[+ye2

*号

2+^(y-2)

4

2+t2,山题意

可得当

X=Xo=l,

y=yo=2时，

(X+Zli)

2

2+t2取最小值

1,由模长公

式可得|bl.

解答:解：

••••I

,eTe2=l

el"e2lcos<

p•p>

ele2

=cos<

---,

2

,el，e2

>』，不妨

3

设］=e'

近,0)，

22

(1,0,0),

b=(m,n,t),

则由题意可

知

—**］

b・e］《m+

在n=2,

2

—b♦—已~c*二m。5

De22

,解得m=i,

_2

Vs.T

,・・b=

2

出,登,t),

22

Vb-

kxe।+ye2

)=(5-lx

22

-y，_

V3_V3

y,

2--2

t),

，正-

xej+ye2

|2=(5-lx-

22

y)2+

V3_V3)

22

22

~+t

2,.2

=x+xy+y-

4x-

5y+t2+7=

y-4

(x+^—)

2

2g(y-2)

4

92

X,

由题意当

X=Xo=1,

y=yo=2时,

(y-4.

(X4-------)

2

2+^(y-2)

4

2+tz取最小值

1,

此时t2=l,故

Ibl=

=2我

故答案为：1;

2；272

点评:本题考查空

间向量的数

量积，涉及向

量的模长公

式，属中档

题.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（14分）（2015♦浙江）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=2L,

2

（1）求tanC的值；

（2）若aABC的面积为3,求b的值.

考点:余弦定理.

专题:解三角形.

分析:(1)由余弦

定理可得：

2_,2,2_

a-b+c

,已知b?-

a2=lc2.可得

2

3V2c

a里利

4c

用余弦定理

可得cosC.可

得

sinC=

71-cos2C

,即可得出

tanC-sinC.

cosC

(2)由

^AABCqabs

cX-

叵3,可