2022年北京初二（下）期末数学试卷汇编：平行四边形

第1页/共1页2022北京初二（下）期末数学汇编平行四边形一、单选题1．（2022·北京延庆·八年级期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角2．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（

）A．2 B．4 C．8 D．103．（2022·北京门头沟·八年级期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明菱形是正方形，这个条件可以是（

）A． B． C． D．4．（2022·北京平谷·八年级期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（

）A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．四个角都相等5．（2022·北京西城·八年级期末）点P从某四边形的一个顶点A出发，沿着该四边形的边逆时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，点P与该四边形对角线交点的距离为y，表示y与x的函数关系的大致图像如图所示，则该四边形可能是（

）A． B．C． D．6．（2022·北京东城·八年级期末）如图，在中，AD＝AC，∠ACD＝70°，则∠B的度数是（

）A．40° B．60° C．70° D．80°7．（2022·北京顺义·八年级期末）学习了四边形之后，王老师用如下图所示的方式表示了四边形与特殊的四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（

）A．M表示菱形，N表示正方形 B．M表示正方形，N表示菱形C．M表示正方形，N表示梯形 D．M表示菱形，N表示梯形二、填空题8．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，在矩形中，，M为的中点，沿过点M的直线翻折，使点C落在边上，记折痕为，则折痕的长为_________．9．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为___________．10．（2022·北京门头沟·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发，以同样每秒个单位的速度沿折线向点运动，当，有一点到达终点时，点，同时停止运动．设点，运动时间为秒，在运动过程中，如果，那么______秒．11．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在直线外选一点C，连接和分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为10m，则A，B两点间的距离为________．12．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DFEG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是___．(写出一个即可)13．（2022·北京门头沟·八年级期末）在▱中，对角线，相交于点，点为的中点，如果▱周长为，，那么______．14．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，则第二个正方形的面积为_____________，第n个正方形的面积为_____________（用含n的代数式表示）．15．（2022·北京房山·八年级期末）已知：直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，当点P在直线上运动时，平面内存在点Q，使得以点O、P、B、Q为顶点的四边形是菱形，请你写出所有满足条件的点Q的坐标______．16．（2022·北京东城·八年级期末）如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则M，C两点间的距离为______km．17．（2022·北京西城·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若，，则菱形ABCD的面积是______．18．（2022·北京朝阳·八年级期末）如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）．三、解答题19．（2022·北京市燕山教研中心八年级期末）下面是小芸设计的“作平行四边形ABCD的边AB的中点”的尺规作图过程．已知：▱ABCD．求作：点P，使点P为边AB的中点．作法：①作射线DA；②以点A为圆心，BC长为半径画弧，在点A左侧与射线DA交于点E；③连接CE交AB于点P．点P即为所求作的边AB的中点．根据小芸设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接AC，EB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC．∵AE＝，∴四边形EBCA是平行四边形，（）（填推理的依据）∴AP＝PB，（）（填推理的依据）点P即为所求作的边AB的中点．20．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，四边形是正方形，点E是边上的点，连接，，过点D作，垂足为F，延长到点G，使，连接，，延长交的延长线于点H．(1)依题意补全图形；(2)用含α的式子表示；(3)直接写出的度数；(4)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．21．（2022·北京门头沟·八年级期末）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图，线段，，及．求作：矩形，使，．作法：如图，①在射线，上分别截取，；②以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；③连接，．四边形就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：(1)使用直尺和圆规，依作法补全图（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：，______，四边形是平行四边形（_____）（填推理的依据）．，四边形是矩形（______）（填推理的依据）．22．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，在矩形中，，相交于点O，，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．23．（2022·北京延庆·八年级期末）在平面直角坐标系中，对于直线l：（）与图形M给出如下定义：若直线l与图形M有两个交点P，Q，则线段的长度称为直线l关于图形M的“截距”．如图，矩形的其中三个顶点的坐标为，，．(1)点C的坐标是．(2)直线关于矩形的“截距”是；直线关于矩形的“截距”是，求m的值．(3)如果直线（）经过点，且关于矩形的“截距”的最小值是，求k的取值范围．24．（2022·北京延庆·八年级期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，在中，．求作：矩形．小明的思考过程是：（1）由于求作矩形，回顾了矩形的定义和判定：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；矩形判定1：对角线相等的平行四边形是矩形；矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形．（2）条件给出了，可以选矩形的定义或者矩形判定2；经过思考，小明选择了“矩形定义”．（3）小明决定通过作线段AC的垂直平分线，作出线段的中点O，再倍长线段，从而确定点D的位置．小明的作法如下：作法：（1）分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线，直线交于点O；（3）作射线，在上截取，使得；（4）连接，．∴四边形就是所求作的矩形．请你根据小明同学设计的尺规作图过程：(1)使用直尺和圆规，依作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：∵直线是的垂直平分线，∴，∵，∴四边形是平行四边形（①）（填推理的依据）．∵，∴四边形是矩形（②）（填推理的依据）．(3)参考小明的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）25．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，取BD中点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，求证：AE＝CF．26．（2022·北京平谷·八年级期末）下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程．已知：RtABC中，∠ABC＝90°，AB=CB求作：正方形ABCD．作法：如图，1．以点A为圆心，BC长为半径作弧；2．以点C为圆心，AB长为半径作弧；3．两弧交于点D．点B和点D在AC异侧；4．连接AD，CD．所以四边形ABCD是正方形．(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵AB＝，BC＝，∴四边形ABCD是平行四边形∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形()(填推理的依据)，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形()(填推理的依据)．27．（2022·北京丰台·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：如果存在以点P为端点的一条射线与图形W有且只有2个公共点，那么称点P是图形W的“相关点”．已知点，，．(1)当时，①在点，，，中，是折线的“相关点”的是______；②点M是直线上一点，如果点M是折线的“相关点”，求点M的横坐标的取值范围；(2)正方形DEFG的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N的坐标是．如果正方形的边长是2，正方形DEFG上的任意一点都是折线的“相关点”，请直接写出m的取值范围．28．（2022·北京丰台·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E作交直线CD于点F，过点F作交直线AC于点G．(1)如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系；(2)如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．29．（2022·北京昌平·八年级期末）在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，点P是直线AB上一点，且不与点A，点B重合，连接CP，作等边三角形PCE．(1)如图1，若点P在线段AB上，连接DE，则线段PB，DE之间的数量关系是______；(2)如图2，若点P在线段AB的延长线上，连接AE，求证：EA＝EP；(3)如图3，若点P在线段BA的延长线上，顺次连接四边形ABCE各边的中点，则所得四边形的形状是______．30．（2022·北京朝阳·八年级期末）如图，在中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：AF＝CE．

参考答案1．B【分析】根据矩形、菱形、正方形都是平行四边形，从而可以得到它们都具有的性质，本题得以解决．【详解】解：∵矩形、菱形、正方形都是平行四边形，∴它们都具有的性质是对角线互相平分，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确矩形、菱形、正方形都是平行四边形．2．C【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4，∴BC=2DE=2×4=8，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．3．A【分析】根据正方形的判定定理可进行求解．【详解】解：四边形是菱形，，四边形是正方形，故选：A．【点睛】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．4．C【分析】根据菱形、平行四边形的性质，且菱形具有平行四边形的全部性质，对每个选项进行分析比较即可得出结论．【详解】因为平行四边形的对角线互相平分，菱形具有平行四边形的性质且对角线互相垂直，所以选项A不符合题意，选项C符合题意；因为对角线相等、四个角都相等的是矩形或正方形，所以选项B、D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查平行四边形、菱形的性质的理解能力．涉及平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直且平分，矩形、菱形对角线相等且四个角都相等知识点．明确平行四边形和菱形的性质以及二者之间的关系是解本题的关键．5．B【分析】通过点P经过四边形各个顶点，观察图像的对称趋势问题可解．【详解】解：记各个选项中四边形逆时针均记为ABCD，A选项中，从A→B，B→C，y先减小，再增大，不关于转折点对称；从C→D，从D→A，y先减小，再增大；且两部分走势相同，不符合题意；B选项中，从A→B，B→C，y先减小，再增大，关于转折点B对称，且每部分关于最低点对称；从C→D，从D→A，y先减小，再增大；且两部分走势相同，符合题意；C选项中，从A→B，B→C，y先减小，再增大，关于转折点B对称，但每部分不关于最低点对称；从C→D，从D→A，y先减小，再增大；且两部分走势相同，不符合题意；D选项中，每个转折点前后图像一致，不符合题意；故选：B．【点睛】本题动点问题的函数图像，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，考查学生对动点运动过程中所产生函数图像的变化趋势判断．解答关键是注意动点到达临界前后的图像变化．6．C【分析】根据AD＝AC，可知等腰三角形底角相等∠ACD＝∠ADC＝70°；在▱ABCD中，对角相等，可知∠B=70°．【详解】AD＝AC，∠ACD＝∠ADC＝70°，在▱ABCD中，∠B＝∠ADC=70°，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，掌握平行四边形的性质是解题的关键．7．B【分析】根据特殊的平行四边形的概念判断即可．【详解】∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形既是菱形也是矩形，∴M代表正方形，N代表矩形，故选：B．【点睛】本题考查的是特殊的平行四边形，正确理解矩形、菱形、正方形之间的关系是解题的关键.8．或【分析】根据N点落的位置进行分类讨论，分为CD上或这AD上，运用勾股定理计算出线段的长度，再设线段的长度为x，用代数式表示出其他线段，通过勾股定理建立方程，计算出来答案即可．【详解】当N点落在CD上时，如图所示，过点M作ME⊥AD于E，∵在矩形中，∴，∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵ME⊥AD∴四边形ABME是矩形∵M是BC中点，∴BM=CM=AE=DE=5∵由折叠可知，C1M=CM=5，C1N=CN设CN为x，则C1N=x，DN=3-x，在Rt△C1ME中，EM=AB=3，C1M=CM=5,∴C1E=∴C1D=ED-C1E=5-4=1在Rt△C1DN中∴解得，∴MN=；当N在AD上时，如图所示，过点M作ME⊥AD于E，∵在矩形中，∴，∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵ME⊥AD∴四边形ABME是矩形∵M是BC中点，∴BM=CM=AE=DE=5∵由折叠可知，C2M=CM=5，CD=C2D2=3，D2N=DN，∠D2=∠D=90°在Rt△C2ME中，EM=AB=3，C2M=CM=5,∴C2E=设EN=x，则DN=5-x，在Rt△C2D2N中，,∴解得，∴MN=；故答案为：或．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，方程思想和分类讨论思想是本题的关键．9．6【分析】由平行四边形的性质可得，，再由平行线的性质和角平分线的性质求出，从而得出其长．【详解】解：四边形是平行四边形，，．，平分，，，，故答案是：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，解题的关键是求出的长．10．或##6或3【分析】分当在边上和OC上两种情况，然后分别表示出AE、CF，再根据列关于t的方程即可求解．【详解】解：当在边上，如图，由题意得：，，，，，；当在上时，如图，由题意得：，，，，；当，有一点到达终点时，点，同时停止运动，，和符合题意．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了矩形性质以及动点问题，灵活运用矩形的性质以及分类讨论F位置是求解本题的关键．11．20【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，DE＝10m，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝20m，故答案为：20．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．12．∠DFG=90°（答案不唯一）【分析】由三角形中位线定理得DEBC，再由DFEG，得四边形DFGE是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：添加条件为：∠DFG=90°，理由如下：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DEBC，∵DFEG，∴四边形DFGE是平行四边形，又∵∠DFG=90°，∴平行四边形DFGE是矩形，故答案为：∠DFG=90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．13．6【分析】根据四边形是平行四边形，得到，利用三角形中位线定理得到，进一步可得到，即可求出．【详解】解：四边形是平行四边形，，点为的中点，是的中位线，∴，▱周长为，∴，，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理．14．

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【分析】根据勾股定理求出、、、，的边长，根据正方形的面积公式即可求解．【详解】解：由题意，正方形的边长为1，则其面积为1；∴，正方形的边长为；∴，正方形的边长为；……∴，正方形的边长为．故答案为：2，．【点睛】本题考查规律探索、正方形的面积计算，解题的关键在于利用勾股定理求出正方形的边长，找出规律．15．（，）或（，）或（，）或（1，1）【分析】求出A，B坐标，可得OA＝OB＝1，∠OAB＝45°，然后分情况讨论：①如图1，当BP1＝BO时，②如图2，当BP2＝BO时，③如图3，当OB是对角线时，④如图4，当BP是对角线时，分别利用勾股定理，等腰直角三角形的性质和正方形的判定与性质求出点Q坐标即可．【详解】解：在直线中，令x＝0，可得y＝1，令y＝0，可得x＝1，∴A（1，0），B（0，1），OA＝OB＝1，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝45°，分情况讨论：①如图1，当BP1＝BO，四边形OBP1Q1是菱形时，过点Q1作Q1E⊥x轴于点E，∴OB＝OQ1＝1，OQ1∥BP1，∴∠EOQ1＝∠OAB＝45°，∴OE＝EQ1，OE2＋EQ12＝12，∴OE＝EQ1＝，∴Q1（，）；②如图2，当BP2＝BO，四边形OBP2Q2是菱形时，P2Q2交x轴于点F，∵P2Q2∥OB，BP2∥OQ2，∴Q2F⊥OA，∠Q2OF＝∠OAB＝45°，∴OF＝FQ2，OF2＋FQ22＝12，∴OF＝FQ2＝，∴Q2（，）；③如图3，当OB是对角线，四边形OP3BQ3是菱形时，OB⊥Q3P3，OB＝Q3P3＝1，∴BG＝OG＝，Q3P3∥x轴，∴∠GP3B＝∠OAB＝45°∴BG＝GP3＝，∴Q3G＝GP3＝，∴Q3（，）；④如图4，当BP是对角线，四边形OP4Q4B是菱形时，P4与点A重合，∵∠BOP4＝90°，∴菱形OP4Q4B是正方形，∴Q4（1，1）；综上所述，点Q的坐标为（，）或（，）或（，）或（1，1）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理以及正方形的判定和性质等知识，正确分类讨论是解答此题的关键．16．1【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得km．【详解】解：∵在中，，为的中点，(km)，故答案为：1．【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．17．24【分析】根据已知条件与菱形的轴对称性，可得坐标原点O就是菱形ABCD对角线的交点，再根据菱形的性质可得菱形对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以S菱形＝4S△AOB．【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（0，﹣3）．∴OA＝4，OB＝3．∴S△AOB＝OA•OB＝6．∵菱形是轴对称图形，且菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．∴菱形对角线的交点为坐标原点O．∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×6＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质．熟记菱形的对角线互相垂直且平分并把菱形分成四个全等的直角三角形是解题的关键．18．（答案不唯一）【分析】先证明再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可．【详解】解：∵AE⊥BC，∴，∴∴补充：或或，∴四边形AEFD是矩形，故答案为：或或（任写一个即可）【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“有三个角是直角的四边形是矩形”是解本题的关键．19．(1)见解析(2)BC；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明四边形AEBC是平行四边形，可得结论．（1）解：如图，点P即为所求；，（2）证明：连接AC，EB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC．∵AE=BC，∴四边形EBCA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴AP=PB（平行四边形的对角线互相平分），点P即为所求作的边AB的中点．故答案为：BC；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．(1)见解析(2)(3)(4)，证明见解析【分析】（1）画线段的延长线与线段的延长线相交于点H即可．（2）如下图，过点A作，交的延长线于点M，由得，再根据四边形是正方形可得，从而得，即可用含α的式子表示；（3）由（2）得，根据∠AGB=∠AGF+∠FGH=+∠FGH可得，利用直角三角形两锐角互余可得；（4）由（3）得，先由勾股定理得，再证明，于是可得．（1）解：如图：（2）解：，理由如下：如下图，过点A作，交的延长线于点M∵∴∵四边形是正方形，∴，∵，，∴，，∵，∴∴∴；（3）解：，理由如下：∵由（2）得，∠AGB=∠AGF+∠FGH=+∠FGH，∴，∵，∴；（4）解：，理由如下：由（3）得，∵，∴∴，∵，∴MH2=AM2+AH2，∴，∵AG=AB，AM=AH，∴∠AGB=∠ABG，∠M=∠H，∵∠AGB+∠AGM=∠ABG+∠ABH，∴∠AGM=∠ABH，在△ABM和△ABH中，，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．21．(1)补全图2见解析(2)BC；两组对边分别相等的四边形的平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．（1）解：如图，矩形即为所求；（2）证明：，，四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形，，四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形．故答案为：，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．(1)见解析(2)【分析】（1）根据，，得出四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，从而可证明四边形是菱形；（2）连接交于点，由菱形的性质得出，，，由，证明是等边三角形，求出，再由勾股定理求出，进而，即可得出答案．（1）证明：如图1，，，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，，，，四边形是菱形；（2）解：如图2，连接交于点，四边形是菱形，，，，，，是等边三角形，，，，．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积公式．23．(1)；(2)，或；(3)或．【分析】（1）根据矩形性质以及点的坐标即可求出点C坐标；（2）根据截距的定义求解即可；（3）根据“截距”是时，可知过点或，再利用经过点，求出或．进一步可求出或．（1）解：∵是矩形，且，，．∴；（2）解：由截距的定义可知：经过点，∴关于矩形的“截距”是，∵直线关于矩形的“截距”是，∴直线经过点或．∴或．（3）解：当直线（）关于矩形的“截距”是时，∴经过点或．又∵经过点，∴或．∴关于矩形的“截距”的最小值是时，或．【点睛】本题考查矩形的性质，直角坐标系点的坐标，一次函数．解题的关键是理解截距的定义，根据截距的定义再利用矩形的性质解答．24．(1)见解析(2)①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(3)见解析（方法不唯一）【分析】（1）根据小明同学设计的尺规作图过程作图即可；（2）根据平行四边形、矩形的判定定理，结合所给证明过程，即可写出依据；（3）利用直尺和圆规作，，通过两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知四边形是平行四边形，结合可知四边形是矩形．【详解】（1）解：如图：（2）解：补充后的证明过程如下：证明：∵直线是的垂直平分线，∴，∵，∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．∵，∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．故答案为：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（3）解：作图如下：作图方法：以C点为圆心，AB长为半径作弧，以A点为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于D点，连接AD，CD即可；证明：由作图方法可知，，，∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．∵，∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定、矩形的判定等知识点，熟练掌握几种基本的尺规作图方法是解题的关键．25．见解析【分析】欲证明AE=CF，只要证明△DOE≌△BOF（ASA）即可；【详解】∵BD的中点是O，∴OB=OD∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB，在△AOE和△COF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE=BF∴AD-DE=BC-BF∴AE=CF．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定方法．26．(1)见解析(2)CD；AD；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据平行四边形的判定，矩形的判定和正方形的判定定理填空即可．（1）解：如图，四边形ABCD即为所求；（2）证明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，故答案为：CD；AD；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形．【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定，矩形的判定和正方形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．27．(1)①；②(2)或【分析】（1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解；②根据题意画出，结合定义可知当与点重合时取得最小值，与直线相交时，取得最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线的解析式为，直线的解析式为，正方形上的任意一点都不在所围成的锐角之内以及边上（除线段AB,AC外），当正方形有一点在或上时，根据点的坐标以及正方形的性质求得点的坐标，分别代入直线的解析式即可求得点的坐标，结合函数图像即可求解．(1)当时，，①如图，在平面直角坐标系中描出点，，，，连接，由图像可知，为折线的“相关点”；②如图，点M是直线上一点，根据定义可知：点为折线的“相关点”当与点重合时，此时取得最小值，为，当在直线上时，取得最大值，设直线解析式为则解得直线解析式为联立解得即的最大值为(2)点，，．设直线的解析式为，解析式为,则，，解得，直线的解析式为，直线的解析式为，当正方形上的任意一点都是折线的“相关点”；正方形上的任意一点都不在所围成的锐角之内以及边上（除线段AB,AC外），当正方形有一点在或上时，如图，当点在上时，，正方形的边长为2，则，代入直线解析式，可得，解得；当点在上时，，正方形的边长为2，则，代入直线解析式，可得，解得，结合图像可知，当正方形DEFG上的任意一点都是折线的“相关点”，或．【点睛】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．28．(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）点E作于点H，于点P，证明，得到．过点B作于点M，证明，进而得出，再利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；（2）过点E作交DC延长线于点H，交BC延长线于点P，过点B作于点O，证明，再证，进而得出为等腰直角三角形，即可证得结论．(1)解：，理由如下：∵正方形ABCD，∴，，过点E作于点H，于点P，如下图所示，则，∴，∴四边形CHEP是矩形，∵，，∴与均为等腰直角三角形，∴，，∴四边形CHEP是正方形，∴．∵，∴，又∵，∴，在与中，，∴，∴．过点B作于点M，则，∵，∴，在与中，，∴，∴．∴，∴，即．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；(2)解：成立，理由如下：过点E作交DC延长线于点H，交B