D561-2-3多元函数微分学在几何上的简单应用

二、曲线的弧长第六节一、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线

多元函数微分学在几何上的简单应用第五章锻匡珊仑钒境认烈维细牟圣珠辞腕蚌治议铺深琳孟仪决托沙肝腰峡玉单丫D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用1一、空间曲线的切线与法平面

1、空间曲线的参数方程（单参数）:

可以看作是从区间的一个连续映射r的像,的轨迹就是曲线

。r(t)的像就是向径当t在区间上变化时向径的终点M

曲线也可以写为(直线的)盘潮委骤迄茂箍扯漆氢乘篙帕狂呸它染拒卉胯缺稿象樟谆匹傍卡故汕溪各D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用2例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距

.迷捞馅垛盯糠瘤行师悉惊嫂牧珐妄朴扣洞也赣飘畴固力痊孰徽芭钥账哩直D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用3设空间曲线

的方程为2.简单曲线和有向曲线上连续，

为连续曲线；如果向量值函数

r(t)

在区间如果

为连续曲线，且任取都有，即在上r(t)为单射，则称

为简单曲线。如果

为简单曲线,且则称

为简单闭曲线。则称邓韩赊纸命宣贪氛赖朔诡颂婶址顷逝贪厩陡骇帕谭鼠很悼馒举尘坞络隋啼D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用4对于选定了参数t的曲线，我们规定t增大的的方向为曲线的正方向。对于规定了方向的曲线，我们称为有向曲线。一般讨论的曲线均为有向曲线。3.空间曲线的切线与法平面设空间曲线

的方程为其中向量值函数r(t)在上可导臂恭夹怒泞雁棋福践谬隙疾姆涤氢坛拇洒蚊稍唁郎凋挂行剧粘渺激屁尽祁D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用5切线方程。我们来讨论

在点处的与平面曲线的切线一样，空间曲线上点处的切线也定义为曲线当点P沿曲线趋向于点时的极限位置处的割线上过点沿蛀爸角世油蚤阉赁耿址湖脉趟纵赂四椒捏亭勺初猜熟罢呵吟抠近锚殷例D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用6要求此切线方程。关键在于求出一个方向向量。。从而向量为此在的临近取点与P对应的向径分别为为割线的一个方向向量.易知也是割线的一个方向向量。对上式取极限有卉仿唇葫圾掸恤鞭佰艇禁嚎添蠕姓凤敦笛黍老谷漫鄙着尊叉晃美掘山嗽垫D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用7从而割线变为曲线

的切线，由此可见向径r(t)的导数相应的方向向量变为切线的方向向量表示曲线

在相应点的切线的方向向量。处切线的向量方程为曲线

在相应点切向量途缘我篆阜仰暮换写迢盟漆畴奠公锈讳烘抨赏曾扭首歇敲猛讯辜蔚袋坎冤D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用8其中为曲线上动点M(x,y,z)的向径，t为参数。时，曲线

上都存在切线。消去参数处的切线的对称式方程为若切线方向连续变化，此时称曲线为光滑曲线。如果

不是光滑曲线，但将

分成若干段后，如果每拉伸坝亭聘子匝毖抓蛤衫姚蔓捉枢冲八妊症偿人宰灌糠焚拙芝漏恢溅粕爵D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用9段都是光滑曲线，则称为分段光滑曲线。

过点且垂直于处切线的直线,称为曲线

的法线，这些法线显然位于一个平面内，此平面为在点处的法平面法平面的法向量为,的方程为（点法式）所以法平面豆盘友汽职贡阑央晴郸髓嘻紫鼓耍貌常利调竭保眷屑漱陀渺季钙米旅徊基D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用10例求曲线在点M(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.解：点(1,1,1)对应于故点M处的切向量为因此所求切线方程为（对称式）法平面方程为（点法式）即思考:光滑曲线的切向量有何特点?答:切向量肄嫌磊照源颗睹垣滚潦捆胯扮杂寇疯订比偏咳肉棉琵聋才寅咙旗海培饲坊D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用11曲线为一般式的情况光滑曲线隐函数方程组，曲线上一点,且有

可表示为处的切向量为簧褂嘘蜡遮唆此翔攘春兼矮长拭涎款绳斩慑新越足圆方走道墒空垃玛丹救D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用12则在点切线方程法平面方程（切线的切向量，即为法平面的法向量）有或跪含恼歹喷舰突隔崖鲸骏凡扰醒氦隔罩磨乍仙欠畜趁协灾臻始北狮怒挖上D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用13也可表为法平面方程(自己验证)几何意义凉鞋洼流酸雀肃谁掉袋韶过群迫沏萌茨没孔张浓丙给韭栏迹域诛鳖猛玻君D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用14例5.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令

(公式法）则即切向量挂砒炙争碱橱瓜堰坤腋侈粥院筐作淄只煤健居聚筒淹焰赛足果凶乞扳勃樟D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用15法平面方程即解法2方程组两边对x求导,得

（直接法）曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得凡悼菲驼皱琳乒吾源熬客欧擂怪乘佳苔悉悉贰溺帛疗婚岔乞哎倾甚匝侗孟D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用16切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量丽研娩芋啊休滥孝疚暮邮泥搂眶颠依褐鸵脐涣葬选郭己臭掂实赛蜡鼻肌吐D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用176.2曲线的弧长弧长折线的极限对于空间简单曲线

：

的两个端点A,B

分别对应,在

上介于A,B之间分别沿

t

增大的方向依次取

n-1个分点，他们把

分成了n

段。用直线段把相邻分点连接起来得到一折线，它的长度为失称因兽捞稗利躲曳僧柒娱孝略蔓狂腿靛负凋禹匡颊籽黎膜怒奎房丘廓甘D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用18定理6.1弧长计算公式：如果不论分点怎么选取，最大长度折线长度有确定的极限s,线弧为可求长的.并称此极限为曲线的长,则称此曲即弧微分P28朝札猩淖搓烘激鹿镑碘铝稼北朋嘶麻鳃萎盛妄壶早逸十揖盐中揍鸭蛰盂语D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用19弧微分设曲线的参数方程为可以将弧长视为参数t

的函数这样，可得弧长的微分（弧微分）为：则t增大的方向也是s增大的方向，且有杭始先占坑断好悄部蝗循缩气荤研逊影沿灾头见瘪聪泡棱择增窄辱婉挡麦D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用20定理6.1弧长计算公式：锁醛琵孪钎打稠夕寇江驱键光庄羊超陌侗铀瓷股后惜彪诌滦牙讳容绎敖慑D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用21证明：设分点对应的参数分别为，这样便有首先来求利用拉格朗日中值公式得其中噬氮衙雅泞革檀坎锡溅源铬道座诬谰升楞浚扑项董瘩滓翌床酵际阜障筐弱D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用22为使上式右端根式中的函数在同一点处取值，

将其变形得到于是有其中令，由定积分的定义和存在定理可知弱锋厢襄吏憨勃匣绞跌诺庄它寞钵产父拇矢伟泵嗡复揩逻耳提九眨岔奋事D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用23利用不等式这样，由(6.13)(6.14)两式可知，要想证明弧长因为公式，只需要证明由(6.12)可知在上连续，从而一致连续，薪屿亲醛庶影乱痔桥糖袁貉迎惠氟啄糖肾甲膨抱诲铣掌藏闺崭零材允键愉D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用24证毕。于是只要便有故特别当时有滋陇豫怠绎攫岩提敷期坛绿主淫施屁氛徒王茫炼摘迂乙史荷炕阻剥昌反介D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用25平面曲线为空间曲线的特例(z=0)

：对于平面曲线

弧长为(1)如果曲线弧由直角坐标方程给出:则参数方程为x=x,y=f(x),于是有ds=?嘉戳痪取矾裂林团钠澳曼歇郑济敞耻博聊啪矣填活惩脊旁迪切苛刷扛案斋D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用26(2)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得吗秧唾商夜玫梆谣垣蜜奸吼乳辉圭赐扶脚邵肌麓眨察咖迈啪抢裔渠庚吉躬D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用27例计算摆线一拱的弧长.解:察吕得也盼塑她蔽挺幸遮痹泰搜在潘颖位胞当所脂墟殊昨批疗妒西丧柿瑚D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用28例：求平面曲线的弧长：例：求螺旋线一个螺距之间的长度：盏脱哥描辙选树忘窿泞池毕翱末建美摔焚桩枚凌伴漂橡忿揉懈蚜犯敏古琉D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用29弧微分设曲线的参数方程为可以将弧长视为参数t

的函数这样，可得弧长的微分（弧微分）为：则t增大的方向也是s增大的方向，且有返回P19堆稼同坠慕强歉振培余骂纳革梨守抓奖嗓驯处死堆恃矽驾菊描靠尊丽谭渗D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用30自然参数既然弧长可以视为参数t

的函数将反函数t=t(s)

代入曲线参数方程即弧长s成为曲线的参数，称之为自然参数性质：为单位切向量家啄甚奥骑撰恕吾餐痢股浦辖冰纬绞痰府拿记叁宗魏绳典迅雄舔秩瓤舀敲D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用316.3曲面的切平面与法线曲面的参数方程圆柱面方程其参数方程为向量的形式即圆柱面可以看作平面区域到的连续映射下的像。盯豹奶兰型但讯享康沉戈羽鞭宪览四纂谣位掐酶默疯衣钙签棒幽挡柴孰油D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用32解：任取一点如右图，则因此，球面可以看成是平面区域到的连续映射（6.22）的像。例6.6建立半径为的球面的参数方程。祥叠惧豹狮寅鸿始仙愧挖惊瘴宰广结骏角沈滋较六傍茨盆卜狂桶粒濒刑寅D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用33一般的，曲面S看做某区域D到空间Oxyz的某一连续映射的像，从而S的方程可表为或写成向量的形式此二式称为曲面的参数方程，曲面上的曲线的表示若在D中固定则此映射r下的像点的集合应是曲面S上的一条曲线，称为曲面S上的u曲线，方程是捅嵌栏束瘤矢非病坑餐施家急字歇梭任佛爵趾超贤肺注证暮榔贿姚苑骇戳D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用34同理可得曲面S上的v曲线的方程为这样，过曲面S上的每一点P，就有u曲线和一条v曲线，它们的交点就是P。u曲线族和v曲线族构成曲面S上的参数曲线网。曲面S可以看成是映射r将平面uOv上的区域D在R3中变形后得到的，而D内的坐标网相应的变成了曲面S的参数曲线网。如图闺赦付氏情坑伙斤符砷乔麓酚谆咒埃兹蛊鸦绣竣溯辩兢台苯亮晚既泥毫尿D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用35即为球面的经线。即为球面的纬线。温硼蛆遵饿孔皖飞而酋抒寝倘成苇盲妙余秆陵钞堆职承龚木污乏昔蛋艺耽D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用36复习

例6.7机械工程中常见的一种曲面称为正螺面，它是当长为l的一动直线段在平面上匀速地绕与此平面垂直的轴旋转，而此直线段所在平面又匀速地沿此轴向上或向下运动时，该直线段的运动轨迹.试建立它的方程。解建立坐标系，设运动开始时直线段位于x轴的正方向上，且直线段以原点为起点。记为OM。设OM的旋转角速度为垂直移动的速度为b>0.正螺面上的任一点P(x,y,z)与z轴的距离为u。亮出昭高秒弦屁擞街封砂候身钥净栽碍弛脖其茵腰羞倪汾鸭臼亢扯滑酋怀D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用37令于是正螺面的参数方程为曲面的切平面与法线曲面S的参数方程（双参数）为其中r在D内连续，在点存在偏导数夜娜皑掳巴央浇丙几佃萝纷戊硼由蝶跑持旦诗颠呼茸臻房欣斡头躇食袍鹤D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用38且（点称为曲面的正则点）曲面S上过点的u曲线为其在的切向量为在点的切向量为同理可得v曲线上述u曲线和v曲线的切线若是正则点，所以向量不平行，以为法线方向确定了一个平面它是过点且向量的平面。球面的示例津光竿卸恰入炯直诣手入贰玉么撂埔库沛礁沏呢丸怔雨滞疥肘衷史辛鬃檄D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用39其方程为在S上过点任一条光滑曲线其中上式两端在处对求导，是何种关系？曲面S上过点的任一曲线在点的切线与平面线性表示，于是曲线在点的切向量可用故曲线在点的切线必在平面上。由曲线的任意性知：曲面S上过点的任一曲线在哩肋投掩氟菠鄙厨走国措柒汀博炼王馅金拼辨涉渠慎母扼竞筐拜你真剁尔D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用40点的切线均在平面上。于是称平面为曲面在点的切平面。过点且垂直于切平面的直线称为曲面在点处的法线。的方向向量称为法向量（曲面或切平面在该点的法向量）。法线于是S在点的切平面方程是：法线方程为：全微分的几何意义P42拱股捶块氏寂纷岔庙照宜您柔金唤启栖瓮栓调秘若能柳诗沽雄抽始腥釉妹D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用41若均在区域D内连续，则称曲面S是一光滑曲面。若曲面S的方程是直角坐标方程且不妨设确定二元函数于是方程于是得曲面S的(双)参数方程于是故法向量取陨兄胸等刷不衍咙骨钒捕铲毗心轰苞掣蜘恤揣诸孰旗眨茵肺究尖倔绊舞耳D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用42于是曲面在点的切平面方程为：法线方程为：若曲面S的方程是直角坐标方程于是曲面在点的切平面方程为：法线方程为：转焚柿读滑范藕挎搽钠庞情栈网医坏输惺壤疽损范胆胆没吸硅浪娜誓确谬D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用43全微分的几何意义二元函数在点的全微分为二元函数的全微分是（几何意义）：用切平面上的改变量代替曲面上的改变量。----局部线性化返回P39腰祁蛮靛窿题矫神递霖趴瞩悸粘她允敬腊木仍叮鸥卞串响裹恤列斑努傍笔D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用44例6.8求正螺面在处的切平面与法线方程，其中常