数学建模 模型的建立及求解

Ⅰ、问题的重述水战略选择：水是支撑人类社会发展的基础性资源，淡水资源已经成为经济社会发展的限制条件。建立数学模型来确定辽宁省（或省内某一城市）有效的、可行的,和有成本效益的水战略,以满足2014年到2020年随经济社会发展的水需要,并确定最佳水战略。你的数学模型必须考虑辽宁省（或某市）国民经济各产业水资源的需求量、人口数量、环保等因素。用你的模型分析水资源对辽宁省（或某市）经济发展和人口增长的制约作用，以及如何进行经济结构调整、和制定人口增长政策等来保证辽宁省（或某市）经济社会可持续协调发展。提供一个非技术意见书给省（或市）政府领导概述你的方法,论述其可行性和成本,以及为什么它是“最好的水战略选择”。Ⅱ、问题的分析及思路2.1、问题分析已知淡水资源已经是经济社会发展的限制条件，以辽宁省为整体模型，如果淡水供应量没有达到各产业以及城镇，和居民等用水单位的用水量，会直接影响甚至是限制各产业的发展和人口的数量的增长。根据历年来辽宁省各产业及居民等用水单位的用水量，以经济效益为主要的前提，提取可产生经济效益的用水单位，以每立方米用水所产生的经济价值为量化指标，因为也许每年的用水量和经济效益的相关关系可能是模糊的，没有一个明显的规律可循，因此我们需要利用线性回归方法，分析各用水单位在不受到用水量上限影响的前提下，经济发展所需要的最大用水量，而各用水单位的最大用水量上限应不超过实际的最大用水总量，利用运筹学的方法分析得出应如何进行经济结构调整来保证辽宁省经济社会可持续协调发展。再运用方法得出那些产业会对人口产生影响较大，预测出未来辽宁省整体的用水量，就应该可以得出一个辽宁省的人口增长策略和合理的经济结构体制。然后利用最小二乘法（OLS），分析各产业在以人口为变量时，需水率影响的程度。得出各产业因人和水共同影响下的合理发展趋势。最后运用灰色系统分析方法，预测出未来各产业及人口需水量的变化，用以对政府报告建议书的参考和方向。 2.2、问题思路：用下面的流程图表示我们的建模思路建立现有用水量经济效益模型建立现有用水量经济效益模型E)并采用线性回归和运筹学方法定量现行体制的具体缺陷建立综合评价模型依据模型提出具体改进方案给辽宁省政府提出我们的建议Ⅲ、问题的假设3.1.1假设我们自己获取的数据的可信度较高。3.1.2假设除了考虑的因素以外，建筑用水、生态用水、除污等其他因素忽略不计。3.1.3根据辽宁省历年水资源供用情况，以可持续发展为前提下，假定其总用水量应不超过140亿立米。3.1.4设a.b.c的值为预测的2014年至2020年各产业单位用水量所产生的经济价值的均值。3.1.5设影响辽宁省水资源短缺的多个因素在未来没有突变情况发生（如：政府政策干预，自然灾害的影响等）。Ⅳ、符号说明Z表示经济效益表示农业用水量表示工业用水量表示林业，牧业，渔业用水量表示城镇用水量表示居民生活用水量A表示农业单位用水量产生的经济价值B表示工业单位用水量产生的经济价值C表示林业，牧业，渔业单位用水量所产生的经济价值Ⅴ、模型的建立及求解模型I：各产业经济效益最大化模型4.1线性规划算法概述线性规划是运筹学中很大的一个分支，每一个线性规划问题都有一组决策变量（,,…）表示某一方案，这些决策变量的值代表一个具体的方案。一般这些变量的取值都是非负且连续的。而且都有关于各种资源和资源使用情况的技术数据，创造新价值的数据。当存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。线性规划都有一个达到某一目标的要求，可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示，按问题的要求不同，要求目标函数实现最大化或最小化。4.2模型求解首先利用winQSB软件，进行数据分析预测，输入2005年至2011年间，农业用水量及生产总值，工业用水量及生产总值，林业、牧业、渔业用水量及生产总值。从而得出线性规划约束函数的约束条件，列定约束函数方程。数据图如附录一。++++14081.1689.727.6713.1315.666.88当以经济最大化为目标函数时，因为城镇用水和居民生活用水无法用价值来衡量，所以在追求效益最大化时，不予考虑。目标函数：MaxZ=a+b+c其中a、b、c的取值为利用winQSB软件，分析预测得出的2014至2020年各产业的用水量和生产总值，计算得出其经济效益（每立方米水资源所产生的经济价值），然后取其均值，作为目标函数的系数。a的取值为农业产值（亿元）农业用水量（亿立方米）经济效益（元/立方米）20141549.4885.7418.0720151654.1985.6919.3020161758.9085.6520.5320171863.6185.5921.7720181968.3285.5423.0120192073.0385.4924.2520202177.7485.4425.49平均值21.77b的取值为工业产值（亿元）工业用水量（亿立方米）经济效益（元/立方米）201456062.9525.812172.1406201561309.1226.122347.21201666555.2926.4325184626.7426856327.052848.34201982293.827.363007.8143202087539.9827.673163.7144平均值2677.51c的取值为林牧渔业产值（亿元）林牧渔业用水量（亿立方米）经济效益（元/立方米）20142733.119.84277.7620152941.5510.39283.1120163149.9910.94287.9320173358.4211.49292.2920183566.8612.04296.2520193775.3012.58300.1020203983.7413.13303.41平均值291.54利用winQSB软件对目标函数进行求解（软件运行结果如附表），得出：=81.16=27.67=8.83=15.66=6.68根据、、、、的约束条件：81.1689.7，27.67，13.13，15.66，6.88。可分析得出农业用水效益效率低所以应保持现有的或降低农业用水量，工业用水因为有较高的经济效益，故按照预测的正常发展速率发展，林牧渔业为较稳定的效益效率，不用如预测值般加大用水量来换取经济效益，因为其用水量已经足以满足使用和发展，城镇和居民生活用水不产生经济价值，则就经济方面而言，应合理控制人口数量，防止人口过速增长。模型II：偏最小二乘回归分析在一般的多元线性回归模型中，有一组因变量（q为因变量个数）和自变量（m为自变量个数），当数据总体满足高斯-马尔科夫定理时，有最小二乘法有：（3）式中B为估计的回归系数。当X中的变量存在严重的多重相关性（变量本身物理意义决定了它们之间的相关性，或有样本点数不足造成），式（3）中行列式几乎接近于零，求解时会含有严重的舍入误差，是回归系数估计值的抽样变异性显著增加。更有甚者，当X中的变量完全相关时，是不可逆矩阵，无法求解回归系数。此时，若仍沿用最小二乘法拟合回归模型，回归结果将会出现许多反常现象，致使其精度、可靠性得不到保证。在实际工作中，变量的多重相关性是普遍存在的。偏最小二乘法就能较好的解决这类问题。本文中，由于影响水资源需水量的各个因子的相关度不尽相同，选取影响水资源短缺的5个主要因子作为回归分析的自变量，分别是：总需水量、农业用水、工业用水、林牧渔用水、常住人口。因变量选为水资源短缺（Y）。其思路是：首先，从自变量集合X中提取成分，各成分互相独立；然后，建立这些成分与自变量X的回归方程，其关键在于成分的提取。与主成分回归不同的是，偏最小二乘回归所提取的成分即能很好的概括自变量系统中的信息，又能很好的解释因变量，并排除系统中的噪声干扰。因而有效的解决了自变量间多重相关性情况下的回归建模问题。当q=1时，为单变量偏最小而成回归模型（记为PLS1）；当q>1时，为多变量偏最小二乘回归模型。由于本文讨论的是水资源短缺强度问题只有一个因变量，故属于PLS1模型。数据标准化处理标准化的目的是使样本点的几何重心与坐标原点重合。（4），（5）式中,分别为y,X的标准化矩阵；（i同上）分别为y,X的均值；分别为y,X的均方差；n为样本用量。第一成分的提取已知,，可以从中提取的第一成分，式中为的第一个轴，为组合系数。；是标准化变量的线性组合，为原信息的重新调整。从中提取第一个成分，式中和的第一个轴，，在此，要求，能分别很好的代表X与y中的数据变异信息，且对有最大的解释能力。根据主成分分析原理和典型的相关分析的思路，实际上是要求与的协防差最大，这是一个最优化问题。经推导可得（6）式中为优化问题的目标函数；的特征向量，为对应的特征值，为对应于矩阵最大特征值的单位特征向量。要取最大值，则为矩阵最大特征值的单位特征向量，本文讨论的水资源短缺强度问题中，，则。式中为与的相关系数。从中可以看出，不仅与X有关，而且与有关；另外，若与的相关程度越强，则的组合系数越大，其解释性就越明显。求得轴后，可得成分。分别求，对的回归方程为（7）式中，为回归系数，向量：，为回归系数，标量：,分别为回归方程的残差矩阵，；。第二成分的提取以取代，取代，用上面的方法求第2个轴和第2个成分，有式中表示协方差。施行,对的回归，有（8）式中，。第h成分的提取同理，可推求出第h成分。H可用交叉有效性原则进行识别，H小于X的秩。推求偏最小二乘回归模型关于，,…,的最小二乘回归方程为（9）由于，,…,均是的线性组合，有偏最小二乘回归的性质有（10）式中。将式（10）带入式（9）得(11)记，则式（11）可还原成标准化变量的回归方程为（12）式（12）还可以进一步写成原变量的偏最小二乘回归方程为（13）交叉有效性原则记为原始数据，，,…,是在偏最小二乘回归过程中提取的成分。是使用全部样本点并取，,…,个成分回归建模后，第i个样本点的拟合值。是在建模时删去i个样本点，取，,…,个成分回归建模后，再用此模型计算的的拟合值。记当时，引进的新的成分会对模型的预测能力有明显的改善作用，这就是交叉有效性原则。模型Ⅱ的求解利用Matlab软件对辽宁省的水资源需水单位需水量的数据进行处理。过程见附录二。回归分析级检验数值31.67160.0908-0.0085-0.12850.0825-0.0094置信区间[-168.0619,231.4050][-0.2032,0.3847][-0.1820,0.1649][-0.8487,0.5917][-0.9858,1.1508][-0.0605,0.0417]从中可以得到：相关系数=0.9607F=4.8923概率P=0.3299P>0.0038故而有以上数据可知偏最小二乘法的原始变量回归模型为：31.6716+0.0908-0.0085-0.1285+0.0825-0.0094残差分析，做残差图，在matlab中键入如下命令：rcoplot(r,rint)得到回归模型的残差图如下回归模型残差图从残差值图中可看出，各点数据的残差都离原点较近，且残差的置信区间均包含原点，这说明回归模型31.6716+0.0908-0.0085-0.1285+0.0825-0.0094能比较符合符合原始数据。利用建立的该回归模型可以定量的预测2014年-2020年的需水率的影响。根据假设，将影响需水率的其他四个因子暂时看成是每年变化不大的，因此可以将看成常数，只需将常住人口作为变量，计算出对需水率的影响强度。取2011年的辽宁省各产业影响因子数据，带入回归方程计算。（1）假定人口比2011增长10%即人口为4680.5万，则需水率为：（2）假定工业用水比2011增长10%即工业用水量为26.422亿立方米，则需水率为：（3）假定农业用水量比2011增长10%即农业用水量为93.973亿立方米，则需水率为：（4）假定林牧渔业用水比2011增长10%即人口为8.69亿立方米，则需水率为：当我们取农业用水量增长、工业用水量和林牧渔业用水增长，人口增长为单一变量使，其中农业对于需水率影响最大，工业其次，林牧渔业影响最小。模型III：GM预测模型的建立：我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种：1.元素信息不完全2.结构信息不完全3.边界信息不完全4.运行行为信息不完全首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。对系统未来状态作出科学的定量预测。灰色度预测主要步骤：1.数列预测GM（1，1）模型灰色系统理论的微分方程成为Gm模型，G表示gray（灰色），m表示model（模型），Gm（1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。Gm（1，1）建模过程和机理如下：记原始数据序列为非负序列其中，其相应的生成数据序列为其中，为的紧邻均值生成序列其中，称为Gm(1,1)模型，其中，b是需要通过建模求解的参数，若为参数列，且，则求微分方程的最小二乘估计系数列，满足称为灰微分方程，的白化方程，也叫影子方程。如上所述，则有1.白化方程的解或称时间响应函数为2.Gm(1,1)灰微分方程的时间响应序列为3.取，则4.还原值最后利用模型的还原值进行检验。模型计算即需水量预测：假设2005年到2011年需水量数据为原是灰色序列进行预测时，较验合格。而且对水资源的预测和近几年的数据关系有着很大的影响设原始灰色序列为2005年2011年的需水量，记为，则（1）求级比：利用公式得（0.944，0.989，1.001，0.995，0.995，0.998，1.085，）所有的区间为。（2）让经过一次累加生成的序列，（133.26，274.5，417.37，560.15，703.71，847.92，992.48）。（3）预测方程式：系数，，（4）求生成序列及模型还原值令k=1,2,…,8由上面的时间响应函数计算，取，再由，取得编程过程见附录三。（5）模型检验分析表三GM(1,1)模型检验表序号预测值实际值残值相对误差精度2005133.26133.2600100%2006164.785141.2423.54516.67%83.33%2007157.015142.8714.1459.9%90.1%2008149.611142.786.8314.78%95.22%2009142.557143.561.0030.70%99.3%2010135.855144.218.365.80%94.2%2011129.43144.5615.1310.47%89.53%2012123.3272013117.2412014111.9712015106.6922016101.66201796.867201892.3201987.948202083.8该模型的平均精确度较高，精确等级为一级，不需要修正，可进行预测和预报，依据该模型预测未来2014年到2020年的需水量（亿立方米）为（111.971，106.692，101.66，96.867，92.3，87.948，83.8）VI模型的评价：优点：1.模型选择了农业用水量，工业用水量，林牧渔用水量及生活用水量，城镇用水量这5个主要因素对水资源和经济效益最大化的影响，较为合理。充分考虑了个产业的发展用水量和对人口的影响，符合现时用水政策。2：运用了C++、matlab和winQSB软件，使数据结果更为准确可信。3：灰色系统分析的采用更符合未来预测的趋势。缺点：1：考虑的影响因素不是很全面，故在建模的过程中可能其实际主要因素没有考虑在其中，出现模型与实际的偏差。2：没有过多的考虑到污水处理能力等因素，略有不足。3：数据量不是特别大，没有达到的数据统计更高的标准，可能造成预测的偏离。VII参考文献：[1]2005年——2011年《辽宁省水资源公报》[2]2005年——2011年《辽宁省统计年鉴》[3]袁嘉祖灰色系统理论及其应用科学出版社[4]卢开澄,卢华明编著线性规划北京:清华大学出版社,2009[5]王中鲜主编MATLAB建模与仿真应用北京:机械工业出版社,2010[6]王丽宏C/C++语言入门与精通哈尔滨工业大学VIII写给辽宁省水行政主管部门的一份报告尊敬的领导：您好！辽宁省水资源短缺已经成为影响和制约当今社会和经济发展的主要因素。根据建模分析的结果，以及辽宁省水资源的实际情况，本小组认为加强和规范辽宁省的用水管理，防止出现用水过度，导致水资源短缺，并在实践中检验此种理论的可行性。提出以下几点建议：加强水利工程建设，提高调蓄能力。水利工程对水资源的调节起着重要的作用，目前已在进行的南水北调工程，保证了一定的水资源供应。同时，要做好水利设施的加固，维修，清淤，增强对水资源的有效调控，将雨季相对丰富的水资源蓄积起来，供农工业生产在需水关键期使用。科学调度用水，发挥水资源效益。采取法律，行政，经济，科技等多种手段，引入市场机制，强化水的商品价值，加强对水资源的管理。科学利用天气预报，在确保安全的前提下，最大限度的增加水库汛期蓄水。处理好蓄水与发电的关系，用水做到科学规划，统一管理，服从调配，实现有限水资源的高效利用和优化配置，达到安全渡汛，遇旱不旱，旱涝保收。另外，要重视植树种草等水土保持综合治理，减少土壤流失，促进自然界水分的良性循环。推广节水技术，减少水资源的消耗。解决水资源短缺一靠开源二靠节流。节约用水重点抓农业节水和工业节水。农业节水要大力推广和应用节水灌溉技术，如：覆盖、喷灌、滴灌、地灌，加大抗旱剂、保水剂的使用；发展节水型农业；加强农田水利设施建设；杜绝或减少渠系输配水的损失。工业节水可以通过建设节水型工业体系。首先要继续加强节水措施和重复用水措施改造，提高节水水平和水的重复利用率。再者，加快工业产业结构调整，加快发展电子等低消耗水产业，严格控制石化等高消耗水工业的发展。最后，通过改造设备、更新工艺、污水处理循环利用。林牧渔业可以通过科学技术的注入，减少和避免输水和使用过程当中的漏水等因素的损失，加强水资源使用效率。以可持续发展为核心，科学的大力发展林业。加强绿化，可间接减少水土流失。节约生活用水，须增强全民节约意识；推广使用高效节水的生活用水器具；减少管网输水损失；引入价格调节促进节水。加大污水处理，提高水资源利用率。随着工业发展，人口增长及人民生活水平提高，污水的排水量显著提高。因此，要依法加强管理，加大投入，增加污水治理设施建设，提高对工业污水和生活污水的处理能力，减少水资源的污染，提高水资源的利用率。一方面企业要按规定做到达标排放，从源头上杜绝污染；另一方面，政府要加大投入，加快污水处理厂的建设。5.保证人口数量的良性发展，避免人口爆发，使资源无法合理分配，令经济失衡。做好省内计划生育工作，监控外来人口入省。组织协调。可持续发展！IX附录：附录一：工业用水预测图形及数据工