黄金卷02（理科）（试卷含解析）-备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.RBA．1+iB．-1+iC．-1-3．命题p：函数y=f(x)的最大值为M，函数y=g(x)的最小值为m；命题q：y=f(x)-g(x)的最大值为M-m，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．函数f(x)=的图像大致为()5．已知向量=(λ,1),=(-,2)，且(-2)」，则实数λ构成的集合是()6．若两个正实数x,y满足4x+y=2xy，且不等式x+<m2+m有解，则实数m的取值范围是()7．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A,B,C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有()A．60种B．150种C．180种D．300种A．-56B56C-17D179．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，点D,E分别是PB,BC的中点，PA=3,PD=DE=2，PE=2,AD=,AE=，则()A．三棱锥P-ABC的体积为16B．三棱锥P-ABC的表面积为20+C．球O的表面积为164πD．球O的体积为π10．已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点为F，A、B两点在双曲线的左、右两支上，且------------------OA+OB=0，AF.FB=0，3BF=------------------11．已知定义在(-2，2)上的函数f(x)满足f(x)+e4xf(-x)=0,f(1)=e2，f,(x)为f(x)的导函数，当xe[0，2)时，f,(x)>2f(x)，则不等式e2xf(2-x)<e4的解集为()12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+Sn+1=n2，则下列四个结论中正确的个数是()④若数列{an}是单调递增数列，则a1的取值范围是(-,).第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13广西壮族自治区玉林市2024届高三高中毕业班第一次摸底测试数学试题）已知公差不为零的等差数14．函数f(x)=Asin(Φx+Q)（其中A>0，Q<）的图像如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图像，则需将f(x)的图象向右最小平移个长度单位.15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是.16．已知关于x的方程xex-1-a(x+lnx)-2a=0在(0,1]上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1712分）目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩ξ~N(60,102),只有笔试成绩高于70分的学生才能进入面试环节.(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人,求这6人中至少有一人进入面试的概率;(2)现有甲、乙、丙3名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,,,设这3名学生中通过面试的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)~0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)~0.9545,P(μ-3σ<X<μ+0.841356~0.3547,0.977256~0.8710.18.（12分）在‘ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知=.(1)求角A的大小；(2)设T=sin2A+sin2B+sin2C，求T的取值范围.1912分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，AB」AC，D为A1C1的中点.(2)若点C到平面ABD的距离为，求平面ABC与平面BCD的夹角的正弦值.PBPB2012分贵州省遵义市2024届高三第一次质量监测统考数学试题）已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆E的两个焦点，A为椭圆E上异于左、右顶点的任意一点，△AF1F2的周长为6，面积的最大值为：(1)求椭圆E的方程；(2)直线AF1与椭圆E的另一交点为B，与y轴的交点为M.若=λ1，=λ21.试问：λ1+λ2是否为定值？并说明理由.(1)若a=2，求函数g(x)=f(x)+sinx值域；(2)是否存在正整数a使得>3cosx恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2210分）平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〈iθ,(θ为参数）.以原点O为极点，x1轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为PA(1)求曲线C1PA(2)已知点P(-1,0)，记C1和C2交于A、B两点，求选修4-5：不等式选讲2310分）已知函数f(x)=3x+3-x-5.(1)求不等式f(x)>0的解集M；(2)若m是f(x)的最小值，且正数a,b,c满足a+b（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题一目要求的.123456789BCDACDBCDBCC第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.【答案】(1)0.6453(2)随机变量X的分布列见解析；期望为【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件A,由已知得:μ=60,σ=10,.................................1分所以P(ξ<70)=~=0.84135,..............................................................3分则P(A)=1-0.841356~1-0.3547=0.6453,.......................................................................................4分即这6人中至少有一人进入面试的概率为0.6453.............................................................................5分（2）X的可能取值为0,1,2,3,.............................................................................................................6分P(X=3)=根根=,............................则随机变量X的分布列为：X0123P(X) 24 14 24 14.................................................................................................................................................................11分...........................................................................................12分18.【答案】(1)A=【详解】（1）由余弦定理可得：cosA=，则b2+c2-a2=2bccosA，cosB=，则a2+c2-b2=2accosB，.............................................................................1分 12..........................................................................................................................+1-cos2B)+1-cos2C)....................................................8分=-cos(|（2B+.................................................................................................(π)13(π)13(2).49..............................................................................................4连接A1B,因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB1」A1B．.............................................................................1分在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1B1B」平面A1B1C1，又AB1BB，所以A1C1」AB1，.........................................................................................3分仁平面A1BD，所以AB1」平面A1BD，................4分又BD仁平面A1BD，所以AB1」BD.......................................................................................................................................5分（2）以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，.................................................................................................................................................................6分0,a,.设=(x,y,z)为平面ABD的一个法向量，0,,a，................................................................................................................................8分---AC.n2a由题意，---AC.n2a,2,0.设=(p,q,r)为平面BCD的一个法向量，，.................................................................................10分设平面ABC和平面BCD的夹角为θ,则cosθ===，....................................................................................11分所以sinθ=1一cos2θ=，所以平面ABC和平面BCD的夹角的正弦值为．.....................................................................12分(2)，理由见解析【详解】（1）设椭圆E的方程为由椭圆的定义及△AF1F2的周长为6，知2a+2c=6①,....................................................................1分由于A为椭圆E上异于左、右顶点的任意一点，得A到x轴距离最大为b，因为△AF1F2的面积的最大值为，112x2cxb=②,..............................................................................................................2分又a2=b2+c2③,.................................................................................................................................3分所以椭圆E的方程为+=1.........................................................................................................4分（2）λ1+λ2为定值-，理由如下：.................................................................................................5分根据已知条件作出图形如图所示,因为F1在椭圆内部，则直线AB与椭圆一定有两交点，y2-6my-9=0，.................................................................7分y1,......................................................................................................8分1所以λ1=-1，同理λ2=-1....................................................................................................10分所以λ1+λ2=所以λ1+λ2为定值-...........................................................................................................................12分(2){2}.【详解】（1）由题设g(x)=sin2x若g，(x)<0，则cosx<，xe(|（0,，可得xe,，g(x)递减；.............综上，g(x)=f(x)+sinx，值域为(0,].....................................................................................4分.............................................当a=2，则h(x)=sinx+sin2x-3xcosx，故h,(x)=2cos2x-2cosx+3xsinx，令k(x)=h,(x)，则k,(x)=-4sin2x+5sinx+3xcos=-8sinxcosx+5sinx+3xcosx=5sinx-5sinxcosx+3xcosx-3sinxcosx=5sinx(1-cosx)+3cosx(x-sinx)，又xe(|（0,，对于y=x-sinx，有y,=1-cosx>0，即y=x-所以y=x-sinx>0-sin0=0，故x>sinx恒成立，......................................................................8分所以k,(x)>0，即k(x)=h,(x)在xe(|（0,上递增，又h,(0)=a-2=0，则h,(x)>0，0)，........................10分综上，正整数a的取值集合{2}..........................................................................................................12分【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为h(x)=sinx+sinax-3xcosx>0在xe(|（0,上恒成立，再分类讨论参数并结合导数研究函数值的符号，再a>3时令x0=e(0,]，构造出sinax0=sin(π+x0)为关键.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程x24x24=1；曲线C2的直角坐标方程为x-y+1=03【详解】（1）已知曲线C1:〈iθ(θ为参数(|cosθ=x2则〈|lsinθ=，由cos2θ(|cosθ=x2则曲线C1的普通方程为+y2=1．.................................................................................................2分1由曲线C2的极坐标方程为p=2sin(|(θ-，变形得p(||（sinθ-cosθ==1，............................................................................................3分即psinθ-pcosθ=1，且满足sinθ丰cosθ,(pcosθ=x由互化公式〈lpsinθ=y，得y-x=1，即x-y+1=0.故曲线C2的直角坐标方程为x-y+1=0．.......................................................................................5分（2）由于P(-1,0)在直线l上，(|x|x设A，B对应的参数分别为t1，t2，（t为参数 2............................................................................................7分则t12t2=-，................................................................................................................8分PAPBPAPBtt22255故+的值为.....................................................................................................................10分选修4-5：不等式选讲(2)证明见解析,..................................................................3分解得x≥5或<x<5或x<-4，∴不等式的解集为(-m,-4)不,+m；...........................................................................................5分（2）证明：由f(x)=〈|(4x2x285，可得f(x)的最小值为-6，...........................................6分34．.................................................................................................................10分（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.RB【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，AnB)=R，故A错误；，故B正确；，故C错误；A不(ðRB，故D错误.故选：B.A．1+iB．-1+iC．-1-i【答案】C【分析】设z=a+bi,a,beR，根据复数相等即可求出a，b，进而求解.【详解】设z=a+bi,a,beR，则a+bi+2(a-bi)=3+i，整理得3a-bi=3+i，故选：C3．命题p：函数y=f(x)的最大值为M，函数y=g(x)的最小值为m；命题q：y=f(x)-g(x)的最大值为M-m，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】D【分析】取特殊函数方法判断充分必要条件即可.【详解】设f(x)=-x2，g(x)=x2-4x分别存在最大值M=0和最小值m=-4，则f(x)-g(x)=-2x2+4x的最大值为2千M-m，所以充分性不成立；设f(x)=-2x2，g(x)=-x2-2x，f(x)-g(x)=-x2+2x取得最大值为1，但g(x)=-x2-2x不存在最小值，所以必要性不成立.故选:D.4．函数f(x)=的图像大致为()D.【答案】A【分析】根据奇偶性判断CD；根据特殊点判断AB.【详解】函数f(x)的定义域为R，f(-x)===-f(x)，即函数f(x)为奇函数，故CD错误；由f(π)==-<0可知，C错误，A正确；故选：A5．已知向量=(λ,1),=(-,2)，且(-2)」，则实数λ构成的集合是()【答案】C【分析】利用向量坐标运算，及向量垂直的坐标表示求解即得.由(-2)l，得λ(λ+)-3=0，即λ2=1，解得λ=土1，所以实数λ构成的集合是{1,-1}.故选：C6．若两个正实数x,y满足4x+y=2xy，且不等式x+<m2+m有解，则实数m的取值范围是()【答案】D+m即可.y2【详解】不等式y24(y)2min(y)2所以m2+m>2，即m2+m-2>0，解得m<-2或m>1.故选：D7．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A,B,C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有()A．60种B．150种C．180种D．300种【答案】B【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可.【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A,B,C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，22②三组人数为2、2、1，此时有.A=90种.所以不同的报名方法共有60＋90＝150种.故选：B.【答案】C【分析】先根据两角和与差得正弦余弦公式构造并计算出sinC，cosC，再根据同角三角函数商数关系计算出tanC，同理计算出tanβ,最后代入即可算出.tanC9．已知三棱锥P一ABC的四个顶点在球O的球面上，点D,E分别是PB,BC的中点，PA=3,PD=DE=2，PE=2,AD=,AE=，则()A．三棱锥P一ABC的体积为16B．三棱锥P一ABC的表面积为20+C．球O的表面积为164πD．球O的体积为π【答案】D【分析】先根据题中给出的PA,PD,PE,AD,AE的长度，可知PA」PB，PA」PE，继而PA」平面PBC；再根据数量关系证明PB」PC，进而可构造出包含三棱锥的长方体，从而可求出三棱锥的体积和表面积，根据三棱锥的外接球也是长方体的外接球，从而求得外接球表面积和体积.得PA2+PD2=AD2，PA2+PE2=AE2，可得PA」PB，PA」PE，又PB（PE=P，PB一平面PBC，PE一平面PBC，所以PA」平面PBC，又PC一平面PBC，所以PA」PC，因为D，E分别是PB，BC的中点，且PD=DE=2，所以PC=4，PB=4，又PE=2，所以BC=2BE=4，有PB2+PC2=BC2，得PB」PC，故PA,PB,PC两两互相垂直，故可将三棱锥P一ABC放在长方体中，如图：则三棱锥外接球的直径等于该长方体的对角线，设其外接球O的半径为R，=41，所以R=，所以球O的表面积为4πR2=41π,球O的体积为R3=π,三棱锥P一ABC的体积为SΔPBC故选项C错误，D正确.332+42=5，点E分别是BC的中点，12BC.AE=12故选项AB错误.故选：D.10．已知双曲线C：x2yx2a2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，A、B两点在双曲线的左、右两支上，且------------------OA+OB=0，AF.FB=0，3BF=------------------【答案】B【分析】设双曲线的左焦点为F,，连接AF,,BF,,CF,，则由题意可得四边形AFBF,为矩形，设BF=t，则FC=3t，BF,=2a+t,CF,=2a+3t，分别在Rt△CBF,和Rt△BFF,中，运用勾股定理，结合离心率公式可求得结果.【详解】设双曲线的左焦点为F,，连接AF,,BF,,CF,，【答案】C因为OF,=OF，所以四边形AFBF,为矩形，在Rt△CBF,中，BC2+BF,2=CF,2，在Rt△BFF,中，BFBF,2=FF,2,所以t2+(2a+t)2=4c2，所以a2+9a2=4c2，所以离心率e==，故选：B11．已知定义在(一2，2)上的函数f(x)满足f(x)+e4xf(一x)=0,f(1)=e2，f,(x)为f(x)的导函数，当xe[0，2)时，f,(x)>2f(x)，则不等式e2xf(2一x)<e4的解集为()【分析】由题意设g(x)=，结合题意可得g(x)+g(一x)=0，即函数g(x)是定义在R上的奇函数，又当xe[0，2)时，f,(x)>2f(x)，则g,(x)=f,(x)f(x)>0，可得g(x)在[0，2)上单调递增，在(一2，0]上单调递增，利用单调性，即可得出答案.【详解】令g(x)=，则f(x)+e4xf(一x)=0，即g(x)+g(一x)=0，故函数g(x)是定义在R上的奇函数，当xe[0,2)时，f,(x)>2f(x)，则g,(x)=f,(x)f(x)>0，故g(x)在[0,2)上单调递增，在(一2,0]上单调递增，所以g(x)在(一2,2)上单调递增，f(1)2e4即f(1)2e4即则不等式e2xf(2一x)<,f(2一x)e2(2一x)故选：C.12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+Sn+1=n2，则下列四个结论中正确的个数是()④若数列{an}是单调递增数列，则a1的取值范围是(一,).【答案】C=2(n>2)，可判断①,根据a1的值可判断{an}是否为等差，再根据等差数列得前n项和公式即可求且a2>a1，求解即可得出a1的取值范围.3所以an+2-an=2，故{an}奇数项是以a1=0为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以a2=1为首项，2为公差的等差数列，2495049)2450)当a1故{an}偶数项是以a2=-1为首项，2为公差的等差数列，奇数项从第二项开始以a3=4为首项，2为公差的等差数列，24950349)2450)2a2n+1{an}单调递增，则所以a1的取值范围是(-,)，所以④正确.故选：C.第‘‘卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13广西壮族自治区玉林市2024届高三高中毕业班第一次摸底测试数学试题）已知公差不为零的等差数【答案】7【分析】若公差为d且d丰0，易得a1=d，应用等差数列前n项和公式求结果.故答案为：714．函数f(x)=Asin(负x+Q)（其中A>0，Q<）的图像如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图像，则需将f(x)的图象向右最小平移个长度单位.【答案】/π【分析】首先根据函数的图象确定A、负、Q的值，进一步确定解析式，然后利用函数图象的平移变换求得结果.因此f(x)=sin(2x+)要得到g(x)=sin2x的图象，则需将f(x)的图象向右最小平移个单位即可.故答案为：15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是.【答案】200π【分析】首先根据正四棱台的对称性得到外接球的球心O所在位置，根据垂直关系列出方程组，解方程组得外接球半径，最后求出外接球表面积即可.【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为O1，下底面中心为O2，由棱台的性质可知，外接球的球心O落在线段O1O2上，由题意该四棱台上下底面边长分别为8和6，侧棱长为10，设外接球的半径为R，|OO2|=h，则|OO1|=7-h，因为O1O2垂直于上下底面，2=R2，即(7-h)2+(4)2=R2，所以该米斗的外接球的表面积为4πR2=200π.故答案为：200π16．已知关于x的方程xex-1-a(x+lnx)-2a=0在(0,1]上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是【答案】,在te(-伪,-3)u(-3,0]有两个不相等的实根，再转化为y=a和g(t)=，te(-伪,-3)u(-3,0]有两个不同的交点，利用导数研究函数图象，并结合图象得到结果即可.【详解】解:由x=elnx，则方程xex-1-a(x+lnx)-2a=0，即elnx+x-1-a(x+lnx)-2a=0，令t=lnx+x-1，xe(0,1]，则由y=lnx,y=x-1单调性可知，函数t=lnx+x-1是递增的，故xe(0,1]时，值域为te(-伪,0].而elnx+x-1-a(x+lnx)-2a=0转化为et-at-3a=0，当t=-3时，方程为et=0，不成立，故t士-3，即转化为a=在te(-伪,-3)u(-3,0]有两个不相等的实根，即y=a和y=g(t)=，te(-伪,-3)u(-3,0]有两个不同的交点.g,(t)=，当te(-伪,-3)和te(-3,-2]时，g,(t)<0，即g(t)在te(-伪,-3)上递减，在te(-3,-2]上递减；当te(-2,0]时，g,(t)>0，g(t)递增.当ae,|时，y=a和g(t)=，te(-伪,-3)u(-3,0]的图象有两个不同的交点.故答案为：,.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1712分）目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩ξ~N(60,102),只有笔试成绩高于70分的学生才能进入面试环节.(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人,求这6人中至少有一人进入面试的概率;(2)现有甲、乙、丙3名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,,,设这3名学生中通过面试的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ_σ<X<μ+σ)~0.6827,P(μ_2σ<X<μ+2σ)~0.9545,P(μ_3σ<X<μ+3σ)~0.9973,0.841356~0.3547,0.977256~0.8710.【答案】(1)0.6453(2)随机变量X的分布列见解析；期望为【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件A,由已知得:μ=60,σ=10,.................................1分所以P(ξ<70)= 则P(A)=1_0.841356~1_0.3547=0.6453,.......................................................................................4分即这6人中至少有一人进入面试的概率为0.6453.............................................................................5分（2）X的可能取值为0,1,2,3,.............................................................................................................6分P(X=3)=根根=,............................则随机变量X的分布列为：X0123P(X) 24 14 24 14.................................................................................................................................................................11分...........................................................................................12分18.（12分）在‘ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知=.(1)求角A的大小；(2)设T=sin2A+sin2B+sin2C，求T的取值范围.【答案】(1)A=【详解】（1）由余弦定理可得：cosA=，则b2+c2-a2=2bccosA，cosB=，则a2+c2-b2=2accosB，.............................................................................1分 3π 3π.......................................................................................................................5分..........................................................................................................................6分+1-cos2B)+1-cos2C)....................................................8分=-cos(|（2B+................................................................................................. 1(π)2 1(π)29..............................................................................................41912分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，AB」AC，D为A1C1的中点.(2)若点C到平面ABD的距离为√3，求平面ABC与平面BCD的夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).4连接A1B,因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB1」A1B．.............................................................................1分在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1B1B」平面A1B1C1，又AB1BB，所以A1C1」AB1，.........................................................................................3分仁平面A1BD，所以AB1」平面A1BD，................4分又BD仁平面A1BD，所以AB1」BD.......................................................................................................................................5分（2）以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，.................................................................................................................................................................6分0,a,.设=(x,y,z)为平面ABD的一个法向量，0,,a，................................................................................................................................8分---AC.n2a由题意，---AC.n2a,2,0.设=(p,q,r)为平面BCD的一个法向量，，.................................................................................10分设平面ABC和平面BCD的夹角为θ,则cosθ===，....................................................................................11分所以sinθ=1一cos2θ=，所以平面ABC和平面BCD的夹角的正弦值为．.....................................................................12分2012分贵州省遵义市2024届高三第一次质量监测统考数学试题）已知F1(一c,0),F2(c,0)为椭圆E的两个焦点，A为椭圆E上异于左、右顶点的任意一点，△AF1F2的周长为6，面积的最大值为：(1)求椭圆E的方程；(2)直线AF1与椭圆E的另一交点为B，与y轴的交点为M.若=λ1，=λ21.试问：λ1+λ2是否为定值？并说明理由.(2)-，理由见解析由椭圆的定义及△AF1F2的周长为6，知2a+2c=6①,....................................................................1分由于A为椭圆E上异于左、右顶点的任意一点，得A到x轴距离最大为b，因为△AF1F2的面积的最大值为，112根2c根b=②,.........................................又a2=b2+c2③,.................................................................................................................................3分所以椭圆E的方程为+=1.........................................................................................................4分（2）λ1+λ2为定值-，理由如下：.................................................................................................5分根据已知条件作出图形如图所示,因为F1在椭圆内部，则直线AB与椭圆一定有两交点，y2-6my-9=0，.................................................................7分y1,......................................................................................................8分1所以λ1=-1，同理λ2=-1....................................................................................................10分所以λ1+λ2=所以λ1+λ2为定值-...........................................................................................................................12分(1)若a=2，求函数g(x)=f(x)+sinx值域；(2)是否存在正整数a使得>3cosx恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理【答案】(1)(0,]；(2){2}.【详解】（1）由题设g(x)=sin若g,(x)<0，则cosx<，x=(|（0,，可得x=,，g(x)递减；..................................综上，g(x)=f(x)+sinx，值域为(0,].....................................................................................4分.............................................当a=2，则h(x)=sinx+sin2x-3xcosx，故h,(x)=2cos2x-2cosx+3xsinx，令k(x)=h,(x)，则k,(x)=-4sin2x+5sinx+3xcos=-8sinxcosx+5sinx+3xcosx=5sinx-5sinxcosx+3xcosx-3sinxcosx=5sinx(1-cosx)+3cosx(x-sinx)，所以y=x-sinx>0-sin0=0，故x>sinx恒成立，.......................