高等数学 课件王震 第七章 微分方程

第七章微分方程7.1微分方程的基本概念7.2可分离变量的微分方程目录二、可分离变量的微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念例1.

一曲线通过点,且在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为，由题意得①(为任意常数)由②得,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为,求该曲线的方程.

一、微分方程的基本概念微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:

联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.一、微分方程的基本概念分类1:

常微分方程:未知函数为一元函数偏微分方程:未知函数为二元及以上函数分类2:一阶微分方程:阶为一高阶微分方程:阶为二及以上微分方程的阶:

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.一、微分方程的基本概念一般地,n

阶常微分方程的形式是形如的微分方程称为n阶线性微分方程．否则，就称为n阶非线性微分方程.例如，是三阶线性微分方程．是一阶非线性微分方程．是二阶非线性微分方程.分类3:

线性与非线性微分方程.一、微分方程的基本概念微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.例如，一、微分方程的基本概念(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.初始条件:

用来确定任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):引例

通解:特解:或二、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程转化解可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程的解假定方程①中的f(x),g(y)是连续的,且设y＝

(x)是方程①的解,

两边积分,得

①则有恒等式

②设函数G(y)和F(x)依次为和f(x)的原函数,

则有这说明方程①的解满足等式②二、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程的解法总结如下：分离变量：两边积分：①②二、可分离变量的微分方程例1.求微分方程的通解.解:分离变量，得两边积分，得即(C

为任意常数)说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)或二、可分离变量的微分方程例2.求微分方程解:分离变量，得两边积分，得即由初值条件得C=1,(C

为任意常数)

故所求特解为满足初值条件的特解.二、可分离变量的微分方程例3：求微分方程满足初值条件的特解．两边积分故方程的通解为代入初值条件，得故所求特解为即解：分离变量，得，得

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作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分内容小结可分离变量的微分方程的求解方法:先分离变量后两边积分

第七章微分方程7.3齐次方程7.4一阶线性微分方程

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分目录二、一阶线性微分方程一、齐次方程一、齐次方程可变形为的方程叫做齐次方程

.令代入原方程，得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量

，得一、齐次方程齐次方程的通解的求法总结如下：1、方程变形：；4、两边积分：；

5、回代变量：将u回代成.

3、分离变量：；

2、变量代换：设，得；一、齐次方程例1.求微分方程满足初值条件的特解.解：方程可变形为，即两边积分，得即.分离变量，得

令，则，代入得即，一、齐次方程例1.求微分方程满足初值条件的特解.回代变量，得方程的通解为.将代入，得，故所求的特解为一、齐次方程例2.求微分方程的通解.解:代入原方程，得分离变量，得两边积分，得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C

为任意常数)一、齐次方程例3.求微分方程解:则有分离变量，得两边积分，得代回原变量得通解即利用初值条件,可得C=1,故所求特解为满足初值条件的特解.

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作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,

若Q(x)

0,

称为非齐次方程

.1.解齐次方程分离变量，得两边积分，得故通解为称为齐次方程

;二、一阶线性微分方程对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则即即作变换两边积分，得故原方程的通解二、一阶线性微分方程一阶非齐次线性微分方程的通解的求法总结如下1、公式法：，只要找到2、常数变易法：代入公式即可.首先、求出对应的齐次方程的通解，接着、将代入到非齐次方程中，确定出，从而得到非齐次方程的通解.二、一阶线性微分方程例1.求微分方程

解:方程可变形为微分方程的通解为的通解.二、一阶线性微分方程例2.求微分方程的通解.

解:先解分离变量，得两边积分，得即令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为二、一阶线性微分方程练习：用公式法再做一遍.

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第七章微分方程7.6可降阶的高阶微分方程目录一、型的微分方程

二、型的微分方程三、型的微分方程

令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个独立的任意常数的通解.特点：方程右端仅含有自变量，不显含解法：

例1.求三阶微分方程满足初值条件的特解．解:

将分别代入上面三个式子，得

，，

所以所求的特解为：

例2：求微分方程的通解．，则代入原方程，得这是一阶可分离变量方程,解得即依次类推，有故原方程通解为：解：设

设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解特点：方程是二阶且右端不显含未知函数.

解法：从解法可以看出，求此类型的微分方程相当于求解两次一阶微分方程.

例3.求微分方程的通解．，属于型故作代换，则原方程变为：或解：方程中不显含求得其通解为：，即积分，得原方程的通解为

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故方程化为设其通解为即得分离变量、两边积分,得原方程的通解为：特点：方程是二阶且右端不显含自变量.

解法：令

例4解:令代入方程得分离变量、两边积分，得利用初值条件,得所以解得故所求特解为即