人教版高中数学A版必修三教案

第二章统计

本章教材分析

现代社会是信息化的社会，数字信息随处可见，因此特地探讨如何收集、整理、分析数

据的科学——统计学就备受重视.统计学是探讨如何收集、整理、分析数据的科学，它可以

为人们制定决策供应依据.在客观世界中，须要相识的现象无穷无尽.要相识某现象的第一

步就是通过视察或试验取得观测资料，然后通过分析这些资料来相识此现象.如何取得有代

表性的观测资料并能够正确地加以分析，是正确地相识未知现象的基础，也是统计所探讨的

基本问题.本章主要介绍最基本的获得样本数据的方法，以及几种从样本数据中提取信息的

统计方法，其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回来等内容.

从义务教化阶段来看，统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段，在每个阶段都要学

习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法，教学目标随着学段的上升渐渐提

高.在义务教化阶段的统计与概率知识的基础上，《课程标准》要求通过实际问题及情境，

进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回来的基本方法，了解用样本估计总体及其特征

的思想，体会统计思维与确定性思维的差异；通过实习作业，较为系统地经验数据收集与处

理的全过程，进一步体会统计思维与确定性思维的差异.

本章教学时间约需7课时，具体安排如下（仅供参考）:

简单随机抽样约1课时

系统抽样约1课时

分层抽样约1课时

用样本的频率分布估计总体分布约1课时

用样本的数字特征估计总体的数字特征约1课时

变量间的相关关系约1课时

本章复习约1课时

随机抽样

简单随机抽样

整体设计

教学分析

教材是以探究一批小包装饼干的卫生是否达标为问题导向，逐步引入简单随机抽样概

念.并通过实例介绍了两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法.

值得留意的是为了使学生获得简单随机抽样的阅历，教学中要留意增加学生实践的机

会.例如，用抽签法确定班里参与某项活动的代表人选，用随机数法从全年级同学中抽取样

本计算平均身高等等.

三维目标

1.能从现实生活或其他学科中推出具有肯定价值的统计问题，提高学生分析问题的实力.

2.理解随机抽样的必要性和重要性，提高学生学习数学的爱好.

3.学会用抽签法和随机数法抽取样本，培育学生的应用实力.

重点难点

教学重点：理解随机抽样的必要性和重要性，用抽签法和随机数法抽取样本.

教学难点：抽签法和随机数法的实施步骤.

课时支配

1课时

教学过程

导入新课

抽样的方法很多，某个抽样方法都有各自的优越性与局限性，针对不同的问题应当选择

适当的抽样方法.老师点出课题：简单随机抽样.

推动新课

新知探究

提出问题

(1)在1936年美国总统选举前，一份颇出名气的杂志(LiteraryDigest)的工作人员做了一

次民意测验.调查兰顿(A.Landon)(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(F.D.Roosevelt)(当时的总统)

中谁将当选下一届总统.为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大

批人发了调查表(留意在1936年电话和汽车只有少数富人拥有).通过分析收回的调查表，显示

兰顿特别受欢迎，于是此杂志预料兰顿将在选举中获胜.

实际选举结果正好相反，最终罗斯福在选举中获胜，其数据如下:

候选人预料结果％选举结果％

Roosevelt4362

Landon5738

你认为预料结果出错的缘由是什么？由此可以总结出什么教训I?

(2)假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标

检验，你准备怎样做？明显，你只能从中抽取肯定数量的饼干作为检验的样本.则，应当怎

样获得样本呢？

(3)请总结简单随机抽样的定义.

探讨结果：

(1)预料结果出错的缘由是：在民意测验的过程中，即抽取样本时，抽取的样本不具有代表

性.1936年拥有电话和汽车的美国人只是一小部分，那时大部分人还很穷.其调查的结果

只是富人的意见，不能代表穷人的意见.

由此可以看出，抽取样本时，要使抽取出的样本具有代表性，否则调查的结果与实际相

差较大.

(2)要对这批小包装饼干进行卫生达标检查，只能从中抽取肯定数量的饼干作为检验的样本,

用样本的卫生状况来估计这批饼干的卫生状况.假如对这批饼干全部检验，则费时费劲，等

检查完了，这批饼干可能就超过保质期了，再就是会破坏这批饼干的质量，导致无法出售.

获得样本的方法是：将这批小包装饼干，放入一个不透亮的袋子中，搅拌匀称，然后不

放回地摸取(这样可以保证每一袋饼干被抽到的可能性相等)，这样就可以得到一个样本.通

过检验样原来估计这批饼干的卫生状况.这种抽样方法称为简单随机抽样.

(3)一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nSN),假

如每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽

样.最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法和随机数法.

提出问题

(1)抽签法是大家最熟识的，或许同学们在做某种嬉戏，或者选派一部分人参与某项活

动时就用过抽签法.例如，高一(2)班有45名学生，现要从中抽出8名学生去参与一个座谈会，每

名学生的机会均等.我们可以把45名学生的学号写在小纸片上，揉成小球，放到一个不透亮袋

子中，充分搅拌后，再从中逐个抽出8个号签，从而抽出8名参与座谈会的学生.

请归纳抽签法的定义.总结抽签法的步骤.

(2)你认为抽签法有什么优点和缺点？当总体中的个体数很多时，用抽签法便利吗？

(3)随机数法是利用随机数表或随机骰子或计算机产生的随机数进行抽样.我们仅学习随机

数表法即利用随机数表产生的随机数进行简单随机抽样的方法.

怎样利用随机数表产生样本呢下面通过例子来说明.

假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取

60袋进行检验.利用随机数表抽取样本时，可以依据下面的步骤进行.

第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000,001,...,799.

第二步，在随机数表中任选一个数.例如选出第8行第7列的数7(为了便于说明，下面摘取

了附表1的第6行至第10行.)

16227794394954435482173793237887352096438426349164

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695556719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

57608632440947279654491746096290528477270802734328

第三步，从选定的数7开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，得到一个

三位数785,由于785<799,说明号码785在总体内，将它取出;接着向右读，得到916,由于

916>799,将它去掉.依据这种方法接着向右读，又取出567,199,507,…，依次下去，直到样本的60

个号码全部取出.这样我们就得到一个容量为60的样本.

请归纳随机数表法的步骤.

(4)当N=100时，分别以0,3,6为起点对总体编号，再利用随机数表抽取10个号码.你

能说出从0开始对总体编号的好处吗？

(5)请归纳随机数表法的优点和缺点.

探讨结果：

(1)一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中,

搅拌匀称后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.

抽签法的步骤是：

1°将总体中个体从1—N编号；

2°将全部编号1-N写在形态、大小相同的号签上；

3°将号签放在一个不透亮的容器中，搅拌匀称；

4°从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；

5°从总体中将与抽取到的签的编号相一样的个体取出.

(2)抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量特别大时，费时、费劲，假如标号的签

搅拌得不匀称，会导致抽样不公允.因此说当总体中的个体数很多时，用抽签法不便利.这

时用随机数法.

(3)随机数表法的步骤：

1°将总体中个体编号；

2°在随机数表中任选一个数作为开始；

3°规定从选定的数读取数字的方向；

4°开始读取数字，若不在编号中，则跳过，若在编号中则取出，依次取下去，直到取满为

止；

5。依据选定的号码抽取样本.

(4)从0开始编号时，号码是00,01,02....99；从3开始编号时，号码是003,004,

102；从6开始编号时，号码是006,007,105.所以以3,6为起点对总体编号时，所

编的号码是三位，而从0开始编号时，所编的号码是两位，在随机数表中读数时，读取两位

比读取三位要省时，所以从0开始对总体编号较好.

(5)综上所述可知，简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的状况下是行之

有效的.但是，假如总体中的个体数很多时，对个体编号的工作量太大，即运用随机数表法

操作也并不便利快捷.另外，要想“搅拌匀称”也特别困难，这就简单导致样本的代表性差.

应用示例

例1某车间工人加工一种轴共100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同

一条件下测量，如何采纳简单随机抽样的方法抽取样本？

分析：简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法，所以有两种思路.

解法一（抽签法）：

①将100件轴编号为1,2,100；

②做好大小、形态相同的号签，分别写上这100个号码；

③将这些号签放在一个不透亮的容器内，搅拌匀称；

④逐个抽取10个号签；

⑤然后测量这10个号签对应的轴的直径的样本.

解法二（随机数表法）：

①将100件轴编号为00,01,…99；

②在随机数表中选定一个起始位置，如取第22行第1个数开始（见教材附录1:随机数表）；

③规定读数的方向，如向右读；

④依次选取10个为

68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,

则这10个号签相应的个体即为所要抽取的样本.

点评：本题主要考查简单随机抽样的步骤.抽签法的关键是为了保证每个个体被抽到的可能

性相等而必需搅拌匀称，当总体中的个体无差异，并且总体容量较小时，用抽签法；用随机

数表法读数时，所编的号码是几位，读数时相应地取连续的几个数字，当总体中的个体无差

异，并且总体容量较多时，用抽签法.

变式训练

1.下列抽样的方式属于简单随机抽样的有.

（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本.

（2）从1000个个体中一次性抽取50个个体作为样本.

（3）将1000个个体编号，把号签放在一个足够大的不透亮的容器内搅拌匀称，从中逐个

抽取50个个体作为样本.

（4）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中随意

取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子.

（5）福利彩票用摇奖机摇奖.

解析：（1）中，很明显简单随机抽样是从有限多个个体中抽取，所以（1）不属于；（2）中，

简单随机抽样是逐个抽取，不能是一次性抽取，所以（2）不属于；很明显（3）属于简单随

机抽样；（4）中，抽样是放回抽样，但是简单随机抽样是不放回抽样，所以（4）不属于；

很明显（5）属于简单随机抽样.

答案:（3）（5）

2.要从某厂生产的30台机器中随机抽取3台进行测试，写出用抽签法抽样样本的过程.

分析：由于总体容量和样本容量都较小，所以用抽签法.

解：抽签法，步骤：

第一步，将30台机器编号，号码是01,02,30.

第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签.

第三步，将得到的号签放入不透亮的袋子中，并充分搅匀.

第四步，从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号.

第五步，所得号码对应的3台机器就是要抽取的样本.

例2人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何

一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？

解：简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，

其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样.

点评：推断简单随机抽样时，要紧扣简单随机抽样的特征：逐个、不放回抽取且保证每个个

体被抽到的可能性相等.

变式训练

现在有一种“够级”嬉戏，其用具为四副扑克，包括大小鬼（又称为花）在内共216张牌，

参与人数为6人并坐成一圈.“够级”开始时，从这6人中随机指定一人从己经洗好的扑克牌

中随机抽取一张牌（这叫开牌），然后按逆时针方向，依据这张牌上的数字来确定谁先抓牌，

这6人依次从216张牌中抓取36张牌，问这种抓牌方法是否是简单随机抽样？

解：在这里只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的，其他215张牌已经确定，即这215张扑

克牌被抽取的可能性与第一张扑克牌可能性不相同，所以不是简单随机抽样.

知能训练

1.为了了解全校240名学生的身高状况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是

（）

24040名学生40

答案：D

2.为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200

个零件的长度是（）

答案：C

3.一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则

某一特定个体被抽到的可能性是.

4.为了检验某种产品的质量，确定从40件产品中抽取10件进行检查，如何用简单随机抽

样抽取样本？

解：方法一（抽签法）：

①将这40件产品编号为1,2,40；

②做好大小、形态相同的号签，分别写上这40个号码；

③将这些号签放在一个不透亮的容器内，搅拌匀称；

④连续抽取10个号签；

⑤然后对这10个号签对应的产品检验.

方法二（随机数表法）：

①将40件产品编号，可以编为00,01,02,…,38,39；

②在随机数表中任选一个数作为开始，例如从第8行第9列的数5开始，；

③从选定的数5开始向右读下去，得到一个两位数字号码59,由于59>39,将它去掉；接

着向右读，得到16,将它取出；接着下去，又得到19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数

字号码是12,由于它在前面已经取出，将它去掉，再接着下去，得到34.至此，10个样本

号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.

拓展提升

现有一批编号为10,11....99,100....600的元件，准备从中抽取一个容量为6

的样本进行质量检验.如何用随机数法设计抽样方案？

分析：重新编号，使每个号码的位数相同.

解：方法一：

第一步，将元件的编号调整为010,011,012....099,100....600.

第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向.比如，选第6行第7

个数“9”,向右读.

第三步，从数“9”开始，向右读，每次读取三位，凡不在010-600中的数跳过去不读，前面

已经读过的也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263.

第四步，以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象.

方法二：

第一步，将每个元件的编号加100,重新编号为110,111,112,…，199,200,700.

第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向.比如，选第8行第1

个数“6”,向右读.

第三步，从数“6”开始，向右读，每次读取三位，凡不在110-700中的数跳过去不读，前面

已经读过的也跳过去不读，依次可得到630,163,567,199,507,175.

第四步，这6个号码分别对应原来的530,63,467,99,407,75.这些号码对应的6个元件

就是要抽取的对象.

课堂小结

1.简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法:

放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和

随机数法.

2.抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量特别大时，费时、费劲，又不便利，假

如标号的签搅拌得不匀称，会导致抽样不公允，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点是当

总体容量较大时，仍旧不是很便利，但是比抽签法公允，因此这两种方法只适合总体容量较

小的抽样类型.

3.简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为,，但是这里肯定要将每个个体入样

N

的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种状况

区分开来，避开在解题中出现错误.

作业

课本本节练习2、3.

设计感想

本节教学设计以课程标准的要求为指导，重视引导学生参与到教学中，体现了学生的主

体地位.同时，依据高考的要求，适当拓展了教材，做到了用教材，而不是教教材.

整体设计

教学分析

教材通过探究“学生对老师教学的意见”过程，介绍了一种最简单的系统抽样——等距抽

样，并给出实施等距抽样的步骤.

值得留意的是在教学过程中，适当介绍当二不是整数时，应如何实施系统抽样.

n

三维目标

1.理解系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本，了解系统抽样在实际生活中的应用，

提高学生学习数学的爱好.

2.通过自学课后“阅读与思索”，让学生进一步了解虚假广告是淡化总体和抽样方法、强化

统计结果来夸大产品的有效性，以提高学生理论联系实际的实力.

重点难点

教学重点：实施系统抽样的步骤.

教学难点：当一N不是整数，如何实施系统抽样.

n

课时支配

1课时

教学过程

导入新课

思路1

上一节我们学习了简单随机抽样，则简单随机抽样的特点是什么？简单随机抽样是最简

单和最基本的抽样方法，当总体中的个体较少时，常采纳简单随机抽样.但是假如总体中的

个体较多时，怎样抽取样本呢？老师点出课题：系统抽样.

思路2

某中学有5000名学生，准备抽取200名学生，调查他们对奥运会的看法，采纳简单随

机抽样时，无论是抽签法还是随机数法，实施过程很困难，须要大量的人力和物力，则有没

有更为便利可行的抽样方法呢？这就是今日我们学习的内容：系统抽样.

推动新课

新知探究

提出问题

(1)某学校为了了解高一年级学生对老师教学的意见，准备从高一年级500名学生中抽取

50名进行调查，除了用简单随机抽样获得样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？

(2)请归纳系统抽样的定义和步骤.

(3)系统抽样有什么特点？

探讨结果：

(1)可以将这500名学生随机编号1—500,分成50组，每组10人，第1组是1—10,第二

组11-20,依次分下去，然后用简单随机抽样在第1组抽取1人，比如号码是2,然后每隔

10个号抽取一个,得到2,12,22,492.

这样就得到一个容量为50的样本.

这种抽样方法称为系统抽样.

(2)一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，

然后依据预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所须要的样本，这种抽样的方法

叫做系统抽样.

其步骤是：

1°采纳随机抽样的方法将总体中的N个个体编号；

2。将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(kGNJWk);

3°在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号1(IGNJWk);

40依据肯定的规则抽取样本.通常是将起始编号1加上间隔k得到第2个个体编号(1+k),再

加上k得到第3个个体编号(l+2k),这样接着下去，直到获得整个样本.

说明：从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而

把困难问题简单化，体现了数学转化思想.

(3)系统抽样的特点是：

1°当总体容量N较大时，采纳系统抽样；

2。将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样

N

又称等距抽样，这时间隔一般为1<=[―].

n

3°预先制定的规则指的是：在第1段内采纳简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的

基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.

应用示例

例I为了了解参与某种知识竞赛的I000名学生的成果，应采纳什么抽样方法较恰当？简

述抽样过程.

解：相宜选用系统抽样，抽样过程如下：

(1)随机地将这1000名学生编号为1,2,3....1000.

(2)将总体按编号依次均分成50部分，每部分包括20个个体.

(3)在第一部分的个体编号1,2,3,…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如

18.

(4)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18,38,

58,978,998.

点评：系统抽样与简单随机抽样一样，每个个体被抽到的概率都相等,从而说明系统抽样是

等概率抽样，它是公允的.系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后

对每一部分进行抽样时，采纳的是简单随机抽样.

变式训练

1.下列抽样不是系统抽样的是()

1一15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为

i+5,i+10(超过15则从1再数起)号入样

B.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一

件产品检验

C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人

数为止

D.电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈

分析：C中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样，所

以不是系统抽样.

答案：C

2.某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,....295,为了了解学生的学习状况，要

按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.

分析：按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号.

解：抽样过程是：

(1)依据1：5的比例，应当抽取的样本容量为295+5=59,我们把259名同学分成59组，

每组5人，第一组是编号为1-5的5名学生，第2组是编号为6—10的5名学生，依次下

去，59组是编号为291—295的5名学生；

(2)采纳简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为1(区5)；

(3)依据肯定的规则抽取样本.抽取的学生编号为l+5k(k=0,l,2,...,58),得到59个个体

作为样本，如当k=3时的样本编号为3,8,13....288,293.

例2为了了解参与某种知识竞赛的1003名学生的成果，请用系统抽样抽取一个容量为50

的样本.

分析：由于幽不是整数，所以先从总体中随机剔除3个个体.

50

步骤：

(1)随机地将这1(X)3个个体编号为1,2,3....1003.

(2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1

000能被样本容量50整除，然后再重新编号为1,2,3....1000.

(3)确定分段间隔.竺竺=20,则将这1000名学生分成50组，每组20人，第1组是1,

50

2,3,20；第2组是21,22,23,40；依次下去，第50组是981,982,1000.

(4)在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号1(1<20).

(5)依据肯定的规则抽取样本.抽取的学生编号为l+20k(k=0,l,2,…，19),得到50个个体

作为样本，如当k=2时的样本编号为2,22,42,982.

点评：假如遇到二N不是整数的状况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩

n

余的个体数能被样本容量整除.

变式训练

1.某校高中三年级有1242名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1：40的比例抽取一

个样本，则()

42名学生

4名学生2名学生

分析：为了保证每名学生被抽到的可能性相等，必需是随机剔除学生，由于上12空42的余数是

40

2,所以要剔除2名学生.

答案：D

2.从2005个编号中抽取20个号码，采纳系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为()

A.99B.C.100D.

答案：C

例3从已编号为1—50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行放射试

验，若采纳每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是

()

A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43

C.1,2,3,4,5D.2,4,6,16,32

分析：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应当为k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中d=50/5=10,k

是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满意要求.

答案：B

点评：利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的依次排起来，从第2个号码开始，

每一个号码与前一个号码的差都等于同一个常数，这个常数就是分段间隔.

变式训练

某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为

了了解有关状况，留下座位号是15的全部25名学生进行测试，这里运用的是抽

样方法.

答案：系统

知能训练

1.从学号为0—50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参与数学竞赛，采纳系统抽样

的方法，则所选5名学生的学号不可能是()

A.1,2,3,4,5B.5,15,25,35,45

C.2,12,22,32,42D.9,19,29,39,49

答案：A

2.采纳系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，则每个个体入样

的可能性为()

答案：A

3.某单位的在岗工人为624人，为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间，

确定抽取10%的工人调查这一状况，如何采纳系统抽样的方法完成这一抽样？

答案：先随机剔除4人，再按系统抽样抽取样本.

4.某学校有学生3000人，现在要抽取100人组成夏令营，怎样抽取样本？

分析：由于总体人数较多，且无差异，所以按系统抽样的步骤来进行抽样.

解：按系统抽样抽取样本，其步骤是：

①将3000名学生随机编号1,2,3000；

②确定分段间隔k=型”=30,将整体按编号进行分100组，第1组1-30,第2组31-60,

100

依次分下去，第100组2971—3000；

③在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号1(1WN,OW1W3O)；

④依据肯定的规则抽取样本，通常是将起始编号1加上间隔30得到第2个个体编号1+30,

再加上30,得到第3个个体编号1+60,这样接着下去，直到获得整个样本.比如1=15,则

抽取的编号为：15,45,75,2985.

这些号码对应的学生组成样本.

拓展提升

将参与数学竞赛的1000名学生编号如下000,001,002,....999,准备从中抽取一个

容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一组编号为000,002,019,假

如在第一组随机抽取的一个号码为015,则抽取的第40个号码为.

分析：利用系统抽样抽取样本，在第一组抽取号码为1=015,分段间隔为1<=妈=20,则

50

在第i组中抽取的号码为015+20(i—1).则抽取的第40个号码为015+(40-1)x20=795.

答案：795

课堂小结

通过本节的学习，应明确什么是系统抽样，系统抽样的适用范围，如何用系统抽样获得

样本.

作业

习题A组3.

分层抽样

整体设计

教学分析

教材从“了解某地区中小学生的近视状况及其形成缘由”的探究中引入的概念.在探究过

程中，应当引导学生体会：调查者是利用事先驾驭的各种信息对总体进行分层，这可以保证

每一层肯定有个体被抽到，从而使得样本具有更好的代表性.为了达到此目的，教材利用右

栏问题“你认为哪些因素可能影响到学生的视力？设计抽样方法时，须要考虑这些因素吗？”

来引导学生思索，在教学中要充分留意这一点.

教材在探究初中和小学的抽样个数时，在右栏提出问题“想一想，为什么要这样取各个

学段的个体数？”用意是向学生强调：含有个体多的层，在样本中的代表也应当多，即样本

在该层的个体数也应当多.这样的样本才具有更好的代表性.

三维目标

1.理解分层抽样的概念，驾驭其实施步骤，培育学生发觉问题和解决问题的实力；

2.驾驭分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区分与联系，提高学生的总结和归纳实力，

让学生领悟到客观世界的普遍联系性.

重点难点

教学重点：分层抽样的概念及其步骤.

教学难点：确定各层的入样个体数目，以及依据实际状况选择正确的抽样方法.

课时支配

1课时

教学过程

导入新课

思路1

中国共产党第十七次代表大会的代表名额原则上是按各选举单位的党组织数、党员人数

进行安排的，并适当考虑前几次代表大会代表名额数等因素.依据这一安排方法，各选举单

位的代表名额，比十六大时都有增加.另外，按惯例，中央将确定一部分已经退出领导岗位

的老党员作为特邀代表出席大会.这种产生代表的方法是简单随机抽样还是系统抽样？老师

点出课题：分层抽样.

思路2

我们已经学习了两种抽样方法：简单随机抽样和系统抽样，本节课我们学习分层抽样.

推动新课

新知探究

提出问题

⑴假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地教化部门为了

了解本地区中小学的近视状况及其形成缘由，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调

查，你认为应当怎样抽取样本？

(2)想一想为什么这样取各个学段的个体数？

(3)请归纳分层抽样的定义.

(4)请归纳分层抽样的步骤.

(5)分层抽样时如何分层？其适用于什么样的总体？

探讨结果：(1)分别利用系统抽样在高中生中抽取2400x1%=24人，在初中生中抽取10

900xl%=109人，在小学生中抽取11000xl%=110人.这种抽样方法称为分层抽样.

(2)含有个体多的层，在样本中的代表也应当多，即样本从该层中抽取的个体数也应当多.这

样的样本才有更好的代表性.

(3)一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽

取肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样.

(4)分层抽样的步骤：

①分层：按某种特征将总体分成若干部分(层)；

②按抽样比确定每层抽取个体的个数；

③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；

④综合每层抽样，组成样本.

(5)分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：

①分层时将相像的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不

重复、不遗漏的原则，即保证样本结构与总体结构一样性.

②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量

与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.

③当总体个体差异明显时，采纳分层抽样.

应用示例

例1一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50

岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名

职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应当怎样抽取？

分析：由于职工年龄与这项指标有关，所以应选取分层抽样来抽取样本.

解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层：按年龄将150名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以

上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为帅=,，则在不到35岁的职工中抽125x1=25

50055

人；在35岁至49岁的职工中抽280x^=56人；在50岁以上的职工中抽95x'=19人.

55

(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.

(4)综合每层抽样，组成样本.

点评：本题主要考查分层抽样及其实施步骤.假如总体中的个体有差异时，则就用分层抽样

抽取样本.用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体组成一层.

变式训练

1.某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2：3：5,现要从

全部学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力状况，试写出抽样过程.

分析：由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本.在3

个区分别抽取的学生人数之比也是2：3：5,所以抽取的学生人数分别是

235

200x--------=40；200x--------=60；200x--------=100.

2+3+52+3+52+3+5

解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层：按区将20000名高中生分成三层.

⑵确定每层抽取个体的个数.在这3个区抽取的学生数目分别是40、60、100.

(3)在各层分别按随机数表法抽取样本.

(4)综合每层抽样，组成样本.

2.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们

中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是()

1人，再用分层抽样

分析：总人数为28+54+81=163.样本容量为36,由于总体由差异明显的三部分组成，考虑

用分层抽样.若按36：163取样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为

36：162=2:9,则中年人取12人，青年人取18人，先从老年人中剔除1人，老年人取6

人，组成36的样本.

答案：D

例2某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40

种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品平安检测.若采纳分

层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）

A.4B.5C.6D.7

分析：抽样比为-------.......=-,则抽取的植物油类种数是10x」=2,则抽取的果蔬

40+10+30+2055

类食品种数是20x』=4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2+4=6.

5

答案：C

点评：假如A、B、C三层含有的个体数目分别是x、y、z,在A、B、C三层应抽取的个体

数目分别是m、n、p,则有x：y：z=m:n：p；假如总体有N个个体，所抽取的样本容量为n,

某层所含个体数目为a,在该层抽取的样本数目为b,则有己=-.

Na

变式训练

1.（2007浙江高考，文13）某校有学生2000人，其中高三学生500人.为了解学生的身体

素养状况，采纳按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本.则样本中高

三学生的人数为.

分析：抽样比为工”=L,样本中高三学生的人数为500X-L=50.

20001010

答案：50

2.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面

的状况，支配采纳分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生

（）

A.30人，30人，30人B.30K,45人，15人

C.20A,30人，10人D.30人，50人，10人

分析：抽样比是.......---------,则应在这三校分别抽取学生：—X3600=30

3600+5400+1800120120

,1,1,

人，——x5400=45人，——xl800=15人.

120120

答案：B

知能训练

1.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000家，其中农民家庭1800户，工人家庭

100户.现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入状况，则在整个抽样过程中，可以

用到下列抽样方法（）

①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样

A.②③B.①③C.③D.①②③

分析：由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子

这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户.又由于农民家庭户数较多，则在农民家庭

这一层宜采纳系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采纳简单随机抽样法.故整个

抽样过程要用到①②③三种抽样法.

答案：D

2.某地区有300家商店，其中大型商店有30家,中型商店有75家，小型商店有195家.为

了驾驭各商店的营业状况，要从中抽取一个容量为20的样本.若采纳分层抽样的方法，抽

取的中型商店数是.

答案：5

3.某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有

50人，为了探讨血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本.怎样抽取样本？

分析：由于探讨血型与色弱的关系，按血型分层，用分层抽样抽取样本.利用抽样比确定抽

取各种血型的人数.

解：用分层抽样抽取样本.

・3=2即抽样比为二2.

,500-5050

222

.\200x——=8,125x——=5,50x——=2.

505050

故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.

抽样步骤：

①确定抽样比上；

50

②按比例安排各层所要抽取的个体数，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB

型血抽2人；

③用简单随机抽样分别在各种血型中抽取样本，直至取出容量为20的样本.

拓展提升

某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方

法抽取10人参与某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，运用

简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；运

用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2,270,并将整个编号依次分为10段.假如

抽得号码有下列四种状况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；

②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；

③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；

④30,57,84,11L138,165,192,219,246,270.

关于上述样本的下列结论中，正确的是（）

A.②③都不能为系统抽样B.②④都不能为分层抽样

C.①④都可能为系统抽样D.①③都可能为分层抽样

分析：假如按分层抽样时，在一年级抽取108X也=4人，在二、三年级各抽取8以‘上=3

270270

人，则在号码段1,2108抽取4个号码，在号码段109,110189抽取3个号码,

在号码段190,191,…，270抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④

不符合，所以④不可能是分层抽样；假如按系统抽样时，抽取出的号码应当是“等距”的，①@

符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样.

答案：D

点评：依据样本的号码推断抽样方法时，要紧扣三类抽样方法的特征.利用简单随机抽样抽

取出的样本号码没有规律性；利用分层抽样抽取出的样本号码有规律性，即在每一层抽取的

号码个数m等于该层所含个体数目与抽样比的积，并且应当恰有m个号码在该层的号码段

内；利用系统抽样取出的样本号码也有规律性，其号码按从小到大的依次排列，则所抽取的

号码是：l,l+k,l+2k,...,l+(n-l)k.其中，n为样本容量，1是第一组中的号码，k为分段间隔

=总体容量/样本容量.

课堂小结

本节课学习了分层抽样的定义及其实施步骤.

作业

习题A组5.

设计感想

本节课重视从学生的生活阅历和已有知识中学习数学和理解数学.首先为教材内容选择

生活背景，让学生体验数学问题来源于生活实际;其次，大胆调用学生熟知的生活阅历，使

数学学习变得易于理解驾驭；第三，擅长联系生活实际有机改编教材习题，让学生在实践活

动中理解驾驭知识，变“学了做”为“做中学”.

用样本估计总体

用样本的频率分布估计总体分布

整体设计

教学分析

教科书通过探究栏目引导学生思索居民生活用水定额管理问题,引出总体分布的估计问

题，该案例贯穿于本节始终.通过对该问题的探究,使学生学会列频率分布表、画频率分布直方

图、频率分布折线图.教科书在这里主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法，而关于频率

分布的随机性和规律性方面则给老师留下了较大的发挥空间.老师可以通过初中有关随机事

务的知识，也可以利用计算机多媒体技术，引导学生进一步体会由样本确定的频率分布表和频

率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系,了解频率分布直方图的规律

性,即频率分布与总体分布之间的关系，进一步体会用样本估计总体的思想.

由于样本频率分布直方图可以估计总体分布,因此可以用样本频率分布特征来估计相应

的总体分布特征，这就供应了估计总体特征的另一种途径，其意义在于：在没有原始数据而仅

有频率分布的状况下，此方法可以估计总体的分布特征.

三维目标

1.通过实例体会分布的意义和作用，通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方

法.

2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图，理

解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.

3.通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的须要，通过实例体会频率分布直

方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，精确地作

出总体估计，相识到数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系.

重点难点

教学重点：会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.

教学难点:能通过样本的频率分布估计总供的分布.

课时支配

1课时

教学过程

导入新课

思路1

在NBA的2006赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分的原始记录如下：

甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,4