2023-2024学年人教A版必修第二册 线面垂直的性质与空间距离 课件（25张）

必备知识·情境导学探新知01如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯．问题：(1)灯杆与水平面有什么样的位置关系？(2)灯杆与灯杆之间有什么样的位置关系？(3)由此你能得出什么结论？

知识点1直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线____符号语言图形语言

平行a∥b思考在长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？[提示]

棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．知识点2空间距离1．过一点作____于已知平面的直线，则该点与____间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，____________叫做这个点到该平面的距离．2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的________到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．垂直垂足垂线段的长度任意一点任意一点如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为______；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________．24关键能力·合作探究释疑难02类型1线面垂直性质定理的应用类型2空间中的距离问题类型3直线与平面垂直关系的综合应用类型1线面垂直性质定理的应用【例1】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1．[证明]

因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．反思领悟

证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．[跟进训练]1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]

因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.类型2空间中的距离问题【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3,求点D到平面PBC的距离．

[解]

法一(几何法)：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离．如图，在平面PAB内作AH⊥PB交PB于点H.因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，而AH⊂平面PAB，所以BC⊥AH.

反思领悟

空间中距离的转化(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．[跟进训练]2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1．(1)证明：直线BC1∥平面D1AC；[解]

证明：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1∥平面D1AC.(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．

类型3直线与平面垂直关系的综合应用【例3】如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求证：PB⊥EF.[证明]

因为PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC.又AB是圆O的直径，所以AC⊥BC.又AC，PA在平面PAC中交于A，所以BC⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.因为AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB.又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.反思领悟

关于线面垂直判定、性质的应用(1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直，即挖掘已知条件，以方便后续证明．(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线a垂直于平面α内直线b，可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β.(3)掌握线线、线面垂直的相互转化．[跟进训练]3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．(1)求证：CD⊥平面PAC；

(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．

学习效果·课堂评估夯基础0312341．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(

)A．