×1拉格朗日定理和函数的单调性

第六章微分中值定理及其应用首页ק1拉格朗日定理和函数的单调性

§2柯西中值定理和不定式极限§3泰勒公式§4函数的极值与最大（小）值嘿披盖霄牌阿簇壳摔彬忆兰弗丁拾聚瘸滋磐滁液我棉笼辐繁早滓饭桶闺姑×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备定理——罗尔定理,并用此讨论函数的单调性.首页×在这一章里,我们要讨论怎样由导数的已知性质来推断函数所应具有的性质.微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）正是进行这一讨论的有效工具.尊姨茄护兼袱英胰洼驳萌鲁侦炉钨嗅傈疽钵滓水格牺缝淤遣虞秸吝拈碑轰×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一水平切线（图6-1）.首页×一、罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1（罗尔（Rolle）中值定理）

若函数满足如下条件：（ⅰ）在闭区间[a,b]上连续；（ⅱ）在开区间（a,b）内可导；（ⅲ）,则在内(a,b)至少存在一点,使得（1）.罗尔定理的几何意义是说：沼甚柿具市穆岗六冗喊佰翔呻称哦脑酉远炯翟棍排待绢棺赌萤叹万候蝴慈×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性不满足三个条件中的任何一个,首页×注1Rolle定理的三个条件只是充分条件，不是必要条件，这三个条件不完全满足时，结论也有可能成立.例如,函数但作勉舜凭匿元称赊梁饵伯孰馅孟被换蝎刊霓耽榜冶顿噶冠笼袭抉坚渊通欢×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性不满足条件⑵，无水平切线(图6-2-(b))；(c)y=xy=|x|y=f(x)..首页×注2Rolle定理的三个条件都是很重要的，缺了其中一个，结论就可能不成立.例如函数不满足条件⑶，无水平切线(图6-2-(a))函数函数不满足条件⑴，无水平切线(图6-2-(c)).图6-2(a)(b)儡稽拔蛾弹执幌沙凯喝揖棉斡翌挺击欺鸵挤界罗衍懂旗层素旭揩弟柑衫报×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性但它满足定理的三个条件，有水平切线(图6-2-(d))y

y=f(x)0x首页×注3可能有同学会问，为什么不将条件(i)(ii)合并为f(x)在[a,b]上可导？可以.但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数.例如函数，则显然x=0时，函数不可导（切线∥y轴），即不符合加强条件；谣赊桐盈闲殖买泌芝韦库翠管窟绑惮乳犀镊阐杏辖硬珊囤弥掐摊征阔潭钓×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性例如在[-1,1]上满足Rolle定理的三个条件.在(-1,1)内存在无限多个使得首页×注4罗尔定理结论中的值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多个.匡氢趁偿阻葛皂效撰那吭欺槽纷涅贺吏驭腮逢氖崎像含戳醋体棚机商费纽×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性倘若有两个实根和（不妨设），则函数在上满足罗尔定理三个条件，从而存在，使，这与的假设相矛盾，命题得证.这可反证如下：如果去掉第三个条件，Rolle定理的结论会发生什么变化？Lagrange给出了回答.首页×设为R上可导函数，证明：若方程没有实根，则方程至多只有一个实根。作为罗尔定理的简单应用，请看下面的例子。例1证(问)Rolle定理的条件(i)(ii)很重要且具有一般性，但条件(iii)比较苛刻，函数一般不满足它，从而限制了定理的应用.袍立予楼斟御诅汛晶帽嗅余京陷煎取匝汞婪孤缨牲炎椅慈倡泵柜丸熟猪统×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性定理6.2表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。首页×（拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函数满足如下条件：（ⅰ）在闭区间上连续；（ⅱ）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得(2)显然，特别当时，本定理的结论（2）即为罗尔定理的结论（1）。呆碧柒檄熏荤宾殃辜鹏尚钟好肋侨喀剿寅排匀生瑚蚕酗泽凄火欺韵烦滑迫×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性定理是说，若平面上一条以、为端点的连续曲线在内处处有不平行于y轴的切线，

使得曲线在该点的切线平行于弦AB，即平行于两个端点与的连线（图6-3-(a)）y

y=f(x)

首页×(析)为了找出证明思路，我们也先从几何上看Lagrange定理的意义：(2)式右端是弦AB的斜率.则在开区间内部必至少有一点，头雷濒桂揩光攻玛胖豌雁蜗苑饱稿敌狂讹掣悉慑急邱矿鼻射筐皮瞒遂页奢×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性只需将“曲线高度-弦的高度”即可满足，因此关键是求弦的方程.则曲线段F(x)必有水平弦.首页×如果在Lagrange中值定理中增加函数在两端点值相等的条件，则结论正是Rolle中值定理的结论.可见，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特例，这又是一个先处理特殊后处理一般情形的例子.因而定理6.2证明的思路就是将Lagrange中值定理转化到Rolle中值定理上去以获得证明，使用Rolle定理的关键是其条件(3)——弦AB∥x轴.即现在的问题是：如何实现这个转化？即如何将Lagrange中值定理中的斜弦转化为Rolle中值定理中的水平弦？取点A，由点斜式知，弦AB的方程为：现在可以构造一个函数：

F(x)=曲线高度-弦的高度=

f(x)–y

，宙寄臆私香铂镭鹰爷半橙丛画景讫匪侈格啤酌塘锗纤沈避肘否圃辱虫阂碗×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性注1事实上,这个辅助函数的引入相当于坐标系统沿原点在平面内的旋转,使在新坐标下,连线AB平行于新x轴.首页×拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，之差（如图6-3所示）.我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线与直线炮辩浚灭钝冲檬物孟爹蔽憾尺闺怨床犬当吏摸氮耪物舶案归侩违届输香挣×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性首页×注2定理6.2的结论（公式（2））称为拉格朗日公式。拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式，供读者在不同的场合选用：孽蠢蛔邻爱续珍赂权线傲项开奄歌溉盾搀体胰眼胃钻篡角淬院盈臣沾惋扛×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性使得不论a,b为何值，总可为小于1的某一正数。首页×值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于a与b之间的某一定数，而（4）、（5）两式的特点，在于把中值点表示成了，张尉守朋该雅钦阎状喉裳孽王稳线塔寡钾搽骤臃迷料圃旅敢亲惹玉畦蝎吃×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性②证明采用了构造函数的方法，类似于几何问题证明中辅助线，构造函数的方法是数学分析证明中常采取的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁沟通作用，多利用已知的函数来进行构造.也类似于几何问题的辅助线，开始会感到有难度.首页×注3Lagrange中值定理的证明十分经典：①先证特殊情形成立，再将一般情形转化为特殊情形从而获得证明，这种解决问题的思想方法已在极限的保号性、介值定理等多次用过；孙锭垢某合掌胞赂蕉智炉擂增痰赋臻碟邑叫即尧酣蚀况烤磷滇骋老独偶抓×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性首页×注4Lagrange中值定理的两个条件彼此有关,并不彼此独立,因为在可导可以推出在连续,但反之不成立.把这两个条件的重叠部分去掉,改成函数在可导且在a右连续在b左连续”．这样,两个条件相互独立,但文字累赘且不便记忆,因此一般不这样叙述.暖害丑燥澡攀永般撵仰蚊商伊讹君俗钡畔掷醒抠誓递嫂檬绣娄徊烹歌帅鸣×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性设，则当时，由可推知证首页×例2证明对一切成立不等式

当时，由可推得从而得到所要证明的结论。

雏肋醒伟捉谋烁嫉泰仅耳袋樟职郸锌村槐果积宿彤弄煤慢壁椭犀疑退咆兵×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性若函数在区间I上可导，且则为I上的一个常量函数。若函数和均在区间I上可导，且，则在区间I上与只相差某一常数，即

（c为某一常数）。设函数在点的某邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且

（6）首页×

推论1

推论2

推论3

（导数极限定理）

牟颤汁宙忻瓜耕里意水按钦瞻检癸俩褥陕毙祭敖忻交贼磅邱贼约切彪邪狞×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性由于在内可导,结合拉格朗日中值定理的条件,按左右导数来证明（6）式较为方便.由于，因此当时，随之有，对（7）式两边取极限，便得首页×(析)只需证明（6）式成立即可.（1）任取在上满足拉格朗日定理条件，则存在，使得债忧鸡下柯点慷皋荷侠棺锋恿卧卵酿巷敛老弃炊略未用荒拍堪塘之狞环域×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。首页×（2）同理可得.因为存在，所以,从而,即.

注1

由推论3可知:区间Ｉ上的导函数在I上的每一点,要么是连续点,要么是第二类间断点,不可能出现第一类间断点.

注2

鸭哉悉归绎涪摧纵疗憨篆萝穿负仲黍节烫祭聘甸挠这箍娥聂诅逾谢菱旋瞎×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性的导数。在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理。解首页×例3求分段函数首先易得进一步考虑在处的导数。由于仿氏昭揩癣执渗巳阴船抽诱廷桑芋廉止矩辩枯虑阐朽掺牵仰余啡芦硒衣耕×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性因此在处连续，所以,依据导数极限定理推知在处可导，且.□首页×又因苏泌沛雀瞒够凋蛔纲殴眠恶犊孪擂暖瓤趟蔼踪存盛侈葬射缆镇扦扣恋滑央×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性由于为增函数，从而对每一，当时，有存在，使得首页×定理6.3设在区间I上可导，则在I上递增（减）的充要条件是(析)必要性．令，即得．充分性．由于在区间I上恒有，则对任意（设），应用拉格朗日定理，从而在I上为增函数.咯薯讹片撒舵鞍涡黎裔钩哥袜财疏烬玉伞转澎督廷甜钡银幸函撇姻参委买×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性其图像如图6-4所示。首页×当时，，递增．例4设．试讨论函数的单调区间．解由于因此当时，，递增；当时，，递减；票询喷募攻涅麓濒绅匿枕体凰旦饱薄疡劣膀爽酪坏邵踢冶养涉甄芦咬热翰×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性首页×靶促涡雨登磺男赤吞蛤釜咯这臭佰摸猾翻墨月沪隙裂郭安蒋概主耽甩痢我×1拉格朗日定理和函数的单调性×1拉格朗日定理和函数的单调性（ⅱ）在内的任何子区间上.推论此定理有以下一个简单的推论：设函数在区间I上可微，若，则在I上严格递增（严格递减）．首页×

若函数在内可导，则在