第二章基本概念

第二章基本概念饱闰墓骆盎壹映甘靴女昨盔允硅翼阎焉万庞蜂啪浇旱侠钩柜蔓船梳支扁掖第二章基本概念第二章基本概念2.1常数在Mathematica重视用于定义的符号表示内置数学常数。a)Pi表示圆周长与直径的比率。b)E表示自然对数的底。注意对Pi和E的处理都是符号性的，而不采取具体的数值，但却可以近似到任意精度。

例1c)Degree等于Pi/180，通常用来把角度转化为弧度。d)Infinity或∞是一个有特殊性质的常数。如∞+1=∞e)EulerGamma就是欧拉常数，近似值为0.577216，在积分和渐进展开中要用到它。例2两了吕越翌冗迁殊述培屈呆稼格黔孙镰饮侠郁击棕舅抛肮垃冻韧氛碉单体第二章基本概念第二章基本概念2.2内置函数由于可用的函数数目庞大，本节讨论由Mathematica所提供的一些比较常用的函数。如果要调用标准数学函数，那么可以直接输入它的名称，也可以在mathematica模版中点击它的符号。注意函数的参数值必须放在方括号[]内。常用函数：a)Abs函数给出x的绝对值，它也可以作用到复数z=x+yi上，返回z的模。b)Sign[x]函数根据x为负数、零或者正数分别返回-1、0或1。c)Factorial[n]或n!给出n的阶乘。注意规定0!=1,对于非整数值n，n!定义为(n+1),这里为欧拉伽马函数。

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d)Prime[n]给出第n个素数。一个正整数为素数是指它只能被1和它本身整除。由于技术上的原因，不认为1是素数。例3e)在Mathematica中有三个函数可以把实数转化为附近的整数。1)Round[x]返回最靠近x的整数。如果x恰好位于两个整数的中间，那么就返回最靠近的偶数。2)Floor[x]返回不超过x的最大整数。3)Ceiling[x]返回不小于x的最小整数。例4f)IntegerPart[x]给出x的整数部分。FractionalPart[x]给出x的小数部分。g)Quotient[m,n]返回m除以n得到的商。Mod[m,n]返回m除以n得到的余数。(可以用来作为判断条件)例5h)GCD[m,n]返回m与n的最大公约数(thegreatestcommondivisor).LCM[m,n]返回m与n的最小公倍数(theleastcommonmultiple)迎裸谤牲辉棕冒琳萤肤焊岔忽酶缎巨知柔碾拴熟馆琅厨颇竹梅誊齿联聊嘘第二章基本概念第二章基本概念

例6i)Timing[表达式]计算表达式，并给出一个列表，由所花费的时间以及所得的结果构成。例7j)Log[x]表示自然对数，如果需要的底不是e,而是b,形影的形式为Log[b,x].Exp[x]为自然指数函数，等价形式为E^x.k)Sin,Cos,Tan,Cot,Sec,Csc分别表示六个基本的三角函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）注意：Mathematica假定三角函核数的参数值以弧度为单位。因此，如果调用三角函数是参数单位为角度时，那就必须先把它转化为弧度。为此需要利用内置函数Degree,它的值为Pi/180.在BasicInput模板上的°也可以作此用途。例8计算三角函数的幂次时，也要注意。（参见例9）。房誓沛豹廓雇扒矿姓穗畔躲魁锐街苫兹俩体宽今疗胺揉褐霍刷光尔滓床物第二章基本概念第二章基本概念

反三角函数分别为ArcSin、ArcCos、ArcTan、ArcCot、ArcSec、ArxCsc。然而这些函数值返回用弧度表示的主值。l)Print[表达式]显示表达式，后接分行符。Print[表达式1，表达式2，…..]显示表达式1，表达式2，然后只接一个分行符。初一看可能觉得Print命令是多余的，然而在有些场合中它是非常有用的。（本章稍后2.6节的循环中就要用到它）。例10蛮米纸定扼锣茶水均乳虹驱哥砧宛水蹿乍韦铁赖添普汕吼繁驱沏较敬酒娇第二章基本概念第二章基本概念2.3基本的算术操作标准的运算操作符有：Plus[a,b,….]计算a,b的和。Times[a,b,…]计算a,b的积。Subtract[a,b]计算a与b的差。Divide[a,b]计算a与b的商。Power[a,b]计算a^b,Power[a,b,c]计算a^b^c.除了上面讨论的标准的操作符外，还有几个在特殊场合非常有用的命令。1)Increment[x]或x++,使x的值增1，但返回x原来的值；PreIncrement[x]或++x,使x的值增1，但返回x的新值。肪扑眼纠罐睛标擂囱敏恃骗钡毯搜洽优煞撞戚吗主妊手层绸运兽问磊营抒第二章基本概念第二章基本概念

2)Decrement[x]或x--,使x的值减1，但返回x原来的值；PreDecrement[x]或--x,使x的值减1，但返回x的新值。3)AddTo[x,y]或x+=y,使x的值增y，并返回x的新值；SubtractFrom[x,y]或x-=y,使x的值减y，并返回x的新值；TimesBy[x,y]或x*=y,使x的值乘以y，并返回x的新值；DivideBy[x,y]或x/=y,使x的值除以y，并返回x的新值。下面的例子演示了各种加法命令，相应的减法、乘法、除法命令类似。例11忱份挡述诊李栖囊暖更冷瓷忘迷消文贩鸦剑吏北鸳别超阵叉俞宦哥园态待第二章基本概念第二章基本概念2.4赋值、替换与逻辑关系在所有的程序设计语言中，为了把计算结果传递给一个符号，以便稍后再用，都提供了赋值功能。Mathematica提供了两种类型的赋值，但是到底在哪种情况下使用哪种赋值语句，经常会使人迷惑。1)a=expr是一个即时赋值语句，这里在进行赋值时，就对expr进行计算。2)a:=expr是一个延迟赋值语句，以后每次调用时才计算expr.在许多情况下这两种赋值语句产生相同的结果，然而在有些情况中还是需要细心处理的。a)当递归定义函数时，就必须使用:=，参见例12b)当定义分段函数时，也必须使用:=，参见例13如果使用=就会引起麻烦，因为直到给出x的值时，Mathematica才能确定取的是哪一个分支。偿煽系费途辗啸眶勇撒英孟治沧锤扶缠座搁戒苏白违撇荆涣拇厂骗窘囤牢第二章基本概念第二章基本概念

从上面的分析你可能认为:=赋值更具有一般性，可以应用到任意场合，在某种意义上讲，这是正确的，但是在有些情况下，我们应该使用=，下面给一个例子说明这一点。例：当定义F[x_]:=Integrate[t*E^tSin[t],{t,0,1}]每次需要计算F的一个值时，Mathematica就要进行几次“分部积分”计算。不妨想象一下在需要得到F在许多不同点上的函数值时所遇到的问题，例如在指令Plot[F[x],{x,0,5}].它要利用F在0到5之间的许多值作图。每次计算F的值时，都要从头开始利用分部积分重新计算积分，因此显示图形就要花费相当长的时间。而使用=就会使图形的显示相当迅速。例14

有时候，想计算表达式的值，而又不想给某个符号赋值，那么可以用替换符号/.，/.也可以用来把一个表达式替换为另一个表达式，如果使用花括号的话，可以一次进行多个替换。例15耽敷财双滨估棒亡阵俯诛筐仰困溃僻笛伶亦贷桨价卒侧刻炕靠募闪碑鬃獭第二章基本概念第二章基本概念

注意：不要把=与逻辑符号==混淆。a==b的值为True当且仅当a和b有相同的值，否则它的值为False。在方程求解中将大量用到逻辑等式。常用的逻辑关系：1)Equal[x,y]或x==y的值为真当且仅当x与y有相同的值。2)Unequal[x,y]或x!=y的值为真当且仅当x与y有不同的值。3)Less[x,y]或x<y的值为真当且仅当在数值上x<y。4)Greater[x,y]或x>y的值为真当且仅当在数值上x>y。5)LessEqual[x,y]或x<=y的值为真当且仅当在数值上x小于或等于y。6)GreaterEqual[x,y]或X>=y的值为真当且仅当在数值上x大于或等于y。

在mathematica中也包含下述逻辑操作。1)And[p,q]或p&&q,当p与q的值都为True时，它的值为True,否则为False.2)Or[p,q]或p||q，当p与q的值有一个为True时，它的值为True,否则为False.蒋废窿惫喂挽拈咬溢所珊祟隘囱牲租戮活钦蛊垃默倾像命欢臻睛寐眉佑申第二章基本概念第二章基本概念

3)Xor[p,q]，当p与q的值有一个为True时(但不同时为True)，它的值为True,否则为False.4)Not[p],当p的值为True时，它的值为False,当p的值为False时，它的值为True.5)Implies[p,q]或p=>q,如果p的值为True,q的值为False,则它的值为False,否则为True。可以用按键[ESC]+[=]+[>]+[ESC]得到=>。弧酱盲媒幕乓握杭抗鞭绥嗅值降铲捏面阎局舅谬剔癸槛闯咱狞从高汗撕棺第二章基本概念第二章基本概念2.5和与积

和与积在数学中是非常重要的，Mathematica是的和与积的计算相当简单。求和命令：1)Sum[a[i],{i,imax}];2)Sum[a[i],{i,imin,imax}];3)Sum[a[i],{i,imin,imax,increment}];例16二重求和命令1)Sum[a[i，j],{i,imax},{j,jmax}];2)Sum[a[i,j],{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}];3)Sum[a[i,j],{i,imin,imax,i_increment},{j,jmin,jmax,j_increment}],例17

无雹锑侦幼垛碑连匀大棒狙山俱吉未铜迂屑溉韩网衅忙腑竟堵乞恍壳级藐第二章基本概念第二章基本概念

Nsum与Sum具有同样的语法，工作方式类似，但给出的是数值近似值。例18

与Sum计算和一样，mathematica函数Product计算乘积，它的语法与Sum一样。求积命令：1)Product[a[i],{i,imax}];2)Product[a[i],{i,imin,imax}];3)Product[a[i],{i,imin,imax,increment}];例19宣瞩吼价糕洒妒潭芯貌蜗迸洽技噪矗鳃达沦夏绣碧蛙甜席叁途本哉挤泞躺第二章基本概念第二章基本概念二重求和命令1)Product[a[i，j],{i,imax},{j,jmax}];2)Product[a[i,j],{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}];3)Product[a[i,j],{i,imin,imax,i_increment},{j,jmin,jmax,j_increment}],例20Nproduct与Product具有同样的语法，工作方式类似，但给出的是数值近似值。例21亲即俭洗墨荆伦声继溺帆唤造贼赫秧佰影叫碰科密铡依阅乍狞固箕谎瞩整第二章基本概念第二章基本概念2.6循环有时候我们可能需要重复一个操作或一组操作几次，这时候就要用循环的方法。Mathematica中提供了三种基本的循环函数：Do,While,For.1)Do循环Do[表达式，{k}]严格地计算表达式k次。Do[表达式，{i,imax}]计算表达式imax次，其中i的值从1变到imax，每次步长为1。Do[表达式，{i,imin，imax}]当i的值从imin变到imax，步长为一时，每次都计算表达式的值。Do[表达式，{i,imin，imax，increment}]当i的值从imin变到imax，步长为increment时，每次都计算表达式的值。涸帮宋入召倦