专题复习与圆的切线有关的证明与计算

关于专题复习与圆的切线有关的证明与计算切线的性质定理：圆的切线________于经过切点的半径．技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．切线的判定垂直垂直第2页,共25页，2024年2月25日，星期天第3页,共25页，2024年2月25日，星期天有交点，连半径，证垂直第4页,共25页，2024年2月25日，星期天第5页,共25页，2024年2月25日，星期天1.如图9所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.

（1）求证：直线PB与⊙O相切

（2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC=4.求弦CE的长．第6页,共25页，2024年2月25日，星期天（1）证明:过点O作OD⊥PB,连接OC.∵AP与⊙O相切,∴OC⊥AP.又∵OP平分∠APB,∴OD=OC.∴PB是⊙O的切线.

∵∴（2）解:过C作CF⊥PE于点F.在Rt△OCP中，OP=在Rt△COF中，∴在Rt△CFE中，第7页,共25页，2024年2月25日，星期天【教材原型】如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______第8页,共25页，2024年2月25日，星期天

【解析】连结OC，因为PC为⊙O的切

线，所以∠PCO＝90°，

在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°，

所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB

＝2－1＝1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直。第9页,共25页，2024年2月25日，星期天练习：如图，AB是⊙O

的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC.求证：DE与⊙O相切.一题多解第10页,共25页，2024年2月25日，星期天变式训练规范书写(昆明）如图，已知AB是⊙O的直径，过点E的直线EF与AB的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC。求证：CF是⊙O的切线。（5分）第11页,共25页，2024年2月25日，星期天（1）证明：连接OE……………1分∵AE平分∠FAC∴∠CAE=∠OAE又∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE…………..…2分∴∠CAE=∠OEA∴OE∥AC…....…3分∴∠OEF=∠ACF又∵AC⊥EF∴∠OEF=∠ACF=90°∴OE⊥CF…...…4分又∵点E在⊙O上∴CF是⊙O的切线…………..…5分看看你能得几分？第12页,共25页，2024年2月25日，星期天变式

（广州）如图，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD，设⊙O是△BDE的外接圆。求证：AC是⊙O的切线。DE⊥BD，设⊙O是△BDE的外接圆变式训练第13页,共25页，2024年2月25日，星期天

例：如图，已知：为角平分线上一点，于，以为圆心，为半径作圆。求证：是⊙的切线。无交点，作垂直，证半径证明：过O作OE⊥AC于E∵AO平分∠BAC

OD⊥AB∴OE＝OD∵OE是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线E第14页,共25页，2024年2月25日，星期天【教材原型】已知：如图，A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．第15页,共25页，2024年2月25日，星期天

证明：连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，

∠A＝30°，

∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，

∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.

∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，

∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线．

【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“连半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．第16页,共25页，2024年2月25日，星期天【中考变形】1．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO＝BD＝BC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若半径OB＝2，求AD的长．第17页,共25页，2024年2月25日，星期天

解：(1)证明：连结OD，

∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线．

又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°.

又∵OD为⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线； (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，

∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4，第18页,共25页，2024年2月25日，星期天2.（2015•昆明）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．第19页,共25页，2024年2月25日，星期天证明：（1）如图1，连接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线．第20页,共25页，2024年2月25日，星期天（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10，∴AB=CD=10，∠ABE=90°，设OA=OE=x，则OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，∴（10﹣x）2+52=x2，∴∴⊙O的直径为．

第21页,共25页，2024年2月25日，星期天【中考预测】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求AC，AD的长；(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．第22页,共25页，2024年2月25日，星期天解：(1)如图，连结BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，第23页,共25页，2024年2月25日，星期天

(2)直线PC与⊙O相切．

理由：如图，连结OC，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.

∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.

∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，

∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE，

∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.

∴∠PCB