高等数学 课件 王震 第三章 微分中值定理及导数的应用

第三章微分中值定理及导数的应用3.1微分中值定理微分在近似计算中的应用举例教学内容一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理一、罗尔定理费马引理：若函数在点的某邻域内有定义，且存在，对任意有（或），则通常称导数为零的点叫函数的驻点（或稳定点，临界点）不失一般性，我们以为例来证明。一、罗尔定理一、罗尔定理例如,一、罗尔定理证由费马引理知一、罗尔定理几何解释:一、罗尔定理注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,二、拉格朗日中值定理注意二、拉格朗日中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为二、拉格朗日中值定理作辅助函数拉格朗日中值公式注意:这个公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.推论二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论二、拉格朗日中值定理例1证作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分三、柯西中值定理三、柯西中值定理几何解释:证作辅助函数三、柯西中值定理三、柯西中值定理例证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第三章

微分中值定理及导数的应用3.2函数的单调性3.5函数的性态与作图（1）一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最值定理1xyoy

f(

x)ABabxyoAy

f(

x)Babf

(

x)

0 f

(

x)

0设函数

f

(x) 在闭区间

[a,

b]上连续，在开区间

(a,

b) 内可导.则函数

y=f

(x)

在[a,

b]上单调增加(或减少)的充要条件是.证明

充分性 在[a,

b]上任取两点x1,x2，不妨设

x1<x2

，则由拉格朗日中值定理知f

(x2

)

f

(x1

)

f

(

)(x2

x1

), x1

x2f(x2)

f(x1)

0

，因此f(x)在[a,

b]上单调增加.f(x2)

f(x1)

0

，因此f

(x)

在[a,b]上单调减少.因为f(x)在开区间

(a,

b)

内可导0 00x

x0

x

(a,b),

f

(x

)

lim

f

(x)

f

(x0

)

0x

x定理2设函数

f

(x) 在闭区间

[a,

b]上连续，在开区间

(a,

b) 内可导.(1)若在(a,

b)内

f

(x)

>

0，则函数

y=f

(x)

在[a,

b]上严格单调增加.(2)若在(a,

b)内

f

(x)

<

0，则函数

y=f

(x)

在[a,

b]上严格单调减少.解 (1)该函数的定义区间为(

,

)(2)

f

(x)=6x2

-

6x-12=

6(x-2)(x+1)，令f

(x)=

0，得

x1

=

-

1，x

2=

2(3)列表讨论如下：x(

,-

1)(-

1,2)(2,

)f

(x)

f

(x)所以(-∞,

-1)和(2,

+∞)是

f(x)

的递增区间, (-1,

2)是

f(x)的递减区间.例1x2

的单调区间.确定函数

f

(

x)

3解

D

:

(

,

).33xf

(

x)

2 , (x

0)当x

0时,导数不存在.当

x

0时f

(

x)

0,

在(

,0]上单调减少；当0

x

时f

(

x)

0,

在[0,

)上单调增加；单调区间为x2y

3(

,0][0,

).作答主观题10分定理

3 充分条件I---单调法则设函数

f

(x)

在点x0

的左右近旁可导，若当

x

在x0

的左右，

f

(x)改变符号，则函数

f(x)在点x0取得极值，且0(1)如果x

(

x

)

,

x ),

有

f

'

(

x)

0;而x

(

x ,

x0 0 0有

f

'

(

x)

0，则

f

(

x) 在x0处取得极大值0(2)如果x

(

x

)

,

x ),

有

f

'

(

x)

0;而x

(

x ,

x0 0 00有

f

'

(

x)

0，则

f

(

x)在x 处取得极小值(3)如果当x

(

x0 0 0 0

,

x )

及x

(

x ,

x

)时,f

'

(

x)符号相同,则

f

(

x)在x0

处无极值例4的极值.求函数y

2x3

12x2

18x

9解

D

:

(

,

)

y

6x2

24x

18

6(x

1)(x

3);令

y

0,x1得

1,x2

3.x(

,1)1(1,

3)3(3,

)f

(x)

00

f(

x)

1

9x23233

x5x

2x3

x

1

(2)f

(x)

3 x2

1521令f

(

x)

0, 得驻点x

2

, 不可导点x

0.（3）列表讨论如下：x(-

,

0)0

0,

2

5

25

2

,

5

f

(x)+不存在-0+f

(x)极大值03

3 4极小值

5 255所以, 函数在x

0取得极大值

f

(0)

0, 在点x

25 5 252 3 43)

.取得极小值 f

(定理

4

充分条件II---二阶导符号法则设函数

f(x)在点

x0

的二阶导数存在，若若

f

(x0)=

0，且

f

(x0)

0，则函数f

(x)在点x0取得极值，且(1)若

f

(x0)

<

0

,则

f(x0)

为函数f

(x)的极大值，

x0为极大值点；(2)若

f

(x0)

>

0，则

f(x0) 为函数f

(x)的极小值，

x0为极小值点.例6 求函数

f

(x)

=x4

–10x2

+

5的极值.解

(1)

f(x)的定义域为

(-

,

+

).(2) f

(x)=4x3–

20x

= 4x(x2-

5)，5, x2

0, x3

5.令

f

(x)

=0,得驻点

x1

(3)因为

f

(x)

=12x2

–20，于是有f

(

5)

40

0,f

(0)

20

0,f

( 5)

40

0.所以函数

f(x)在点

x=0

取得极大值

f(0)=5,在点x

5取得极小值

f

(

5)

20.作答主观题10分分析：若函数f(x)在闭区间[a,

b]上连续，那么它在

[a,

b]

上一定有最大值和最小值．显然，在所设条件下，f(x)在闭区间[a,

b]的最值只可能在极值点和区间的端点处达到．又因为极值点只能在极值嫌疑点中去找，所以只要求出全部极值嫌疑点和两个端点处的函数值，然后加以比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值．例7 求函数

f

(x)

=

2x3–9x2+12x+10在

[0,3]上的最大值和最小值.解 f

(x)=6x2–18x+12

=6(x–2)(x–1),令

f

(x)

=

0，得驻点

x1=2,

x2=

1. 计算f(x)在所有驻点及端点处的函数值：f(1)=15

,

f(2)=14

,

f(0)=10

, f(3)=19,比较这些值的大小，可知，在[0,3]上，函数f(x)的最大值为f(3)=19,最小值为f(0)=10.实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最(或最小)值．例8 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？

10解

设房租为每月x元，租出去的房子有

50

x

180

套，

10R(

x)

(

x

20)

50

x

180

10

R(

x)

(

x

20)

68

x

10

10

5R

(

x)

68

x

(

x

20)

1

70

x

R

(

x)

0

x

350（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。

10

最大收入为R(

x)

(350

20)

68

350

10890

(元)练习：求函数

f

(x)

=

x3–3x2

–9x+5在

[–4,4]上的最大值和最小值.作答主观题10分第三章

微分中值定理及导数的应用3.3未定式这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.定理1设（1）当

x

a

时，函数

f

(x)及

g(x)

都趋于零；（2）在点a的某去心邻域内，f

'(x)

及g

'(x)

都存在且g'(x)

0（3）

limf

(x)存在（或为无穷大），那么x

a

g

(x)lim

limf

(x)

f

(x)x

a

g(x) x

a

g

(x)例1解.sin

xx

0ex

e

x求

limx

0(sin

x)

原式

limlimcos

xx

0ex

e

x(ex

e

x

)

2.例2解3 2.x3

3x+2x

1

x

x

x

1求

lim23x2

3x

1

3x

2x

1原式

lim6x

limx

16x

2.32

)00()00(定理2000limx

x F

(

x)f(

x)

f

(

x)

.x

x F

(

x)x

x F

(

x)设(1)

当x

x0时,函数

f

(

x)

及

F

(

x)

都趋于无穷大;(2)

在x0的某去心邻域内

f

(

x)及

F

(

x)

都存在且

F

(

x)

0;(3) lim f

(

x)

存在(或为无穷大);那么 lim例4解ln

sinnxx

0

求

limlnsinmx.x

0

n

cos

nx

sin

mx

1.

(

)x

0

cos

mx原式

lim

m

cos

mx

sin

nx

lim cos

nx例3解.2 1xx

arctan

x求

limx2x

1 1

x2原式

lim2x2

lim

1 x

1

x

1.00( )解2x

tan

3

x例5

求

lim

tan

x

.sec2

x原式

lim2 22 21 cos23

xx

3sec

3

x

3

x

cos

x

lim22cos

x

sin

x3

x

2x

sin

2

x

1

lim

6cos

3

x

sin

3

x

lim

sin

6

x2

lim6cos

6

x

3.x

2cos

2

x

(

)注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6解x2tan

xx

0求

lim

tan

x

x

.3xx

0原式

lim6

xx

0

lim23

xsec2x

1tan

x

x

limx

0xlim3

x

02sec2

x

tan

x

1 tan

x

13

.例7解xx

求

lim

x

cos

x

.1x

原式

lim

1

sin

x

lim(1

sin

x).x

极限不存在洛必达法则失效。xx

原式

lim(1

1

cos

x)

1.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分应用法则时，每步必须验证条件，否则会得出错误的结果

1lim

x

sin

x

lim

1

cos

x

lim sin

xx

x

sin

x x

1

cos

x x

sin

x事实上，上式极限为1，错误在于应用了一次法则后已经不是不定式了，所以不能再用洛必达法则求极限。例9解1tan

x

xx

0

1

).求

lim((

)x

0x

tan

x原式

lim

x

tan

x=

lim=0.x22x2xx

0x

0x

0x

tanx1

sec2

xtan2

x

lim

lim2.

型步骤:

1

1

0

0

.0 0 0

0步骤:3.

00

,1

,

0 型

0

ln

ln1

0

ln

01

0

00

取对数

0

.解x

0

例10

求

lim

x

x

.(00

)x

0

原式

lim

e

x

ln

xlim xln

x

e

x

0

1limx21xx

0

e

e0

1.1xlimln

xx

0

e例11解1

ln

x求

limx1

x.x

11x

1原式

lim

e1

xlimln

x

e

x

11

x(

1 )1lim

x

e

1

.例12解1x

0

求

lim(cotx)lnx.

e

x

1

1(

0

),11

ln(cotx

)

eln

x取对数得

(cot

x)ln

xx

0

ln

x1x11

lim

1

ln(cot

x)

limx

0

cot

x sin2

x

lim

x

1,x

0

cosx

sinx

原式

e

1

.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分洛必达法则00,1

,

0 型

型型00型

0

型f1

gf

g

1g

1

ff

g

1g

1

f令y

f

g取对数一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用举例0nf

(x)

P(x)0nx

x是比

高阶的无穷小.当一个函数f

(x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0附近的函数值或描绘曲线f

(x)在一点P(x0,f(x0))附近的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式近似表示f

(x)且当

x

x 时，函数Pn

(x)

a0

a1(x

x0

)

a2

(x

x0

)2

an

(x

x0

)n

' ''0n0 0 1 0 2 0 na

f x ,1!a

fx ,

2!a

f x

,

,

n!a

f x这样,对Pn(x)

求各阶导数,然后分别代入以上等式得假定f

(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，并且要求满足条件：npn(x0

)

f(x0),pn

(x0

)

f

(x0

),

,

p(n)

(x0

)

f(n)

(x0

)212!

n

00f (x

),

a

P''

(x

)

,01(

n)n n! na

P0f

(n)

(x

)(x)

12

!1n

!即得

a0

Pn(x0

)

f(x0),a1

P'n(x0

)

f

(x0

)

,把所求得的系数代入得P

(x)n0

f

(x

)0 0)(x

x

)

f (x

0 0

1

f

(n)

(x

)(x

x

)nn

!20 0f (x

)(x

x

)

12

!

nnf x

P

x0nx

x其次证明

R

x

是较

显然,

Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，且高阶无穷小

(x )

0(n)n 0 n 0 n 0R (x )

R (x )

R0

0n

1据此重复使用洛必达法则，可推得

limx

x0(x

x

)Rn

(x)0x

x

0nx

x高阶的无穷小.即当时，Rn(x)

是比于是

f

(x)

可表示f(x)

00 0f

(x

)

2002

!)f (x(x

x

)

f (x )(x

x )

nn

!0(x

x

)

f(n)(x0

)nR (x)的高阶无穷小.

n其中R

(x)0是较(x

x

)n定理

泰勒(Taylor

)中值定理f(x)

0f

(x

)0 0

f (x

)(x

x

)02

!f (x

2

n

!) f(n)(x0

)(x

x0)(x

x0

)

n

R

(x)n①(n

1)

!其中

Rn

(x)

(x

x0)n

1f(n

1)

(

)0(

在

x 与x

之间)

②如果f

(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对于任一x

(a

,b)

有其中

R (x)

((x

x )n

)n 0公式①称为f

(x)按

(x-x0)

的幂展开的

n

阶泰勒公式

.公式

②

称为拉格朗日型余项.(

x (0

1)).nxn

1(n

1)

!R (x)

f(n

1)

(

x)2

f

(0)

2

!f(x)

f

(0)

f

(0)x

n

!f(n)

(0)x

x在泰勒公式中令

x0

0

,

则有：n其中其中nR (x)

(xn

)n

R (x)

上述公式

称为

f(x)的麦克劳林(Maclaurin)公式

.公式

称为拉格朗日型余项.

公式

称为佩亚诺型余项

.

xnex

1

x

x2

x32

!

3!故例1

求函数

f

(x)

e

x解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以f'

x

f''

x

f

n

x

ex，f

0

f'

0

f''

0

f

n

0

1.nn

!

+

(x

)3

!5

!(2m

1)

!x2m

1sinx

x

x3

x5

(

1)m

1解:因为例2

求函数

f

(x)

sin

x

的n阶麦克劳林展开式.所以f

'

x

cos

x,

f

'

x

sin

x,

f

'

x

cos

x,

4,nf

2

x

sin

x,

,

f x

sin x

n

f(0)

0,f

(0)

1,f

(0)

0,

f

(x)

1,f(4)

(0)

0,

,

f(n)

(0)

sin

n

2令n=2m-1，于是有

f

(n)

(0)

(

1)m

1;令n=2m，于是有

f

(n)

(0)

0.2m

(x

)x2m类似地,可得2

!x2cos

x

1

4

!x4

m

(

1)23nln(1

x)

x

x2

x3

(

1)(2m)

!nn

1

x

(x2m

1

)n

(x

)

11

x

1

x

x2

xn

(xn

)(

x

1)(1

x)

1

x

(

1)

x2

(

1)

(

n

1)

xn

(xn)2! n!作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分2.x4x2x

0lim

cos

x

e例4

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分第三章

微分中值定理及导数的应用3.5函数的性态与作图（2）xyoABC问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoy

f(

x)x1x2图形上任意点的切线位于弧的下方xyoy

f(

x)x1x2图形上任意点的切线位于弧的上方(1) 若恒有

f

(

x1

x2

)

f(x1

)

f(x2)

,2 2是（向上）凸的;(2) 若恒有

f

(

x1

x2

)

f(x1

)

f(x2)

,2 2是（向上）凹的;例1 求曲线

y

3

x

的凹凸区间。解1 2(

x

0)

.x

23

3 x

2 9

x

3y

,

y

,当x

<

0时，y

>

0,

所以曲线在(

,

0]上是凹弧；当x

>

0时，y

<

0,

所以曲线在[0,

+

)上是凸弧。于是，曲线的凹区间为

(

,

0]，凸区间为[0,

+

)

。0U

(x0)0U

(x0)00U

(x

)例2的凹凸区间及拐点.求函数y

x4

2x3

3x

1解

D

:

(

,

)y

4x3

6x2

3,

y

12x(x

1);x(

,0)0(0,1)1(1,

)f

(

x)

00

f(

x)凹的拐点凸的拐点凹的令

y

0,x1得

0,x2

1.作答主观题10分1.水平渐近线

(平行于

x

轴的渐近线)如果 lim f(x)

A

或

lim f(x)

A (

A为常数)x

x

那么

y

A

就是

y

f

(x)

的一条水平渐近线.例如 y

arctan

x,22y

.有水平渐近线两条:

y

,2.垂（铅）直渐近线(垂直于

x

轴的渐近线)0 0那么

x

x0

就是

y

f

(

x)

的一条铅直渐近线.如果 lim f(x)

或

lim f

(

x)

x

x

x

x

,1(

x

2)(

x

3)x

3.例如 y

x

2,例题xx2+2x

11、求曲线f

(x)

的渐近线.ex2、求曲线f

(x)

x

的渐近线.x

13、求曲线

f

(x)

ln

x

的渐近线.例4

作函数

f

(

x)

x3

x2

x

1

的图形.解 D:

(

,

),无奇偶性及周期性.f

(

x)

(3

x

1)(

x

1),f

(

x)

2(3

x

1).令

f

(x)

0,3得驻点

x

1

, x

1.令

f

(

x)

0,3得特殊点

x

1

.补充点

:2 8A

(

1,0), B

(0,1), C

(3

,

5).列表确定函数升降区间,

凹凸区间及极值点与拐点:f

(

x)f

(

x)f(

x)131

3113 31 1(

, )1(3

,1)00x (

,

)3

(1,

)

极大值3227拐点3

271

16( , )极小值0xy

131

o131A

(

1,0)B

(0,1)2

83

5C

( , )例5

作函数

f

(

x)

4(

x

1)

2

的图形.解D:x

0,x2非奇非偶函数,且无对称性.f

(

x)

4(

x

2)

,x4f

(

x)

8(

x

3)

.x3令

f

(x)

0,令

f

(

x)

0,得驻点

x

2,得特殊点

x

3.x2x

x

lim

f

(

x)

lim[4(

x

1)

2]

2, 得水平渐近线

y

2;x2x

0

x

0lim

f

(

x)

lim[4(

x

1)

2]

,得铅直渐近线

x

0.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:x(

,

3)

3(

3,

2)

2(

2,0)0(0,

)f

(

x)0

不存在f

(

x)0

f(

x)(拐点

3,

26)极值

3点间断点93,0),补充点

: (1

A

(

1,

2),(1

3,0);C

(2,1).作图xB

(1,6),yo

311 2

2

3

2

16ABC作答主观题10分第三章

微分中值定理及导数的应用3.6曲率一、曲率的