2024七年级下册数学专题1.5 不等式与不等式组章末重难点题型（举一反三）（人教版）含解析

2024七年级下册数学专题1.5不等式与不等式组章末重难点题型【人教版】【考点1不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

【例1】（2019春•南平期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜mb；（3）ac2＞bc2；（4）＞1，一定能推出a＞b的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2018春•江汉区期末）若a＞b，则下列结论：①a+x＞b+x；②＞；③ax2＞bx2；④ab＜b2；⑤﹣|a|＜﹣|b|．其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2019春•冠县期末）下列式子正确的是（）A．若＜，则x＜y B．若bx＞by，则x＞y C．若＝，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y【变式1-3】（2019春•宜宾县校级期中）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（）A．由ax＜b，得x＜ B．由（a﹣b）x＞2，得x＞ C．由bx＜a，得x＞ D．由（b﹣a）x＜2，得x＜【考点2由实际问题抽象出一元一次不等式】【方法点拨】由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【例2】（2019春•湘桥区期末）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（）A．6折 B．7折 C．8折 D．9折【变式2-1】（2019春•威远县校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8【变式2-2】（2019春•肥城市期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（）A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48 C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48【变式2-3】（2019•江北区一模）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（）A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27 C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27【考点3解一元一次不等式】【方法点拨】解一元一次不等式组的步骤：

（1）求出每个不等式的解集；

（2）求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）

（3）用代数符号语言来表示公共部分。（也可以说成是下结论）

【例3】（2019秋•鹿城区校级期末）解不等式＞﹣1，并把解集在数轴上表示出来．【变式3-1】（2019春•黄州区校级期末）代数式的值不大于的值，求x的范围．【变式3-2】（2018•海淀区二模）解不等式x﹣＜，并把解集在数轴上表示出来．【变式3-3】（2019•巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．【考点4解一元一次不等式组】【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）。口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解【例4】（2019•呼和浩特）求不等式组：的整数解．【变式4-1】（2019•黔东南州）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．【变式4-2】（2019•苏州模拟）解不等式组：，并求它的整数解的和．【变式4-3】（2019春•资阳期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并求不等式组的整数解．【考点5根据不等式（组）的解集求参数】【例5】（2019春•兰州期中）已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，求a的取值范围．【变式5-1】若不等式组的解集为3≤x≤4，求不等式ax+b＜0的解集．【变式5-2】（2019春•简阳市期末）若不等式组①有解；②无解．请分别探讨a的取值范围．【变式5-3】（2019春•宁德期末）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式x＜﹣3的解都是不等式x＜﹣1的解，则x＜﹣3是x＜﹣1的蕴含不等式．（1）在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的蕴含不等式的是；（2）若x＞﹣6是3（x﹣1）＞2x﹣m的蕴含不等式，求m的取值范围；（3）若x＜﹣2n+4是x＜2的蕴含不等式，试判新x＜﹣n+3是否是x＜2的蕴含不等式，并说明理由．【考点6利用整数解求参数】【例6】已知不等式3x﹣m＜4（x+1）的负整数解有且只有三个，求m的取值范围．【变式6-1】（2019春•耒阳市校级期末）已知关于x的不等式组的整数解有5个，求a的取值范围．【变式6-2】（2018春•金牛区校级月考）关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．【变式6-3】（2018春•东湖区校级期中）若不等式组（1）当a＝2时，解这个不等式组；（2）若这个不等式组的解集不是空集，求a的取值范围；（3）若这个不等式组的解集有且只有2018个整数解，求a的取值范围．【考点7方程组的解构造不等式（组）求参数】【例7】（2019春•西城区校级期中）若二元一次方程组的解x＞y，求k的取值范围．【变式7-1】（2018春•沂源县期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，则m的取值范围是什么？【变式7-2】（2018春•邻水县期末）是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【变式7-3】（2019春•德城区期末）已知关于xy的方程组的解满足x≥0，y＜1（1）求m的取值范围；（2）在m的取值范围内，当m取何整数时，关于x的不等式2x﹣mx＞2﹣m的解集为x＜1？【考点8二元一次方程组与不等式的应用】【例8】（2019•资阳）某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【变式8-1】（2019春•杭锦后旗期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【变式8-2】（2019春•通城县期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【变式8-3】（2019春•南安市期末）泉州市某校准备组织教师、学生、家长到福州进行参观学习活动，旅行社代办购买动车票，动车票价格如表所示：运行区间大人票价学生票价出发站终点站一等座二等座一等座二等座泉州福州65（元）54（元）65（元）40（元）根据报名总人数，若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元；若都买二等座动车票，则共需8820元．已知家长人数是教师人数的2倍．（1）设参加活动的老师有m人，请直接用含m的代数式表示：教师和家长都购买一等动车票所需的总费用；（2）求参加活动的教师、家长、学生各有多少人？（3）如果二等座动车票共买到x张，其中学生全部购买二等座动车票，剩余的人员买一等座动车票，且买票的总费用不低于9000元，求x的最大值．【考点9利用不等式解分段计费问题】【例9】（2018春•北海期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）阶梯电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）一档0＜x≤180a二档180＜x≤400b三档x＞4000.95（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．【变式9-1】（2018春•黄梅县期末）“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案．甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费．设某位顾客购买了x元的该种粽子．（1）补充表格，填写在“横线”上：x（单位：元）实际在甲超市的花费（单位：元）实际在乙超市的花费（单位：元）0＜x≤200xx200＜x≤300xx＞300（2）列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？【变式9-2】（2019•宁阳县模拟）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费见价目表．例如：某居民元月份用水9吨，则应收水费2×6+4×（9﹣6）＝24元每月用水量（吨）单价不超过6吨2元/吨超过6吨，但不超过10吨的部分4元/吨超过10吨部分8元/吨（1）若该居民2月份用水12.5吨，则应收水费多少元？（2）若该居民3、4月份共用15吨水（其中4月份用水多于3月份）共收水费44元（水费按月结算），则该居民3月、4月各用水多少吨？【变式9-3】（2019秋•江汉区校级月考）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表所示是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨以下a0.80超过17吨但不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分6.000.80（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）已知小明家2017年5月份用水20吨，交水费66元；6月份用水25吨交水费91元（1）求a、b的值；（2）为了节约开支，小明家计划把7月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小明家的月收入为9200元，则小明家7月份最多能用水多少吨？【考点10一元一次不等式组与方案设计问题】【例10】（2019•德阳）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．（1）求甲、乙商品每件各多少元？（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，①最多可采购甲商品多少件？②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．【变式10-1】（2019春•随县期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）1435售价（元/件）2043（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．【变式10-2】（2019•泸州）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．【变式10-3】（2018春•莒县期末）为解决中小学大班额问题，某县今年将改扩建部分中小学，根据预算，改扩建3所中学和2所小学共需资金6200万元，改扩建1所中学和3所小学共需资金4400万元（1）改扩建1所中学和1所小学所需资金分别是多少万元？（2）该县计划改扩建中小学共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过8400万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到中小学的改扩建资金分别为每所500万元和300万元，请问共有哪几种改扩建方案？专题1.5不等式与不等式组章末重难点题型【人教版】【考点1不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

【例1】（2019春•南平期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜mb；（3）ac2＞bc2；（4）＞1，一定能推出a＞b的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据不等式的性质逐个判断即可求得答案．【答案】解：在（1）中，当c＜0时，则有a＜b，故不能推出a＞b，在（2）中，当m＞0时，则有﹣a＜b，即a＞﹣b，故不能推出a＞b，在（3）中，由于c2＞0，则有a＞b，故能推出a＞b，在（4）中，当b＜0时，则有a＜b，故不能推出a＞b，综上可知一定能推出a＞b的只有（3），故选：A．【点睛】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．【变式1-1】（2018春•江汉区期末）若a＞b，则下列结论：①a+x＞b+x；②＞；③ax2＞bx2；④ab＜b2；⑤﹣|a|＜﹣|b|．其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可．【答案】解：①∵a＞b，∴根据不等式的基本性质1可得：a+x＞b+x；所以，正确的个数为1个；②当x＜0时，＞不成立；③ax2＞bx2；④当b＞0时，ab＜b2不成立；⑤当0＞a＞b时，﹣|a|＜﹣|b|不成立．故选：A．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式1-2】（2019春•冠县期末）下列式子正确的是（）A．若＜，则x＜y B．若bx＞by，则x＞y C．若＝，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y【分析】根据不等式的基本性质，以及等式的性质，逐项判断即可．【答案】解：∵若＜，则a＞0时，x＜y，a＜0时，x＞y，∴选项A不符合题意；∵若bx＞by，则b＞0时，x＞y，b＜0时，x＜y，∴选项B不符合题意；∵若＝，则x＝y，∴选项C符合题意；∵若mx＝my，且m＝0，则x＝y或x≠y，∴选项D不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，以及等式的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变【变式1-3】（2019春•宜宾县校级期中）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（）A．由ax＜b，得x＜ B．由（a﹣b）x＞2，得x＞ C．由bx＜a，得x＞ D．由（b﹣a）x＜2，得x＜【分析】先求出a，b的大小关系，再运用不等式的基本性质判定．【答案】解：∵ab＜0，且a＜b，∴a＜0＜b．A、由ax＜b，得x＞，故A选项错误；B、由（a﹣b）x＞2，得x＜，故B选项错误；C、由bx＜a，得x＜），故C选项错误；D、由（b﹣a）x＜2，得x＜，故D选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是确定x系数的正负值．【考点2由实际问题抽象出一元一次不等式】【方法点拨】由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【例2】（2019春•湘桥区期末）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（）A．6折 B．7折 C．8折 D．9折【分析】设该商品打x折销售，根据利润＝销售价格﹣进价结合利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【答案】解：设该商品打x折销售，依题意，得：900×﹣600≥600×5%，解得：x≥7．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．【变式2-1】（2019春•威远县校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有（5x+12）个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数﹣8（x﹣1）大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式【答案】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，故选：C．【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【变式2-2】（2019春•肥城市期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（）A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48 C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48【分析】根据题意表示出胜与负所得总分数大于等于48，进而得出不等关系．【答案】解：这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是：2x+（32﹣x）≥48．故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．【变式2-3】（2019•江北区一模）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（）A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27 C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27【分析】设小聪可以购买该种商品x件，根据总价＝3×5+3×0.8×超出5件的部分结合总价不超过27元，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．【答案】解：设小聪可以购买该种商品x件，根据题意得：3×5+3×0.8（x﹣5）≤27．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．【考点3解一元一次不等式】【方法点拨】解一元一次不等式组的步骤：

（1）求出每个不等式的解集；

（2）求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）

（3）用代数符号语言来表示公共部分。（也可以说成是下结论）

【例3】（2019秋•鹿城区校级期末）解不等式＞﹣1，并把解集在数轴上表示出来．【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【答案】解：去分母得：3x﹣15＞10x+2﹣12，移项合并得：7x＜﹣5，解得：x＜﹣，表示在数轴上，如图所示：【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3-1】（2019春•黄州区校级期末）代数式的值不大于的值，求x的范围．【分析】代数式的值不大于的值，求x的范围，就是要求解不等式≤，不等式两边同时乘以6去分母得：6﹣3（3x﹣1）≤2（1﹣2x）然后就可以求出x的范围．【答案】解：根据题意得：解不等式≤，去分母得：6﹣3（3x﹣1）≤2（1﹣2x），去括号得：6﹣9x+3≤2﹣4x，移项得：4x﹣9x≤2﹣6﹣3，合并同类项得：﹣5x≤﹣7，解得：x≥．【点睛】解不等式依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．【变式3-2】（2018•海淀区二模）解不等式x﹣＜，并把解集在数轴上表示出来．【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．【答案】解：去分母，得6x﹣3（x+2）＜2（2﹣x），去括号，得6x﹣3x﹣6＜4﹣2x，移项，合并得5x＜10，系数化为1，得x＜2．不等式的解集在数轴上表示如下：【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3-3】（2019•巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．【答案】解：去分母得，4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，去括号得，8x﹣4≤9x+6﹣12，移项得，8x﹣9x≤6﹣12+4，合并同类项得，﹣x≤﹣2，把x的系数化为1得，x≥2．在数轴上表示为：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．【考点4解一元一次不等式组】【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）。口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解【例4】（2019•呼和浩特）求不等式组：的整数解．【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．【答案】解：由x﹣3（x﹣2）≤8得x≥﹣1由5﹣x＞2x得x＜2∴﹣1≤x＜2∴不等式组的整数解是x＝﹣1，0，1．【点睛】解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【变式4-1】（2019•黔东南州）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．【答案】解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，所以﹣7＜x≤1．在数轴上表示为：【点睛】本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．【变式4-2】（2019•苏州模拟）解不等式组：，并求它的整数解的和．【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解，最后求它的整数解的和即可．【答案】解：由①得x＞﹣2由②得x≤1∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1∴不等式组的整数解的和为﹣1+0+1＝0．【点睛】本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【变式4-3】（2019春•资阳期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并求不等式组的整数解．【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，最后求出整数解即可．【答案】解：∵解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2，在数轴上表示为：，∴不等式组的整数解是﹣1，0，1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集和不等式组的整数解等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键．【考点5根据不等式（组）的解集求参数】【例5】（2019春•兰州期中）已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，求a的取值范围．【分析】将x＝3代入不等式，再求a的取值范围．【答案】解：∵x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，∴9﹣＞2，解得a＜4．故a的取值范围是a＜4．【点睛】本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，根据不等式的解的定义得出9﹣＞2是解题的关键．【变式5-1】若不等式组的解集为3≤x≤4，求不等式ax+b＜0的解集．【分析】首先计算出a、b的值，然后可得不等式﹣2x+1＜0，再解不等式即可．【答案】解：，由①得：x≥，由②得：x≤﹣a，∵解集是3≤x≤4，∴，解得：，∴不等式ax+b＜0变为﹣4x+6＜0，解得：x＞．【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，关键是计算出a、b的值．【变式5-2】（2019春•简阳市期末）若不等式组①有解；②无解．请分别探讨a的取值范围．【分析】首先解不等式组中的每个不等式，然后根据不等式组解的情况得到关于a的不等式，从而求解．【答案】解：，解（1）得：x≥﹣a，解（2）得：x＜1．①不等式组有解，则﹣a＜1，解得a＞﹣1；②不等式组无解，则﹣a≥1，解得：a≤﹣1．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．【变式5-3】（2019春•宁德期末）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式x＜﹣3的解都是不等式x＜﹣1的解，则x＜﹣3是x＜﹣1的蕴含不等式．（1）在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的蕴含不等式的是；（2）若x＞﹣6是3（x﹣1）＞2x﹣m的蕴含不等式，求m的取值范围；（3）若x＜﹣2n+4是x＜2的蕴含不等式，试判新x＜﹣n+3是否是x＜2的蕴含不等式，并说明理由．【分析】（1）根据蕴含不等式的定义即可求解；（2）先解不等式3（x﹣1）＞2x﹣m可得x＞3﹣m，再根据蕴含不等式的定义可得3﹣m≤﹣6，解不等式即可求解；（3）根据蕴含不等式的定义可得﹣2n+4≤2，可得n的范围，再得到x＜﹣n+3的范围，再根据蕴含不等式的定义即可求解．【答案】解：（1）在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的蕴含不等式的是x＞3；（2）解不等式3（x﹣1）＞2x﹣m可得x＞3﹣m，再则3﹣m≤﹣6，解得m≥9．故m的取值范围是m≥9；（3）依题意有﹣2n+4≤2，解得n≥1，x＜﹣n+3的范围是x＜2，故x＜﹣n+3是否是x＜2的蕴含不等式．故答案为：x＞3．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能是解题的关键．【考点6利用整数解求参数】【例6】已知不等式3x﹣m＜4（x+1）的负整数解有且只有三个，求m的取值范围．【分析】解不等式得x＞﹣4﹣m，由于只有三个负整数解，故可判断﹣4﹣m的取值范围，再解不等式组求出m的取值范围．【答案】解：去括号，得：3x﹣m＜4x+4，移项，得：3x﹣4x＜4+m，合并同类项，得：﹣x＜4+m，系数化为1，得：x＞﹣4﹣m，∵不等式的负整数解有且只有三个，∴﹣4≤﹣4﹣m＜﹣3，解得：1＜m≤0，故答案为：1＜m≤0．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．【变式6-1】（2019春•耒阳市校级期末）已知关于x的不等式组的整数解有5个，求a的取值范围．【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集为1﹣a≤x＜3，则可确定不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，于是可得到a的范围．【答案】解：不等式组的解集为1﹣a≤x＜3而不等式组的整数解共有5个，即﹣2，﹣1，0，1，2所以﹣3＜1﹣a≤﹣2，所以3≤a＜4．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．【变式6-2】（2018春•金牛区校级月考）关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式组有四个整数解，即可确定出a的范围．【答案】解：解不等式5x+2＞3（x﹣1），得：x＞﹣2.5，解不等式x≤8﹣x+2a，得：x≤a+4，∵不等式组有四个整数解，∴四个整数解为﹣2、﹣1、0、1，则1≤a+4＜2，解得：﹣3≤a＜﹣2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出关于a的不等式组是解此题的关键．【变式6-3】（2018春•东湖区校级期中）若不等式组（1）当a＝2时，解这个不等式组；（2）若这个不等式组的解集不是空集，求a的取值范围；（3）若这个不等式组的解集有且只有2018个整数解，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝2代入不等式组，求出不等式组的解集即可；（2）先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集不是空集得出即可；（3）先求出不等式组的解集，再得出关于a的不等式组，求出即可．【答案】解：（1）当a＝2时，不等式组为：∵解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x≥﹣37，∴不等式组的解集是﹣37≤x＜1；（2）∵∵解不等式①得：x＜a﹣1，解不等式②得：x≥﹣37，又∵不等式组的解集不是空集，∴a﹣1≥﹣37，解得：a≥﹣36；（3）∵解不等式①得：x＜a﹣1，解不等式②得：x≥﹣37，∴不等式组的解集是﹣37≤x＜a﹣1，∵这个不等式组的解集有且只有2018个整数解，1980＜a﹣1≤1981，解得：1981＜a≤1982．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式或不等式组是解此题的关键．【考点7方程组的解构造不等式（组）求参数】【例7】（2019春•西城区校级期中）若二元一次方程组的解x＞y，求k的取值范围．【分析】把k看作已知数求出方程组的解表示出x与y，代入x＞y求出k的范围即可．【答案】解：，①+②得：x＝，②﹣①得：y＝，由x＞y得：＞，去分母得：2k+10＞5﹣k，解得：k＞﹣．【点睛】此题考查了二元一次方程组，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式7-1】（2018春•沂源县期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，则m的取值范围是什么？【分析】将方程组两方程相加减可得x+y、x﹣y，代入不等式组可得关于m的不等式组，求解可得．【答案】解：在方程组中，①+②，得：3x+3y＝3+m，即x+y＝，①﹣②，得：x﹣y＝﹣1+3m，∵，∴，解得：0＜m＜3．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键．【变式7-2】（2018春•邻水县期末）是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于k的式子，然后解出k的范围，即可知道k的取值．【答案】解：解方程组得∵x大于1，y不大于1从而得不等式组解之得2＜k≤5又∵k为整数∴k只能取3，4，5答：当k为3，4，5时，方程组的解中，x大于1，y不大于1．【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x＞1，y≤1，则解出x，y关于k的式子，最终求出k的范围，即可知道整数k的值．【变式7-3】（2019春•德城区期末）已知关于xy的方程组的解满足x≥0，y＜1（1）求m的取值范围；（2）在m的取值范围内，当m取何整数时，关于x的不等式2x﹣mx＞2﹣m的解集为x＜1？【分析】（1）求出方程组的解，根据不等式组即可解决问题；（2）根据不等式即可解决问题；【答案】解：方程组的解为，∵x≥0，y＜1∴，解得﹣≤m＜4．（2）2x﹣mx＞2﹣m，∴（2﹣m）x＞2﹣m，∵解集为x＜1，∴2﹣m＜0，∴m＞2，又∵m＜4，m是整数，∴m＝3．【点睛】本题考查解一元一次不等式、解二元一次不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【考点8二元一次方程组与不等式的应用】【例8】（2019•资阳）某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【分析】（1）根据题意结合购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案；（2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案．【答案】解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：，解得：．答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：220a+190（8﹣a）≥1565，解得：a≥1.5，∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，∴A型污水处理设备买越少，越省钱，∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．【变式8-1】（2019春•杭锦后旗期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；（3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的值，再根据a为整数，即可得出答案．【答案】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，解得：a≤37．答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．（3）根据题意得：（200﹣160）a+（150﹣120）（50﹣a）＞1850，解得：a＞35，∵a≤37，且a应为整数，∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当a＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．【点睛】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．【变式8-2】（2019春•通城县期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【分析】（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．构建方程组即可解决问题；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得18a+26（6﹣a）≥130，求出整数解即可；【答案】解：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则，解得，答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得18a+26（6﹣a）≥130，解得a≤3∴2≤a≤3．a是正整数，∴a＝2或a＝3．共有两种方案：方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车；【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式8-3】（2019春•南安市期末）泉州市某校准备组织教师、学生、家长到福州进行参观学习活动，旅行社代办购买动车票，动车票价格如表所示：运行区间大人票价学生票价出发站终点站一等座二等座一等座二等座泉州福州65（元）54（元）65（元）40（元）根据报名总人数，若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元；若都买二等座动车票，则共需8820元．已知家长人数是教师人数的2倍．（1）设参加活动的老师有m人，请直接用含m的代数式表示：教师和家长都购买一等动车票所需的总费用；（2）求参加活动的教师、家长、学生各有多少人？（3）如果二等座动车票共买到x张，其中学生全部购买二等座动车票，剩余的人员买一等座动车票，且买票的总费用不低于9000元，求x的最大值．【分析】（1）求出教师和家长的总人数，根据一等票和二等票两种情况求出代数式．（2）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，根据若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元，若都买二等座动车票（学生全部按表中的“学生票二等座”购买），则共需8820元，可求出解．（3）由（2）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，所以买学生票共180张，有（x﹣180）名大人买二等座动车票，（210﹣x）名大人买一等座动车票，根据票的总费用不低于9000元，可列不等式求解．【答案】解：（1）购买一等票为：65•3m＝195m；购买二等票为：54•3m＝162m，（2）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，依题意得：，解得：，则2m＝20，总人数为：10+20+180＝210（人）经检验，符合题意答：参加活动的总人数为210人．（3）由（2）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，所以买学生票共180张，有（x﹣180）名大人买二等座动车票，（210﹣x）名大人买一等座动车票．∴购买动车票的总费用＝40×180+54（x﹣180）+65（210﹣x）＝﹣11x+11130．依题意，得：﹣11x+11130≥9000，解得：∵x为整数∴x的最大值是193【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是根据买一等票和二等票的价格做为等量关系求出人数，然后根据实际买票的总费用列出不等式求出解．【考点9利用不等式解分段计费问题】【例9】（2018春•北海期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）阶梯电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）一档0＜x≤180a二档180＜x≤400b三档x＞4000.95（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．【分析】（1）根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可；（2）根据题意先判断出陈女士所用的电所在的档，再设陈女士家五月份用电量为m度，根据价格表列出等式，求出m的值即可．【答案】解：（1）由题意得：，解得：，答：a的值是0.58，b的值是0.66；（2）∵180×0.58+（400﹣180）×0.66＝249.6＜280，∴5月份陈女士家用电量超过400度．设陈女士家五月份用电量为m度，根据题意得：249.6+（m﹣400）×0.95＝280，解得：m＝432答：陈女士家5月份的用电量为432度．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．【变式9-1】（2018春•黄梅县期末）“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案．甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费．设某位顾客购买了x元的该种粽子．（1）补充表格，填写在“横线”上：x（单位：元）实际在甲超市的花费（单位：元）实际在乙超市的花费（单位：元）0＜x≤200xx200＜x≤300xx＞300（2）列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？【分析】（1）根据题意求解填表；（2）根据题意，分情况讨论，选择花费较少的商场．【答案】解：（1）200+（x﹣200）×95%＝10+0.95x；200+（x﹣200）×95%＝10+0.95x；300+（x﹣300）×90%＝30+0.9x．填表如下：x（单位：元）实际在甲超市的花费（单位：元）实际在乙超市的花费（单位：元）0＜x≤200xx200＜x≤30010+0.95xxx＞30010+0.95x30+0.9x（2）200+（x﹣200）×95%＝300+（x﹣300）×90%，解得x＝400．当200＜x＜400时，顾客到甲超市花费更少．当x＝400时，顾客到甲、乙超市的花费相同．当x＞400时，顾客到乙超市花费更少．故答案为：10+0.95x；10+0.95x；30+0.9x．【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程和不等式求解．【变式9-2】（2019•宁阳县模拟）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费见价目表．例如：某居民元月份用水9吨，则应收水费2×6+4×（9﹣6）＝24元每月用水量（吨）单价不超过6吨2元/吨超过6吨，但不超过10吨的部分4元/吨超过10吨部分8元/吨（1）若该居民2月份用水12.5吨，则应收水费多少元？（2）若该居民3、4月份共用15吨水（其中4月份用水多于3月份）共收水费44元（水费按月结算），则该居民3月、4月各用水多少吨？【分析】（1）将12.5分成3个价位分别计算求和．（2）等量关系为：3月份水费+4月份水费＝44元，难点：要对3月和4月的用水量分3种情况讨论．3月份的用水量不超过6吨，4月份的用水超过6吨但不超过10吨，或超过10吨；3月、4月的用水量都超过6吨但不超过10吨．【答案】解：（1）应收水费为2×6+4×4+2.5×8＝48元；（2）设三月用水x吨，则四月用水（15﹣x）吨，讨论：A、当0＜x＜6，6＜15﹣x≤10时，2x+6×2+4（15﹣x﹣6）＝44，解得x＝2，与6＜15﹣x≤10矛盾，舍去．B、当0＜x＜6，10＜15﹣x时，2x+6×2+4×4+8×（15﹣x﹣10）＝44，解得x＝4，15﹣x＝11＞10∴3月份为4吨，4月份为11吨，C、当6＜x＜10，6＜15﹣x＜10时，2×6+4×（x﹣6）+2×6+4×（15﹣x﹣6）＝44，无解．∴3月份为4吨，4月份为11吨．【点睛】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．应抓住价目表中的3种价位分情况进行讨论．【变式9-3】（2019秋•江汉区校级月考）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表所示是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨以下a0.80超过17吨但不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分6.000.80（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）已知小明家2017年5月份用水20吨，交水费66元；6月份用水25吨交水费91元（1）求a、b的值；（2）为了节约开支，小明家计划把7月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小明家的月收入为9200元，则小明家7月份最多能用水多少吨？【分析】（1）根据等量关系：“小明家2017年5月份用水20吨，交水费66元”；“6月份用水25吨，交水费91元”可列方程组求解即可．（2）先求出小明家七月份的用水量范围，再根据7月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可．【答案】解：（1）由题意，得：②﹣①，得5（b+0.8）＝25，b＝4.2，把b＝4.2代入①，得17（a+0.8）+3×5＝66，解得a＝2.2，∴a＝2.2，b＝4.2．（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5＝116（元），9200×2%＝184元，∵116＜184，∴小明家七月份的用水量超过30吨．设小明家七月份用水量为x吨，由题意，得17×3+13×5+6.8（x﹣30）≤184，解得x≤40．答：小明家七月份最多能用水40吨．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．同时考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题干找出合适的等量关系．【考点10一元一次不等式组与方案设计问题】【例10】（2019•德阳）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．（1）求甲、乙商品每件各多少元？（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，①最多可采购甲商品多少件？②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【答案】解：（1）设甲商品每件x元，乙商品每件y元，，解得，，即甲商品每件17元，乙商品每件12元；（2）①设采购甲商品m件，17m+12（30﹣m）≤460，解得，m≤20，即最多可采购甲商品20件；②由题意可得，，解得，，∴购买方案有四种，方案一：甲商品20件，乙商品10件，此时花费为：20×17+10×12＝460（元），方案二：甲商品19件，乙商品11件，此时花费为：19×17+11×12＝455（元），方案三：甲商品18件，乙商品12件，此时花费为：18×17+12×12＝450（元），方案四：甲商品17件，乙商品13件，此时花费为：17×17+13×12＝445（元），即购买甲商品17件，乙商品13件时花费最少，最少要用445元．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【变式10-1】（2019春•随县期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）1435售价（元/件）2043（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．【分析】（1）等量关系为：甲件数+乙件数＝180；甲总利润+乙总利润＝1240．（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜5040；甲总利润+乙总利润＞1312．【答案】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．根据题意得：．解得：．答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件．（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（180﹣a）件．根据题意得．解不等式组，得60＜a＜64．∵a为非负整数，∴a取61，62，63∴180﹣a相应取119，118，117方案一：甲种商品购进61件，乙种商品购进119件．方案二：甲种商品购进62件，乙种商品购进118件．方案三：甲种商品购进63件，乙种商品购进117件．答：有三种购货方案，其中获利最大的是方案一．【点睛】此题是一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组：甲件数+乙件数＝180；甲总利润+乙总利润＝1240．甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜5040；甲总利润+乙总利润＞1312．【变式10-2】（2019•泸州）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．【答案】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：，解之得：，答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；由题意得：解之得：8≤m≤10因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10即：学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．【点睛】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．【变式10-3】（2018春•莒县期末）为解决中小学大班额问题，某县今年将改扩建部分中小学，根据预算，改扩建3所中学和2所小学共需资金6200万元，改扩建1所中学和3所小学共需资金4400万元（1）改扩建1所中学和1所小学所需资金分别是多少万元？（2）该县计划改扩建中小学共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过8400万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到中小学的改扩建资金分别为每所500万元和300万元，请问共有哪几种改扩建方案？【分析】（1）设改扩建1所中学需要x万元，改扩建1所小学需要y万元，根据“改扩建3所中学和2所小学共需资金6200万元，改扩建1所中学和3所小学共需资金4400万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设改扩建m所中学，则改扩建（10﹣m）所小学，根据总价＝单价×数量结合国家财政拨付资金不超过8400万元及地方财政投入资金不少于4000万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其整数值即可得出各改扩建方案．【答案】解：（1）设改扩建1所中学需要x万元，改扩建1所小学需要y万元，依题意，得：，解得：．答：改扩建1所中学需要1400万元，改扩建1所小学需要1000万元．（2）设改扩建m所中学，则改扩建（10﹣m）所小学，依题意，得：，解得：5≤m≤6．∵m为整数，∴m＝5或m＝6，∴共有2中改扩建方案，方案一：改扩建中学5所、小学5所；方案二：改扩建中学6所、小学4所．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．专题1.6数据的收集、整理与描述章末重难点题型【人教版】【考点1调查方式】【方法点拨】全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。抽样调查：一种非全面调查，从全部调查研究对象中，抽选一部分对象进行调查，并据以对全部调查研究对象做出估计和推断的一种调查方法。统计调查的优点：全面调查的优点是可靠、真实；抽样调查的优点是省时、省力，减少破坏性。【例1】下列调查方式，你认为最合适的是（）A.了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式

B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式

C.了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式

D.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式【变式1-1】下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A.对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查

B.对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查

C.对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查

D.对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查【变式1-2】下列调查中，最适宜用普查方式的是（）A.对一批节能灯使用寿命的调查

B.对我国初中学生视力状况的调查

C.对最强大脑节目收视率的调查

D.对量子科卫星上某种零部件的调查【变式1-3】下列调查中不适合普查而适合抽样调查的是（）

①了解市面上一次性筷子的卫生情况

②了解我校九年级学生身高情况

③了解一批导弹的杀伤范围

④了解全世界网迷少年的性格情况A. B. C. D.【考点2总体、个体、样本、样本容量】【方法点拨】总体：要考察的全体对象称为总体。个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。样本：被抽取的所有个体组成一个样本。样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。【例2】为了解我区七年级6000名学生期中数学考试情况，从中抽取了500名学生的数学成绩进行统计．下列判断：

①这种调查方式是抽样调查；

②6000名学生是总体；

③每名学生的数学成绩是个体；

④500名学生是总体的一个样本．

其中正确的判断有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式2-1】为了解某市参加中考的28000名学生的体重情况，抽查了其中1400名学生的体重进行统计分析.下面叙述正确的是（）A.28000名学生是总体

B.每名学生是总体的一个样本

C.以上调查是普查

D.1400名学生的体重是总体的一个样本【变式2-2】为了解我校八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②八年级800名学生的数学成绩的全体是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量．其中正确的判断有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式2-3】我市去年共有18000名考生参加中考，为了了解这18000名考生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析．以下说法正确的有（）

①这种调查采用了抽样调查的方式

；

②18000名考生是总体；③1000名考生是总体的一个样本；④每名考生的数学成绩是个体．A.2个 B.3个 C.4个 D.0个【考点3数据的收集与整理】【方法点拨】数据处理的基本过程收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、得出结论。【例3】某地区有38所中学，其中七年级学生共6858名．为了了解该地区七年级学生每天体育锻炼的时间，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序．

①抽样调查；

②设计调查问卷；

③用样本估计总体；

④整理数据；

⑤分析数据．

其中正确的是（）A. B. C. D.【变式3-1】某学习小组将要进行一次统计活动，下面是四位同学分别设计的活动序号，其中正确的是（）A.实际问题收集数据表示数据整理数据统计分析合理决策

B.实际问题表示数据收集数据整理数据统计分析合理决策

C.实际问题收集数据整理数据表示数据统计分析合理决策

D.实际问题整理数据收集数据表示数据统计分析合理决策【变式3-2】当前，“低头族”已成为热门话题之一，小颖为了了解路边行人边走路边低头看手机的情况，她应采用的收集数据的方式是（）A.对学校的同学发放问卷进行调查

B.对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查

C.对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查

D.对在路边行走的路人随机发放问卷进行调查【变式3-3】某学校课外活动小组为了解同学们喜爱的电影类型，设计了如下的调查问卷（不完整）：

准备在“①国产片，②科幻片，③动作片，④喜剧片，⑤亿元大片”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（）A. B. C. D.【考点4样本估计总体】【例4】为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是（）A.280 B.240 C.300 D.260【变式4-1】为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为（）1250条 B.1750条 C.2500条 D.5000条【变式4-2】在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（）A.18个 B.28个 C.36个 D.42个【变式4-3】为了解某县1000名公益志愿者寒假期间做公益的时间，团县委随机对其中50名志愿者进行了调查．根据收集的数据绘制了如图所示频数分布直方图，则由样本可以估计全部1000名志愿者中做公益时间不少于10h所占的百分比为（）A. B. C. D.【考点5抽样调查的合理性】【例5】下列抽样调查较科学的是（）

①张涛为了知道烤箱中所烤的饼是否熟了，取出一块试吃；

②刘明为了了解初中三个年级学生的平均身高，对初三年级一个班的学生做了调查；

③杨丽为了解云南省2015年的平均气温，上网查询了6月份30天的气温情况；

④李智为了解初中三个年级的课外作业完成情况，向三个年级各一个班的学生做了调查．A. B. C. D.【变式5-1】某数学课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（）A.在公园调查了1000名老年人的健康状况

B.在医院调查了1000名老年人的健康状况

C.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况

D.调查了邻居10名老年人的健康状况【变式5-2】小明从一批乒乓球中随机摸出了三个，经检查全部合格，因此小明断定这批乒乓球全部合格．在这个问题中，小明（）A.忽略了抽样调查的随机性

B.忽略了抽样调查的随机性和广泛性

C.忽略了抽样调查的随机性和代表性

D.忽略了样本的广泛性【变式5-3】下列调查，样本具有代表性的是（）A.了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查

B.了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查

C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查

D.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查【考点6统计图的选择】【方法点拨】常见统计图：（1）条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目；（2）扇形统计图：能清楚地表示出各部分与总量间的比重；（3）折线统计图：能反映事物变化的规律。【例6】蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（）A.折线统计图 B.频数分布直方图

C.条形统计图 D.扇形统计图【变式6-1】要反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（）A.条形统计图 B.扇形统计图

C.折线统计图 D.频数分布直方图【变式6-2】响水3·21事件后，环保部门对空气检测，想知道空气中有毒气体的百分比，使用的统计图最好的是（

）A.扇形统计图 B.条形统计图

C.折线统计图 D.频数分布直方图【变式6-3】要绘制一幅能清楚反映全校各年级男女生人数情况的统计图，下列最适合的是()折线统计图 B.条形统计图

C.扇形统计图 D.以上均可选，效果一样【考点7扇形统计图的圆心角】【例7】九年级（2）班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第一小组对应的圆心角度数是（）A.45° B.60° C.72° D.120°【变式7-1】某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为（）A. B. C. D.【变式7-2】某鞋店试销一款女式鞋，试销期间对不同颜色鞋的销售情况统计如下表：颜色黑色棕色白色红色销售量（双）6154019若将上面的数据制成扇形统计图，则棕色鞋的数量所在扇形的圆心角的度数为

（

）A. B. C. D.【变式7-3】为积极响应我市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等，从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（）

A.D等所在扇形的圆心角为

B.样本容量是200

C.样本中C等所占百分比是

D.估计全校学生成绩为A等大约有900人【考点8与统计图/表有关的综合题】【例8】为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．种类ABCDE出行方式共享单