18.4 菱形的性质与判定（原卷版）

八年级下册数学《第十八章平行四边形》18.4菱形的性质和判定知识点一知识点一菱形的定义●●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.◆1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可.◆2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法.知识点二知识点二菱形的性质◆1、菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质.②菱形的四条边都相等.③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.性质定理应用格式：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；

AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；

BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；◆2、菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式=底×高．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）③四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；知识点三知识点三菱形的判定●●菱形的判定方法：◆1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.◆2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理1应用格式：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形.◆3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形.定理2应用格式：∵AB=BC=CD=AD,

∴四边形ABCD是菱形.【要点解析】（1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；（2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等.②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.（3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等.题型一利用菱形的性质求角度题型一利用菱形的性质求角度【例题1】（2022秋•南海区期末）如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC＝140°，则∠BCA等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°解题技巧提炼在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答.【变式1-1】（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【变式1-2】（2022秋•碑林区校级期末）如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为．【变式1-3】（2023•博罗县校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【变式1-4】（2022春•香坊区校级期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为．【变式1-5】如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数．题型二利用菱形的性质求线段长题型二利用菱形的性质求线段长【例题2】（2022秋•山亭区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝．解题技巧提炼由于菱形的对角线互相垂直平分，所以对于菱形的两条对角线及边这三个元素中知道任意两个的长度，都能根据勾股定理求出第三个.【变式2-1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（）A．45 B．8 C．4 D．【变式2-2】（2021秋•崂山区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．245 B．485 C．5 D【变式2-3】（2023•雁塔区校级一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为6．【变式2-4】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于．【变式2-5】（2023•汉阳区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（）A．3 B．5 C．23 D．19题型三利用菱形的性质求周长或面积题型三利用菱形的性质求周长或面积【例题3】（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝23，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．43 C．6 D．解题技巧提炼因为菱形的四边都相等，所以菱形的周长等于边长×4；菱形的面积计算公式：（1）底×高；（2）对角线乘积的12【变式3-1】（2022秋•武侯区期末）在菱形ABCD中，若对角线AC=2，BD＝8，则菱形ABCD的面积是【变式3-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（）A．48 B．32 C．24 D．16【变式3-3】（2022秋•阳山县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF=3，BD＝4，则菱形ABCDA．4 B．46 C．47 D．28【变式3-4】（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知菱形的两条对角线AC与BD长分别是12和16，则这个菱形的面积是（）A．192 B．48 C．96 D．40【变式3-5】（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（）A．48 B．24 C．12 D．6【变式3-6】（2022春•巨野县校级月考）若菱形ABCD的周长为8，∠A：∠B＝1：2，则菱形的面积为（）A．3 B．33 C．43 D题型四利用菱形的性质进行证明题型四利用菱形的性质进行证明【例题4】（2022秋•临渭区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边AB和BC上的点，且∠ADE＝∠CDF，求证：BE＝BF．解题技巧提炼菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形（特殊时为两个全等的等边三角形），两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊三角形的有关问题综合在一起.【变式4-1】（2021秋•楚雄州期末）如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连BE，DE，求证：BE＝DE．【变式4-2】（2021秋•武功县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF．【变式4-3】（2022秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN．【变式4-4】（2022秋•榆阳区校级期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝10，CE＝4，求菱形ABCD的面积．【变式4-5】（2022春•江汉区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H．（1）若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的长；（2）连HO，求证：∠BOH＝∠DAH．【变式4-6】（2022春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．题型五菱形判定的条件题型五菱形判定的条件【例题5】（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形解题技巧提炼①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③【变式5-1】（2022•铁锋区二模）中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是菱形．【变式5-2】（2022春•海伦市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件，使四边形AEDF是菱形．【变式5-3】（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）【变式5-4】（2022春•房山区期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是（写出所有可能的情况）．【变式5-5】（2022秋•宝鸡期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（）A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF【变式5-6】（2022秋•顺庆区月考）如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（）A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC【变式5-7】（2022春•高唐县期末）如图所示，D，E，F分别是△ABC三边的中点，添加下列条件后，不能得到四边形DBFE是菱形的是（）A．AB＝BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB＝AC【变式5-8】（2022•大名县三模）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，点G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一个条件使四边形EGFH是菱形，则下列可以添加的条件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC题型六菱形的判定的证明题型六菱形的判定的证明【例题6】（2022秋•武功县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．解题技巧提炼证明一个图形是菱形时，关键是看已知条件，若是一般的四边形，则考虑证明四条边相等或对角线互相垂直平分；若是平行四边形，则考虑证明一组邻边相等或对角线互相垂直.【变式6-1】（2022秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形．【变式6-2】（2023•东莞市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．【变式6-3】（2022春•苍溪县期末）如图，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．（1）求证：BF＝AD；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【变式6-4】（2022春•南丹县期末）已知：如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）当∠ACD满足什么条件时，四边形AMCN是菱形，请说明理由．【变式6-5】（2022春•梅江区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．（1）求证：AE＝CF．（2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形．【变式6-6】（2022春•郯城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M是BD上任意一点，连接AM并延长至点N，使AM＝MN，交BC于H，连接CN、BN．（1）求证：OM∥CN．（2）连接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求证：四边形BNCM是菱形．题型七菱形的性质与判定的综合应用题型七菱形的性质与判定的综合应用【例题7】（2022春•镇安县期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论：①OG=12②四边形ABDE是菱形；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等．其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解题技巧提炼菱形的判定可以确定菱形的存在，再利用菱形的性质，可以得出线段或角的对应关系.【变式7-1】（2022春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（）A．45 B．8 C．4 D．5【变式7-2】（2022春•惠民县期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列相等关系：①AD＝AB；②AD＝BC；③∠DAC＝∠ACD；④AO＝BO，其中一定成立的是.（只填序号）【变式7-3】（2022秋•砀山县校级月考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝32，AB＝42，求四边形ADCF的面积．【变式7-4】（2022春•颍州区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE与BF相交于点O，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若平行四边形ABCD的周长为20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的长．【变式7-5】（2022•巴州区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AD=6，BD＝2，求OE【变式7-6】（2022秋•龙岗区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．题型八菱形与矩形的综合应用题型八菱形与矩形的综合应用【例题8】（2022秋•铁西区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F．（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的长．解题技巧提炼综合利用菱形、矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键.【变式8-1】（2022•五