2025届新高三数学精准冲刺复习平面向量及其应用

2025届新高三数学精准冲刺复习

平面向量及其应用

010203目录CONTENTS思维导图知识梳理典型例题01思维导图思维导图02知识梳理知识梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有

的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__________.(2)零向量：长度为

的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于

长度的向量.(4)平行向量：方向相同或

的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向

的向量.(6)相反向量：长度相等且方向

的向量.方向长度(或模)01个单位相反相同相反知识梳理向量运算法则(或几何意义)运算律加法

交换律：a＋b＝_______；结合律：(a＋b)＋c＝_________2.向量的线性运算b＋aa＋(b＋c)知识梳理减法

a－b＝a＋(－b)数乘|λ

a|＝_______，当λ>0时，λa的方向与a的方向

；当λ<0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝___λ(μ

a)＝_______；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb知识梳理3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得________.b＝λa4.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任一向量a，

一对实数λ1，λ2，使a＝____________.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个_______.5.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量作正交分解.不共线有且只有基底互相垂直λ1e1＋λ2e2知识梳理6.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝_________.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

＝

，||＝___________________.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)知识梳理7.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔

.x1y2－x2y1＝08.向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作

则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.9.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积，记作_____.∠AOB|a||b|cosθa·b知识梳理投影投影向量|a|cosθ

e知识梳理11.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝_________.a·c＋b·c知识梳理定理正弦定理余弦定理内容

＝

＝

＝2Ra2＝

；b2＝

；c2＝_________________12.正弦定理与余弦定理b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC知识梳理变形(1)a＝2RsinA，b＝

，c＝

；(2)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝_____________；cosB＝____________；cosC＝____________2RsinB2RsinC知识梳理13.三角形中常用的面积公式知识梳理术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°

14.测量中的几个有关术语知识梳理方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：

(2)南偏西α：

坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝

＝tanθ

03典型例题

题型一：向量的线性运算

题型一：向量的线性运算

题型一：向量的线性运算

题型二：向量的数量积运算、夹角、模长

题型二：向量的数量积运算、夹角、模长

题型二：向量的数量积运算、夹角、模长

题型三：向量范围与最值问题

题型三：向量范围与最值问题

题型三：向量范围与最值问题

题型四：余弦定理、正弦定理

题型四：余弦定理、正弦定理

题型四：余弦定理、正弦定理

题型五：平面向量的实际应用

题型五：平面向量的实际应用

题型五：平面向量的实际应用

题型六：解三角形范围与最值问题

题型六：解三角形范围与最值问题

题型