2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第4讲平面向量的综合应用课件

第四讲平面向量的综合应用知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一向量在平面几何中的应用1．用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔____________⇔______________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0a＝λb

x1y2－x2y1＝0问题类型所用知识公式表示垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔__________⇔________________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝______(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝______＝________，其中a＝(x，y)，a为非零向量a·b＝0x1x2＋y1y2＝02.用向量方法解决平面几何问题的步骤：知识点二向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．知识点三向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．归

纳

拓

展2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)√×√√题组二走进教材2．(必修2P60T10改编)设向量a＝(cosθ，2)，b＝(－1，sinθ)，若a⊥b，则sin2θ＝_______.[解析]

∵a＝(cosθ，2)，b＝(－1，sinθ)，且a⊥b.A．矩形

B．正方形

C．菱形

D．梯形C4．(必修2P60T8改编)一质点在平面上的三个力F1，F2，F3的作用下处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2N和4N，则F3的大小为()B题组三走向高考6考点突破·互动探究向量与平面几何——师生共研B故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，名师点拨：平面几何问题的向量解法1．坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．2．基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．【变式训练】A．等边三角形

B．等腰三角形C．直角三角形

D．等腰直角三角形C向量在解析几何中的应用——师生共研A．圆

B．椭圆

C．抛物线

D．直线A∴点C的轨迹为圆．故选A.[解析]

解法一：由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，6因为－2≤x0≤2，名师点拨：向量在解析几何中的“两个”作用：①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；②工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法．【变式训练】2向量与其他知识的交汇——师生共研(2023·吉林省实验中学高三上第四次月考)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C.(1)求角C的大小；[解析]

(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)，在△ABC中，A＋B＝π－C,0<C<π，所以sin(A＋B)＝sinC，(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列，可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋b.即abcosC＝18，所以ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝4c2－3×36，所以c＝6.名师点拨：平面向量与三角函数的综合问题的解题思路1．题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．2．给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值．【变式训练】(1)求∠C的大小；[解析]

(1)因为m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccosB＋(b－2a)cosC＝0，在△ABC中，由正弦定理得，sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，sinA＝2sinAcosC，两边平方得又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②名师讲坛·素养提升三角形的四“心”及三角形形状的判定一、三角形的“四心”3．外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．类型一平面向量与三角形的“重心”问题A．△ABC的内心

B．△ABC的垂心C．△ABC的重心

D．AB边的中点C∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．类型二平面向量与三角形的“外心”问题A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心A所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心．故选A.类型三平面向量与三角形的“垂心”问题A．重心

B．垂心

C．外心

D．内心B类型四平面向量与三角形的“内心”问题A．重心

B．外心

C．垂心

D．内心D∴AD平分∠BAC，∴直线AD通过△ABC的内心．二、三角形形状的判断A．正三角形

B．直角三角形C．等腰三角形

D．等腰