导数在研究函数中的应用（3）课件高二下学期数学人教A版选择性

高中数学高二年级导数在研究函数中的应用（3）

复习观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.

极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.(1)

定义域；求可导函数f(x)的极值点和极值的步骤：(4)列表;(5)求极值。(2)求导；(3)求极值点；

极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质,但是我们往往更关心函数在某个区间上的最大值和最小值,函数的极值与最值有怎样的关系？思考

1、比较整个定义区间函数值得出；2、一个；3、可在端点处取得；

最值1、极值点附近的函数值得出；2、可以有多个；3、只能在区间内取得；极值f(x0)=M，对于任意的x都有f(x)≤M区别联系？1、结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.2、函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？不一定，也可能是区间端点的函数值.3、怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.注意1)函数的最值概念是整体性的；2)函数的最大值（最小值）唯一；3)函数的最大值大于等于最小值；4)函数的最值可在端点上取.1、比较整个定义区间函数值得出；2、一个；3、可在端点处取得；

最值1、极值点附近的函数值得出；2、可以有多个；3、只能在区间内取得；极值有极值的未必有最值,有最值的未必有极值；极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得必定是极值,所以在开区间(a,b)上若存在最值,则必是极值.区别联系区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续曲线,它就有最大值和最小值具体步骤：①求f(x)在开区间(a，b)内的极值点，并求出对应极值；②比较函数极值和端点的函数值的大小，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。总结：什么样的函数有最值？到底如何求函数的最值？为什么强调是闭区间？

已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R.当x∈[－，3]时，求f(x)的最大值与最小值.类型一求函数的最值例1：不含参数的函数求最值解f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)=0，x=-1或1.当x<－1或x>1时，f'(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0，所以f(x)的极大值为f(－1)＝2，f(x)的极小值为f(1)＝－2，求极值求端点值比较大小

已知函数f(x)＝ax3－

x2＋2(x∈R).若a>0，x∈[－1,1]时，求f(x)的最小值.例2：含参数的函数求最值解f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1).-110分两种情况

①若

>1，即0<a<1，x(－1,0)0(0,1)f′(x)＋0－f(x)

极大值

②若0<<1，即a>1，x(－1,0)0(0，

)(，1)f'(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

当x变化时，如下表：当x变化时，如下表：

求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求f(x)在开区间(a，b)内的极值点，即所有使的点；

根据定义域判断极值点的取舍，如有参数，还需分类讨论。②比较函数f(x)在区间内的极值和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.f′(x)＝0总结：类型二由函数的最值求参数例3已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[-1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)

＋0－

f(x)－7a＋b

b

－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[-1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(2)<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3

＝－29解得a＝2.

步骤：（一）先利用导数研究函数的单调性及极值点，求得函数的最值。（二）根据已知最值列方程(不等式)解决问题。（注意分类讨论思想的应用.）总结：

知最值求参数是求最值的逆向思维：解由2xlnx≥－x2＋ax－3，当x∈(0,1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0所以x=1为极小值点，在(0，＋∞)内函数最小值为h(1)。h(x)min＝h(1)＝4.∴a≤h(x)min＝4.例4已知2xlnx≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围。类型三与最值有关的恒成立问题转化成求最小值问题求得极值点x=1或-3（舍去）求解不等式恒成立问题（分离参数）的步骤总结：1.函数f(x)＝x3－3x(x<1)A.有最大值，无最小值B.有最大值，最小值C.无最大值，最小值D.无最大值，有最小值√解析令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝－1或1(舍去)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)为单调增函数；当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，f(x)为单调减函数.故f(x)有最大值而无最小值.课堂练习解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.可判断x＝3为极小值点，x＝－1为极大值点。2.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[-4，4]上的最大值为10,求最小值。又f(－4)＝k－76,f(3)＝k－27,f(－1)＝k＋5,f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10,得k＝5,∴f(x)min＝k－76＝－71.3.已知函数f(x)＝

x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，求实数m的取值范围.f′(x)＝2x3－6x2=2x2(x-3),令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－

.解：不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，转化成求f(x)的最小值f(x)min≥－9

课堂小结1.求f(x)在[a,b]上的最值的步骤如下：（1）f(x)在区间(a,b)内的极值点，