陕西省渭南市澄城县2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省渭南市澄城县2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.选择题用2B铅笔将正确答策涂写在答题卡上；非选择题用0.5mm黑色墨水签字笔答在答题卡的指定答题区域内，超出答题区域〖答案〗无效.3.答题前，请将姓名､考号､试卷类型按要求涂写在答题卡上.第I卷选择题（共60分）一、选择题（每小题5分，共40分）1.过点且与直线平行的直线的方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设与直线平行的直线的方程为，将点代入得，解得，所以所求直线的方程为.故选：A.2.设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.故选：D3.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（

）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意.故选：B.4.在的展开式中常数项为（）A.721 B.-61 C.181 D.-59〖答案〗D〖解析〗=的展开式的通项公式为=，其中的展开式的通项公式为，当时，，，常数项为；当时，，，常数项为；当时，，，常数项为；故常数项为++.故选：D5.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗3名女生需要住2个房间或3个房间.若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为；若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为.其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种数为，所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是.故选：C6.已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，.故选：D.7.已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（）A.20 B.60 C.40 D.80〖答案〗B〖解析〗因(单位)服从正态分布，且，所以，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数，所以.故选：B8.已知椭圆，点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨设点在轴上方，设点的纵坐标为，设点的纵坐标为，的内切圆半径为，取线段的中点，设点的纵坐标为，因为，所以，所以，即，所以三点共线，且，则，，，，所以，，则椭圆的离心率为.故选：A.二、多选题（每题5分，共20分.在每小题所给的选项中，有多项符合题目要求，全对的得5分，部分对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.B.方程表示双曲线.C.到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线D.椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁〖答案〗BD〖解析〗到两定点的距离差的绝对值等于正常数,且该常数小于两定点的距离的点的轨迹是双曲线，故A错误；对于方程，若，则表示焦点在横轴的双曲线，若，原式可化为，则表示焦点在纵轴的双曲线，故B正确；根据抛物线的定义可知:该定点不能在定直线上，否则轨迹不能是抛物线，故C错误；椭圆的离心率是焦距与长轴的比值，离心率越大说明焦距与长轴长越接近，则短轴长越短，此时椭圆越扁平，故D正确.故选：BD10.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗设，所以，无解，所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；设，则，所以，无解，所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误．故选：AB．11.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（）A.乙连胜三场的概率是B.C.D.的最大值是〖答案〗BD〖解析〗乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是；故选项A错误；由题意可知，决赛中的比赛局数的可能取值为，则；；故选项B正确；;故选项C错误；令，则，因为，所以当时，，当时，；当函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数取最大值，所以的最大值是，故选项D正确；故选：BD.12.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若，则点到轴的距离为B.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条C.是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则D.〖答案〗CD〖解析〗因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，则抛物线，所以焦点，准线为，对于A选项，设、，则，解得，又为线段的中点，则，所以点到轴的距离为，故A错误；对于B选项，若过点的斜率不存在时，则该直线为轴，由图可知，轴与抛物线相切，若过点的直线的斜率为零，此时，直线的方程为，联立，可得，此时，直线与抛物线只有一个交点，若过点的直线的斜率存在且不为零，设该直线的方程为，考虑直线与抛物线相切，联立，可得，则，解得，即直线与抛物线只有一个公共点，故满足条件的直线共有三条，B错；对于C选项，过点作准线的垂线段，垂足为，则，设准线与轴交于点，则，因为，所以，则，则，所以，即，所以，则，故C正确；对于D：依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，由，消去得，显然，所以，，则，，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，故D正确.故选：CD.第II卷非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分，共20分）13.圆与圆的位置关系是_____．〖答案〗相交〖解析〗由题意圆与圆的标准方程分别为，所以圆与圆的圆心坐标、半径分别为，所以，所以圆与圆的位置关系是相交.14.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_______．〖答案〗〖解析〗向量在向量上的投影向量为：.故〖答案〗为：15.某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中______次．〖答案〗4〖解析〗投篮命中次数，设最有可能命中次，则，，．最有可能命中4次．故〖答案〗为：4.16.若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________〖答案〗〖解析〗所有三位数个数为900个.“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是的，共有个，分别为；②含有两个相同数字的，共有个，分别为；③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为.从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率.故〖答案〗为:四、解答题（共70分）17.如图，过圆外一点向圆引切线.（1）求过点P的圆的切线方程；（2）若切点为，，求过切点，的直线方程.解：（1）设过点P的圆的切线方程为，的圆心为，半径为；则，解得或，故切线方程为或.（2）解法1：将切线方程与圆的方程联立成方程组，由可得，由可得，即和，故过切点，的直线方程为，整理得.解法2：因为O，，P，四点共圆，所以，在以OP为直径的圆上，圆心为，半径为，即方程为与已知圆相减，得过切点，的直线方程为.18.如图，正四棱柱中，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．解：（1）正四棱柱中平面，又四边形是正方形，得，所以，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图：，，因为，所以即，又平面，，所以平面.（2）,,设平面的一个法向量为.由得，即，令，则，即，又.由（1）知，是平面的一个法向量，又.所以，.由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值.19.盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和．（1）估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）用频率估计概率，从这批种子（总数远大于）中选取粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）．解：（1）估计种子密度的平均值为；（2）由频率分布直方图知优种占比为，任选一粒种子萌发的概率．因为这批种子总数远大于2，所以萌发的种子数符合二项分布，所以可取的值为，，，所以，，，所以的分布列为：012所以期望，故期望值为.20.新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了，提前三年超过了“十四五”预定的的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表：月份代码12345678910渗透率29323432333436363638（1）假设自2023年1月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率；（2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为万元，求的分布列和期望.附：一组数据，，的线性回归直线方程的系数公式为：，解：（1）计算得，，所以，，则回归直线方程为，代入得，所以预测2024年1月新能源渗透率为；（2）由题意，每个客户购买新能源车的概率为，燃油车概率为，所有可能取值为，，，，则，，，，所以的分布列为0246所以（万元）.21.已知椭圆的短半轴为3，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度.解：（1）由椭圆的短半轴为，离心率为，可得且，即，因，可得，解得，所以，所以椭圆的方程为.（2）设，因为为的中点，可得，则，两式相减得，即，即，所以直线的方程为，即，联立方程组，整理得，可得，则.22.第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.（1）完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？男女合计喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛合计60（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生